促进深度学习的高中数学教学实践研究

门桐宇 王桂丽 郭凌霄

摘 要 核心素养是我国新一轮基础教育课程改革的基本理念。本文以“含参数不等式恒成立问题”为例，通过回顾展望、问题引领、变式探究、反思深化等四个环节实现深度学习，促进数学学科核心素养发展，并提出促进深度学习的教学策略：聚焦课标，把握关键教学内容，深度挖掘数学思想；启发问题引领，变式问题层层递进，促使学生深度思考，体会数学思想方法；引导学生进行反思学习，布置启发性作业；营造民主、平等、合作的学习氛围，培育学生大胆设想、合理质疑的心理环境。

关键词 深度学习 教学策略 数学思想 导数应用 含参数不等式恒成立问题

作者简介：门桐宇（1996—），女，辽宁朝阳人，北京景山学校二级教师，硕士，研究方向：数学教育；王桂丽（1969—），女，辽宁朝阳人，朝阳市第九中学教师，大学本科，研究方向：理科教学；郭凌霄（1995—），女，山东滨州人，北京景山学校二级教师，硕士，研究方向：数学教育。

基金项目：本文系北京市东城区“十四五”时期教育科学规划2022年度课题“基于情境的高中生数学问题提出能力的年级差异研究”（课题编号：DCYB2022032）的阶段性研究成果。

核心素养是我国新一轮基础教育课程改革的基本理念。发展学生的核心素养既需要教育理论研究，又需要教学实践跟进。将理论研究与实践经验共同作用于课堂教学，才能够更好地促进学生核心素养发展。深度学习是学习者认知、思维、情感、价值观全面参与、全身心投入的活动，是相比于有意义学习、探究学习等更高程度的一种学习方式。深度学习强调“在教师的指导下，学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心投入、积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程”[1]。在这个过程中，学生积极主动地参与到学习活动中，逐渐掌握学科的核心知识与结构，把握知识的本质，认识蕴含的思想方法，形成积极的学习动机、正确的价值观念，成为基础扎实又极具独立性、创新性、批判性的学习者。深度学习是学生发展核心素养的重要途径[2-4]。教与学的一致性表明，学生真正意义上的深度学习，需要建立在教师的深度指导和引导的基础上[5]。为达成学生的深度学习，教师的课堂教学应具有明确的教学目标，能够及时发现学生問题并进行调整，营造民主、平等、合作、探究的学习氛围[1]。

导数是研究函数问题的重要工具，利用导数解决函数、不等式问题是高中数学教学难点之一。“含参数不等式恒成立问题”是导数研究专题之一，是深度学习理论实践的良好载体，同时也是深化思想、形成能力、发展核心素养的良好载体。故本文以含参数不等式恒成立问题为例，探讨如何在导数的应用中让学生经历深度学习，逐步形成高阶思维，提升数学素养。

一、基于深度学习的教学实践

（一）教材分析与内容理解

“含参数不等式恒成立问题”内容安排在人教版普通高中教科书《数学》（选择性必修·第二册）第五章“一元函数的导数及其应用”之后，一方面深化利用导数解决函数问题的思想和方法，另一方面围绕代数论证的主线，深入理解数形结合思想在导数解题中的价值。课程标准对导数应用部分的要求是能利用导数研究函数的单调性，求某些函数的极值、最值，体会导数与单调性极值、最值之间的关系等。

对于含参数不等式问题通常有两个理解角度：（1）从数的角度，若参数能够分离，则转化为函数的最值问题处理；若参数不能够分离，或者分离后剩下形式过于复杂，则适当整理不等式，通过对参数的取值范围进行分类讨论求解。（2）从形的角度，不等式反映两个函数图象关系，参数使得函数图象是动态变化的，这需要寻找临界位置、利用图象的变化规律等进行合理“猜想”，然后讨论求解。解决这类问题所涉及的“函数与方程”“化归与转化” “分类讨论”“数形结合”等数学思想方法对锻炼学生的综合解题能力、培养思维的灵活性和创造性都有着很大的帮助。

（二）学生情况

学生已经系统地学习了函数的图象与性质及导数的相关知识，对于导数的概念和几何意义等有了一定理解认识。学生已经了解解决恒成立问题的思想和方法；能够利用导数相关知识求函数的单调区间、极值以及最值等，有利用导数探索函数图象性质的意识；可以解决一些有关函数问题。学生已经具备一定分类讨论意识、转化意识和数形结合意识，具备一定的数学运算能力、逻辑推理能力，但思维的灵活性有待提升。

（三）教学目标

1.通过利用导数研究函数单调性和最值的过程，初步掌握含参数不等式恒成立问题的特征。

2.通过利用导数研究含参不等式恒成立问题，感受等价转化的意义，培养数形结合思想、分类讨论思想，提升运用导数的相关知识解决函数问题的能力。

3.通过经历问题的探究过程，提升思维的灵活性和严密性，发展直观想象、数学运算及逻辑推理等数学学科核心素养。

（四）教学过程

环节一：回顾展望—温顾知新，引发思考

问题1：学习导数前，如何研究函数问题的？

[生]根据定义研究函数单调性和奇偶性；根据不等式研究函数最大值和最小值；或者数形结合研究函数的性质。

[师]学习导数之后，函数的研究发生了哪些变化？

[生]对于比较复杂的函数，可以利用求导得到单调性、极值、最值，还有函数增长的速度都可以通过导数得到，画出函数的简图。

[师]通过导数可以解决单调性、极值、最值、切线等问题，进而明确函数的性质，解决问题。另外，导数可以解决一些方程、不等式等问题，这使得研究函数问题的范围得以拓宽。本节课聚焦一类问题进行研究。

设计意图：回顾旧知，通过设置启发性问题促使学生思考，引导学生体会导数在研究函数问题方面的价值。并明确本节课的主题：利用导数解决一类函数问题。

环节二：问题引领—问题引例，明确方向；提出问题，大胆猜想

例题：求函数[y=ex-x]的单调区间和最值。

问题1：若最小值为1，对应什么样的不等关系？如何从图象上理解？

[生][?x∈R]，[ex-x≥1]，由不等式可以反映图象之间的位置关系，函数[y=ex-x]的图象恒在[y=1]的图象上方，如图2所示。

问题2：对不等式进行等价变形，得到什么形式？如何从图象角度理解不等关系？

[生][?x∈R]，[ex≥x+1]，若从形的角度理解，即[y=ex]图象恒在[y=x+1]图象的上方，且存在交点。

问题3：动手画一画图象，还能发现什么？

[生]自主作图，经过计算可发现，[y=x+1]恰为[y=ex]在点（0，1）处的切线方程，也即[y=x+1]图象为[y=ex]图象的一条切线，如图3所示。

设计意图：引例旨在让学生回顾利用导数研究函数单调性的基本思路，问题2引导学生经过等价变形，不等式两侧变为熟悉的函数，若从图象角度理解不等式，则可将问题转化为两个函数图象之间的上下位关系。问题3让学生发现图象特殊性：相切。三个追问旨在让学生发现不等式与图象之间的关联，让学生感受数与形之间的关联，积累从形的角度理解代数问题的基本经验，在面对函数问题时有新视角。同时得到不等关系：[?x∈R]，[ex≥x+1]，为后续变式问题做铺垫。

[师]经过上述讨论发现，不等式与图象之间存在关联。若让直线“动”起来，如上下平移，与曲线会形成什么样的位置关系？又会得到怎样的不等关系？

问题4：添加参数可以刻画运动变化。描述直线[y=x+1]的上下平移可在截距位置上添加参数，变为[y=x+a]，此时会得到一些位置关系。你能用数学语言描述这些位置关系吗？能结合此前习题，提出一些可解的数学问题吗？

[生]若直线向下平移，则恒在曲线下方；若向上平移，则与曲线有两交点。

[师]通过上述问题讨论，可以做如下拓展、思考：

（1）相等关系类：若[y=ex]与[y=x+a]图象有两个交点，求[a]取值范围；求证：当[a>1]时，方程[ex=x+a]或[ex-x=a]有两个实根等。

（2）不等关系类：若[?x∈R]，[ex≥x+a]恒成立，求[a]取值范围等含参数不等式类问题；

（3）拓展类：提出改变参数的位置；

[生1]参数还可以加在直线斜率处，此时直线绕一点旋转，可得到与[y=ex]图像的位置关系。

[生2]固定直线，将参数加在[ex]前，此时指数函数图象进行伸缩变换，可得到与定直线间的位置关系。

[生3]变为[y=eax]。

[师]通过变换参数位置，得到本节课重点研究的三个含参数不等式问题。

设计意图：通过形的变化感知数的改变。学生经历数与形的不断转化，深化方程、零点、不等式问题的图象表示，感受数形结合思想、转化思想；发现问题并用数学语言进行描述，发展学生的思维灵活性，积累用数学语言描述问题的基本经验；学生自主提出本节课需要解决的三个问题，明确本节课的目标，让学生有了参与感，使得课堂气氛活跃，有利于学生深度参与到课堂中。

环节三：变式探究—解决问题，感受思想

在教师引导下，学生提出了很多可解的数学问题。本节课聚焦含参数不等式恒成立问题，选择参数分别添加在直线截距、直线斜率、曲线前，探究分别从图象与代数两个角度解决问题的方法。选择三个变式的原因如下：首先从图象上分别对应平移、旋转与伸缩变化，在难度上由低到高；其次在代数求解过程涵盖了含参数不等式恒成立的几种常见处理方法，故选择这三类问题作为后续的研究对象。

[生1]从形的角度观察不等式，是一条定直线与一条动曲线图象的上下关系，而曲线可以看成是指数函数图象经过伸缩变换得到。当[a<1]时，显然图象与直线存在交点，故参数取值范围为[a≥1]，如图5所示。

[生2]代数论证可以对[a]的取值进行分类讨论：

设计意图：变式1、2难度相对较低，有了引例与问题提出活动的铺垫，学生可以从形的角度直接利用几何直观获得结论；若从代数角度证明，可以分离参数，转化为已知函数最值问题求解，或者对参数进行分类讨论得到结果。感受含参数不等式恒成立问题的一般研究思路，体会分类讨论、等价转化思想，发展直观想象、逻辑推理等数学素养。

设计意图：变式3的解决与此前问题解决不同，其难点在于解集并非区间，而只有一个数，如果直接代数论证，则需要说明当且仅当[a=1]时结论成立，其他情况下均不成立，这种逆向思维对学生要求较高；这时如果结合图象分析，通过几何直观直接发现结论，则后续的证明会有一定的方向。让学生感受含参数不等式恒成立问题的基本处理办法，体会方法的选择会因题而异。深化图象在研究函数问题中的重要作用，体会“先猜后证”的方法，感受分类讨论、数形结合等数学思想方法，发展数学运算、直观想象、逻辑推理等数学素养。本题是对一道模拟题进行等价变形之后得到，改编目的是方便串联几个变式问题。解决后出示原题，意图在于向学生传达先对题目进行等价变形，可以适当简化问题。

环节四：反思深化—总结深化，提升思想

通过前面学习，同学们对含参数不等式恒成立问题有了一定的了解，结合下面练习进行思考。

设计意图：学生学会学习的重要标志之一在于能否进行总结与反思。教师引导学生对学习内容与学习过程进行总结与反思，一方面回顾运用导数解决含参数不等式问题的思想和方法，从整体上建构知识体系，感受数学思想方法；另一方面回顾在学习过程中出现的问题，强化解决方法。

三、促进学生深度学习的教学策略

（一）聚焦课标，把握关键教学内容，深度挖掘数学思想

深度学习是不局限于表层的学习，促进深度学习的教学也需要向内挖掘，更接近教学内容的本质，从而达成促进学生高阶思维形成的目的。这就需要教师以课程标准为依据，对教学内容进行深度分析，包括对关键教学内容的本质理解与数学思想方法的深度挖掘。数学思想方法被认为是对数学内容和所用方法的本质理解[6]，学生掌握数学思想方法有助于对知识本质的理解和迁移，有助于学生逐步发展数学核心素养，形成高阶思维。

（二）启发问题引领，变式问题层层递进，促使学生深度思考，体会数学思想方法

变式问题以问题串的形式呈现，伴随启发性问题引领，会使得学习内容层层递进，结构完整，主线清晰，易于学生构建自己的知识框架，形成清晰的逻辑体系，有助于学生深度学习的发生。本课时用一个引例，三个变式问题串联而成，部分问题还可作为学习任务呈现，使得学生在交流合作中深度参与进课堂。同时，三个变式问题涵盖含参数不等式恒成立问题的几种主要处理办法，会使得形成的知识与思想方法系统化，有助于知识与方法的迁移[7]，形成高阶思维能力，发展数学核心素养，从而达到深度学习的目的。

（三）引导学生进行反思学习，布置启发性作业

深度学习的意义之一在于学会学习的方法。学会学习的一个重要标志体现在完成学习任务后学生是否可以自主地进行总结与反思。这不仅包括对知识内容、思想方法的整合，还包括对自己在问题解决过程中表现的回顾与反思。本课时在活动后安排整理与回顾环节，学生对本节课的知识与方法及在解题中出现的错误进行反思，从而达到深刻理解的目的。本节课的作业由同类型不等式同构得到，由学生自己提出并完成。

（四）营造民主、平等、合作的学习氛围，培育学生大胆设想、合理质疑的心理环境

深度学习需要学生的主动参与。教师要潜移默化地培养学生敢于质疑、勤于对话交流、善于反思总结的品质。通过启发性问题，激发学生质疑驱动力，促进学生问题解决的欲望，促使学生深入到学习环境中去；通过问题提出环节，让学生大胆设想，合理质疑。最后选择几个问题作为接下来研究的对象，让学生感受到拥有“话语权”，师生间交流更加自由顺畅，提升学生的课堂参与度。

[参 考 文 献]

[1]郭华.深度学习及其意义[J].課程·教材·教法，2016，36（11）：25-32.

[2]崔友兴.基于核心素养培育的深度学习[J].课程·教材·教法，2019，39（2）：66-71.

[3]郭元祥.课堂教学改革的基础与方向：兼论深度教学[J].教育研究与实验，2015（6）：1-6.

[4]罗祖兵.深度教学：“核心素养”时代教学变革的方向[J].课程·教材·教法，2017，37（4）：20-26.

[5]郭元祥.论深度教学：源起、基础与理念[J].教育研究与实验，2017（3）：1-11.

[6]罗增儒.数学思想方法的教学[J].中学教研，2004（7）：28-33.

[7]肖凌戆.从数学深度学习走向数学深度教学：以“圆锥曲线探索性问题”为例[J].数学通讯，2020（24）：7-11.

（责任编辑：姜显光）