“数形”结合 构建“模型”——《转化策略》教学实录与评析

文|陈 敏 蒋明玉（特级教师）

【教学内容】

苏教版五年级下册“转化策略”例2。

【教学过程】

一、导入

●第一组：下列计算都有什么特点？

生：分子是1，前一个分数是后一个分数的2 倍。

●第二组：下列计算都有什么特点？

生：分子是1，前一个分数是后一个分数的3 倍。

【评析：让学生从形式上感受以上分数加法的特点，从不同角度去表述，既可以激发学生探索规律的兴趣，又为学生之后探究规律提供了必要的基础。】

二、探究

1.出示例题

2.放手探究

学生通过通分的方法得到：

3.再次探究

在此基础上，引导学生画出如下的正方形图，运用数形结合的方法进一步研究。

结合图1，将“数”转化为“形”，学生很容易明白：求阴影部分的和就等于一个正方形减去空白部分的差。即：

图1

师：你发现了什么规律？

生：分子是1，前一个分数是后一个分数的2 倍，求这样一组分数的和，只要用1 减去最后一个分数即可。

4.尝试运用

5.变式突破

师：下面这几道题也能用这个规律计算吗？把算式的意义画

在正方形图上。

（引导学生交流、展示，如下）

结合图2～4，灵活转化观察角度，得到新的发现：

图2

图3

图4

6.规律推广

图5

图6

在学生举例的基础上，推广并概括到普遍性规律，形成有关这类分数求和的计算模型。

根据图7，编一道前一个数依次是后一个数的2 倍，求这样一组数的和的题目，引导学生从“分数”拓展到“整数、小数”。

图7

生：8000+4000+2000+1000+500+250=8000×2－250=15750

生：3.2+1.6+0.8+0.4+0.2=3.2×2－0.2=6.2

【评析：先让学生利用数形结合的方法提出猜想：后一个数是前一个数的，其和等于用1 减去最后一个加数。然后进行验证，在验证过程中又产生新的问题，再次运用数形结合的方法，转换观察视角，深入探究，大胆提出新的猜想。最后让学生运用数形结合的方法仔细验证，进而发现了更为一般性、普遍性的规律，构建了一个数学模型：后一个数是前一个数的，其和等于第一个加数的2 倍减去最后一个加数。让学生在发现、猜想、验证中体验数学模型的形成过程，初步掌握探究数学模型的一般方法。】

三、运用

1.推广性运用

（1）128+64+32+16+8+4+2+1

（2）4.8+2.4+1.2+0.6+0.3+0.15

【评析：让学生从“分数”推广到“整数、小数”，引导学生灵活运用发现的规律拓宽思维，培养学生“举一反三”的能力。】

2.拓展性运用

利用数形结合，用正方形图来画一画（如图8、9）。第一题的和是，剩下的是；第二题的和是，剩下的是。可以发现:剩下的总比取出的多1 份。

图8

图9

3.你还能编出一些类似的算式，并且运用“数形结合”的方法发现其中的规律吗？

四、小结（略）

【评析：运用“数形结合”的方法，引导学生由2 倍的规律拓展到3 倍的规律，培养了学生思维的深刻性。最后让学生自己独立编写一些有规律的算式，既有效激发了学生探究规律的兴趣，又培养了学生独立探索、发现规律的能力，同时感受到数学规律的美妙和有趣。】

【全课评析】

史宁中先生强调：“任何一门学科都应该把培养学科直觉（或直观）作为一个根本的教育任务。数学要培养数学直观，数学的结论是‘看’出来的，不是‘证’出来的，因此培养数学直观是很重要的。”直观的培养是学生经验的积累，而不是老师说教的结果，所以要帮助学生培养基本活动经验。因此，本节课让学生充分地把算式“画”出来，引导学生将“数”转化为“形”，从而发现“计算模型”。通过题组对比，能够使学生深刻地领会到“几何直观”的作用：发现了一个规律（计算模型），而运用这个规律可以举一反三去解决更多、更复杂的相似问题。由此，不但加深了学生对“用画图找转化方法”的理解，还启发了学生在遇到复杂问题时，先用画图的方法从探索简单的问题起，发现其中的规律，然后运用所获得的规律去解决复杂的问题。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“模型意识”的内涵是这样阐述的：模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟。知道数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径。学生学习数学，不只是要记住某些规律与结论性的东西，更重要的是在学习数学的过程中领悟数学的思想方法，积累数学活动的经验。以上教学，在计算过程中发现有特点的分数加法问题，运用数形结合的方法，经历猜想与验证的过程，引导学生探索规律、发现规律和运用规律，在探索和运用规律的过程中培养学生积极探索、大胆猜想、仔细验证、灵活运用的能力。这样不断递进的猜想验证过程不仅让学生学会解决某一道题，更重要的是能让学生找到解决一类题的方法与规律，尤其是感悟了类比归纳性研究方法，并且因此修正得到更为科学完善的结论：如果前一个数（分数、整数或小数）依次是后一个数的2 倍，求这样一组数的和，只要用第一个数的2 倍减去最后一个数即可。事实上，这样丰实的猜想验证过程更符合数学教学内在的数理逻辑，不仅使“数”与“形”各展其长，实现抽象逻辑思维与具体形象思维完美地统一，也更高层次地实现了数学活动经验与数学思想方法建构以及后续“整体性”“结构性”地迁移运用，让学生后续的学习更加给力。

上述这样的拓展设计，在体验和感悟中，通过适时地概括、揭示和提炼，使隐性的数形转化思想显性化，从而被学生所认识、理解和掌握。通过运用，进一步加深对数形转化思想方法的理解和感悟，将数学思想内化为学生的数学素养。