以“理解百分数统计意义”为目标的单元教学思考

□廉 萌 刘加霞

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“2022年版《课程标准》”）指出，百分数是两个数量倍数关系的表达，这两个数量既可来源于确定数据，又可来源于随机数据。前者指百分数的传统数学意义；后者即百分数的统计意义，主要体现在运用百分数描述随机数据的分布情况以及随机事件的发生概率上。那么，“百分数”的单元教学该如何让学生理解百分数的数学意义与统计意义？如何辩证处理二者的关系？此外，百分数的统计意义在《义务教育数学课程标准（2011 年版）》（以下简称“2011 年版《课程标准》”）指导下的教材中是否有体现？教材中的哪些问题或任务有助于学生理解百分数的统计意义？基于2022年版《课程标准》的这一调整，笔者对“百分数”单元的教学进行了重新思考与实践。

一、分类整理教材内容，挖掘凸显“百分数统计意义”的学习素材

要帮助学生理解百分数的统计意义，教师教学的关键是要运用好能体现随机性的学习素材。那现行使用的2011年版《课程标准》指导下的各版本教材中有没有随机数据的现实情境呢？为此，笔者分别对北师大版、苏教版、人教版教材中涉及随机数据的情境进行了统计。可以看出，各个版本的教材中虽然都涉及随机数据的情境，但占比都不大。统计结果如表1所示。

表1 各版本教材中随机情境所占比例

随机数据的问题情境或素材有哪些呢？著名统计学家陈希孺认为，并不是任何类型的数据都属于统计学的研究范围，只有那种受到偶然性因素影响的数据才是统计学处理的对象，并将随机数据细分为重复测量同一对象数据、抽样数据、试验设计所得数据三类［1］。该观点为深入分析教材提供了理论依据，在后续的活动设计中，便可以从这几个维度帮助学生感悟百分数的统计意义。

（一）重复测量同一对象获得数据的素材

由于存在随机误差，因此重复测量同一对象的某个属性所获得的数据具有随机性。例如，多次测量某物体的长度、多次统计某人投篮命中的次数等。北师大版、苏教版和人教版教材中罚球、套圈、投篮的学习素材就属于重复测量同一对象得到的随机数据，如图1所示。

图1 重复测量同一对象获得数据的教材内容

几个版本教材都提出了比较命中率的问题。苏教版教材将投篮情境作为引入百分数的例题呈现，启发学生多角度思考解决问题的方法，使学生体会将分数的分母化成100易于比较大小，渗透引入百分数的必要性。北师大版教材还设计了套圈比赛选派队员的练习题，让学生多次经历百分数产生的过程。而人教版教材的编写顺序略有不同，先用文字直接给出百分数的描述性定义，在学生对百分数有基本的了解后，再通过投篮情境，引导学生在解决问题的过程中学会把分数、小数化成百分数。

（二）通过抽样获得数据的素材

通过随机抽样获得的数据是常见的随机数据，广泛应用于各类调查研究。分析样本数据的性质或特征可推断总体的情况，这种以样本推断总体的方式是“统计意义”的典型表现，但由于小学阶段没有安排学习抽样的相关知识，所以对理解这方面的含义不作要求。然而，有些版本教材还是设计了此类情境。如北师大版教材和苏教版教材中有关合格率的内容，及苏教版教材中收视率的情境（如图2）。北师大版教材中，相关情境作为小数、分数化成百分数的例题呈现；苏教版教材的两个情境则均作为课后练习呈现。由于2011年版《课程标准》并没有强调让学生理解百分数的统计意义，因此两个版本教材只是提到了数据来源是“抽样”，侧重于如何计算百分率，而没有对抽查数量是怎样获得的进行理解和讨论。

图2 抽样获得数据的教材内容

（三）试验设计获得数据的素材

图3 是人教版教材中的发芽率练习题。如图所示，种子发芽情况具有随机性，实验中种子的总数相同，但发芽率不同，属于试验设计所得数据。2011年版《课程标准》指导下的教材内容仅仅停留在让学生会算百分率的层面，并没有引导学生进行数据对比，以感悟数据的随机性会带来发芽率的浮动，从中发现规律的统计价值。

图3 试验设计获得数据的教材内容

二、调查学情确定单元重点，有效助力学生理解“统计意义”

基于前面对教材的分析，笔者筛选出了有助于初步渗透百分数统计意义的素材或情境。那么学生的认知起点又在哪儿呢？百分数归于“统计与概率”领域后，学生初次学习百分数时该侧重百分数的数学意义还是统计意义呢？对此，笔者设计了两道前测题，对学生进行前测。

从第1题中可以发现，学生能够观察到生活中存在着大量关于百分数的信息（如图4）。学生呈现的作品都是表达确定数据关系的百分数，而缺少表达随机数据的百分数。

图4 生活中的百分数（学生作品）

学生完成第2 题第①小题的情况如表2 所示。多数学生虽然能够用自己的语言解释命中率45%的意义，但表达的是每射击100 次就能命中45 次。这说明他们没有认识到百分数表达的是两个量的倍数关系。

表2 前测题第2题第①小题学生完成情况

学生完成第2 题第②小题的情况如表3 所示。绝大多数学生认为奇思“可以”代替淘气参加比赛，因为他们只是单纯地比较了大小就立马作出判断。只有6名学生认为不可以，但他们也只是对数据的随机性有点感觉，没能给出充分的理由。

表3 前测题第2题第②小题学生完成情况

通过对前测结果的分析，笔者进一步明确：在单元教学中，既要有全面丰富的素材交流，让学生能充分理解百分数的数学意义，又应重视百分数表示随机数据的例子，让学生感悟到百分数对刻画、描述、分析随机数据的作用，从而发展学生的数据意识。

三、整体设计渗透“百分数统计意义”的单元学习任务

基于以上的教材分析及学情分析，笔者确立了这样的教学思路：用好教材中的素材，在以百分数的数学意义为主线的同时，充分挖掘其背后的统计价值。通过问题串的设计，凸显随机情境所蕴含的统计价值，让学生初步感悟百分数的统计意义，培养学生的数据意识。

本单元学习任务的设计将北师大版教材中原有的百分数的认识、合格率（小数、分数化成百分数）、营养含量（百分数化成小数、分数）、这月我当家（解决问题）、练习三（单元练习）五个学习内容整合为追根溯源百分数、我是靠谱质检员、这月我当家、我是靠谱分析师四个主题活动，并将其细分为20 个学习任务（如表4），把应用意识、数据意识的培养渗透到每个学习任务中。整个单元的教学在原有注重百分数数学意义的基础上，还设计了凸显百分数统计意义的活动内容。

表4 “百分数”单元教学活动设计表

（一）初识百分数，思考数据随机性

主题活动一：追根溯源百分数

任务1：比一比，选谁做代表

作为本单元的起始课，教师结合学校六年级的特色活动，创设了为篮球联赛推选队员的真实情境。教师出示四名学生投球情况的记录表（如表5），引导学生思考：如果我们要派一名同学作为代表去参加投球比赛，你们认为选谁做代表合适？

表5 四名学生投球情况单位：次

学生理解百分数的数学意义后，教师通过两次追问，渗透百分数的统计意义，使学生体会到百分数也可以表示随机数据；初步渗透统计结果的随机性会引起百分数的变化，使学生感悟到随着数据的增多，百分数统计意义的参考价值也会增加，也就是说数据越多，命中率这个百分数越能代表选手的实际水平，也就越具有参考价值。

【教学片段】

师：如果再比一场，笑笑还会是第一名吗？

生：不一定。如果她真正上场比赛，她的命中率会有一些浮动，比如当天可能风大点，比如看到评委会紧张。

生：这个90%只是她大概的水平，跟投球数量也有关系。如果她就投了一个球，而且投进了，那么能说她的投篮命中率是100%吗？

师：既然大家认为笑笑不一定能得第一，那么统计选拔赛的成绩还有意义吗？

生：我觉得有意义。笑笑能在选拔赛中得第一，就证明她是有一定水平的。打个比方，如果这场选拔赛你只有50%的命中率，那下一场比赛你会有100%的命中率吗？可能性很小。所以这场选拔赛的成绩还是有参考意义的。

生：笑笑在这场选拔赛中是第一，她的状态起伏可能不会很大，比如这次命中率是90%，下次命中率可能是88%或92%。虽然笑笑不一定每次都是第一，但还是有参考意义的。如果想让这些数据更准确、更具体，可以让他们多赛几场，那统计的命中率会更可靠。

从对话中不难看出，问题串确实引发了学生对数据随机性的思考。同样的事情每次收集到的数据可能不同，那哪次“命中率”能代表他们的水平呢？很难说。只有投的次数更多一些，才能发现“规律”。当有足够多的数据支撑时，“命中率”才能真正代表他们的水平，使用这个“命中率”作判断和预测才能“更准”，但仍然可能有意外。

（二）由部分推断整体，初步体会随机抽样的统计价值

主题活动二：我是靠谱质检员

任务5：议一议，抽样调查合格率

“抽样调查合格率”这一内容让学生体会到，在大数据时代，生活中经常有需要通过随机抽查一部分来推断整体情况的事件。教师要借助真实情境，引导学生对数据收集过程进行思考，即引导学生讨论“如何产生随机数据使样本具有代表性”，从而让学生进一步感悟百分数的统计意义。

【教学片段】

师：你认为合格率80%这个数据是怎么得来的？

生：合格率是通过计算得到的，是抽查的这一批货物中，合格产品的数量占抽查总数的百分之几。

生：情境中写明了是抽查的箱数，说明检查的是一小部分箱数。一批货物数量太多，每个都检查太浪费时间，所以要抽取一部分作为代表。就像如果要检查一批薯片的合格率，总不能每袋都打开吃一口吧！

（教师出示图5）

图5 “抽样调查合格率”情境图

师：这个合格率能代表这批产品的整体情况吗？

生：我觉得可以。虽然这批货物中可能有个别瑕疵品，但是我们可以用一部分产品的合格情况来预测整体情况。当然，抽查的数量越多，得到的数据就会越精准。

生：我觉得不能代表整体水平。从图上看，这些抽查的灯泡是这个老板准备好的，他说随便检验，合格率100%，那他很有可能都提前试过了，所以这个结果是不可信的。要想得到的合格率可信，必须要真的去抽查，比如每箱抽查几个灯泡，或者在每天生产的灯泡中随机抽取一箱来检验，而不能去抽查提前准备好的灯泡。

在课堂讨论的过程中，学生逐步感受到不仅收集的数据要尽可能多，还要学会随机取样，这样计算出的合格率才能反映整体水平。

（三）多角度分析数据，逐步加深对数据随机性的思考

主题活动四：我是靠谱分析师

任务18：议一议，前测问题再讨论

通过一个单元的学习，学生是否对百分数的统计意义有所感悟呢？教师引导学生再次讨论本单元前测题中第2题的第②小题，以分析学生学习前后的变化。

【教学片段】

生：不能代替。射击和我们之前讨论过的投篮一样，虽然他这次的命中率稍微高一点，但下次就不一定了。

生：我觉得根据现有的数据无法给出建议。因为虽然现在奇思的命中率高，但射击次数太少了，不能代表他的整体水平。射击次数越多，命中率才越能代表他的整体水平。

从学生的回答可以看出，通过本单元的学习，学生在深入理解百分数数学意义的同时，感受到百分数具有能够刻画及预测随机数据的作用。

任务19：想一想，我给教练提建议

本学习任务要求学生综合运用百分数的意义，分数、小数和百分数的互化及求百分率等知识，综合处理信息，并对所获得的数据信息进行分析，形成自己的观点。

教师出示如下的任务单。

题目的开放度很大，恰恰能考核学生对百分数统计意义的理解和综合运用能力。活动反馈显示，学生能够想到用百分数对数据进行分析。一些学生想到用折线统计图分析成绩变化趋势。同样是画统计图，学生基于不同的目标对选笑笑还是选妙想有着不同的思考。有的选笑笑，因为四次比赛中有三次都是笑笑命中率更高；有的选妙想，理由是妙想成绩比较平稳；还有的学生建议教练看看对手的情况，对手命中率低就选成绩平稳的妙想，对手命中率高就选有超常发挥可能性的笑笑。

令人欣慰的是，无论表达哪种观点，学生都能借助百分数，用数据说理。通过这道题，学生由“认”百分数跨越到“用”百分数，并能结合自己的统计经验综合处理数据。本单元的教学中，不同主题的学习活动设计凸显了对“百分数”单元的整体思考，切实落实了百分数的统计意义。当然，学生对百分数统计意义的理解不是短短几课时就能达成的，教师可在后续“数据处理”单元增加“用统计图表达空气质量变化”和“确定标准”两个内容，引导学生进一步感悟百分数的统计意义，发展学生的数据意识。

综上所述，教师在2022 年版《课程标准》的指导下，基于教材研磨和学情分析，引导学生带着任务去研究、发现、获得，通过开展不同的学习活动，使学生对百分数统计意义的体验与感悟贯穿单元学习始终。学生因此开始尝试辩证地看待生活中存在的“现象或事实”。这不仅仅是一种方法或是技术，更蕴含着学生认识世界的思维方式，这也正是百分数统计意义的育人价值所在。