空空导弹敏捷转弯固定时间收敛滑模控制

2023-06-27李政于剑桥赵新运

航空学报 2023年8期

李政，于剑桥，赵新运

北京理工大学宇航学院，北京 100081

为适应现代空战，空空导弹的全向攻击能力逐渐成为一项重要战技指标。全向攻击能力的核心是对载机对后半球区域具备打击能力，这要求空空导弹能够实现快速的大角度敏捷转弯。在导弹敏捷转弯过程中，导弹将以超大攻角机动，此时导弹进入严重的失速阶段，仅仅依靠气动舵面提供的气动力不足以产生足够的控制力矩来控制导弹实现敏捷转弯。因此，需要引入直接力控制装置或推力矢量装置以补足大攻角下导弹的控制力，采用这种复合控制方式能够取得较好的控制效果。此外，在大攻角状态下，导弹的动力学具有强非线性、快时变性和强不确定性的特点，系统之间存在严重耦合，因此，工程中常采用一类鲁棒性的非线性控制方法来控制此类系统。

滑模变结构控制因其强鲁棒性，而被广泛应用于空空导弹敏捷转弯控制，除此之外，反步法［1］、极点配置法［2］等也被学者用来设计敏捷导弹转弯自动驾驶仪设计。在导弹敏捷转弯研究方面，传统滑模控制方法通过构造线性滑模面，使系统进入滑动模态后逐渐收敛至平衡点。文献［3］利用滑模变结构控制方法设计了导弹自动驾驶仪，采用直接力/气动力复合控制方式，仿真实现了空空导弹纵向平面内180°机动转弯。文献［4］利用时间尺度分离方法将导弹姿态动力学和运动学系统分为快系统和慢系统，利用滑模变结构控制方法设计了空空导弹姿态动力学子系统的滑模控制律，仿真实现了空空导弹敏捷转弯。该方法虽然保证了系统是全局渐进稳定的，但是却存在收敛时间却趋于无穷的问题。针对此问题，学者们基于有限时间理论提出了终端滑模控制方法，使系统能够在有限时间内快速收敛。但是，终端滑模控制方法的控制量含有的负幂次项使得该方法在应用过程中存在奇异问题，限制了该方法的应用［5］。为此，一部分学者尝试构造了非奇异终端滑模面（Nonsingular Terminal Sliding Mode， NTSM）。文献［6］基于神经网络，结合反步控制思想设计了一种滑模控制器，仿真实现了敏捷导弹对后半球目标的拦截。针对导弹大攻角机动下的气动不确定性，文献［7］设计了一种滑模控制器，仿真验证了该控制器对导弹敏捷转弯过程中系统不确定性具有鲁棒性。虽然上述方法能够使导弹控制系统在有限时间内收敛，但是此收敛时间通常和导弹初始状态有关且收敛速度较慢。一方面，在实际敏捷转弯过程中，由于系统不确定性和内外干扰等因素对系统的初始状态的影响，基于有限时间方法设计的控制器无法保证系统于一个固定时间快速收敛；另一方面，导弹总体设计中往往涉及到控制系统指标的设计与协调，尤其对于敏捷导弹，这要求控制器能够保证系统在不同场景状态下均具有较小的固定收敛时间指标。因此，此类有限时间收敛方法在空空导弹敏捷转弯上的应用受到了限制。

针对终端滑模控制存在的收敛速度慢的问题，文献［8］提出了一种快速收敛终端滑模面（Fast Terminal Sliding Mode， FTSM），系统状态在进入滑动模态后将快速收敛至平衡点。文献［9］基于有限时间收敛理论，提出了固定时间收敛概念，并给出了分析系统固定时间收敛特性的Lyapunov 方法。相比于有限时间收敛系统，固定时间系统收敛时间与系统初始状态无关而仅取决于控制系统预先设计的参数。文献［10］针对一类具有非线性不确定性和扰动的多输入多输出系统，设计了一种固定时间控制器，对于匹配和非匹配干扰，验证了控制器的鲁棒性。此后，固定时间收敛理论开始引起学者们的广泛关注。针对一类具有匹配干扰的二阶控制系统，文献［11］设计了一种全局固定时间收敛的非奇异终端滑模面，通过对单摆系统的仿真，验证了方法的有效性。文献［12］针对一类混沌震荡系统，设计了一种快速收敛固定时间非奇异滑模，仿真验证了所设计方法的有效性。以上研究设计的控制器虽然保证了系统固定时间收敛，但其研究理论性较强，控制律过于复杂且未充分考虑工程问题具有复杂数学模型的特点。

近年来，开始有学者将固定时间收敛理论应用于导弹制导与控制系统设计。文献［13］针对打击机动目标的制导问题，设计了一种非奇异固定时间收敛制导律，设计了一种固定时间滑模干扰，仿真验证了制导律的固定时间收敛特性。文献［14］设计了一种含积分项的固定时间收敛滑模面，并设计了全局滑模跟踪制导律，实现了跟踪误差在固定时刻收敛，但文中积分滑模面的设计较为复杂。文献［15］研究了末制导阶段空空导弹直接力气动力复合控制问题，设计了固定时间收敛滑模控制器，仿真实现了直接力与气动力的协调使用，但忽略了滑模控制器存在的奇异问题。此外，固定时间收敛理论还被应用于火箭回收［16］、航天器姿态控制［17］和交会对接［18］等工程问题上，但控制器结构均比较复杂。虽然上述研究已经取得了一定成果，但对采用复合控制方式的空空导弹敏捷转弯这一类复杂控制系统而言，国内外采用固定时间收敛理论开展的研究仍然较少。敏捷转弯要求所设计控制器具有较好的快速性，双幂次快速终端滑模面作为具有固定时间收敛特性滑模面的一种，形式简洁，可用来实现系统的固定时间稳定性。但是，利用其设计控制器通常存在奇异问题，综合导弹总体设计的需要和敏捷转弯系统的复杂性，设计一种非奇异且收敛速度快的固定时间收敛滑模控制器来研究空空导弹敏捷转弯问题具有研究必要。

此外，导弹大角度机动过程中存在严重的气动不确定性和内外扰动，这种扰动往往具有很强的随机性。为了使系统保持较强的鲁棒性，滑模控制往往引入具有较大切换增益的符号函数，导致控制过程产生高频抖振，不仅增加了系统能量消耗，同时也不利于导弹执行机构的响应。为了削弱抖振，大多数文献采用对符号函数项进行光滑处理的方法，但这种方法改变了滑模控制结构，会降低控制精度。而干扰观测器本质上不改变系统结构，同时具有对系统的干扰和不确定量出色的观测估计能力，使得干扰观测器逐渐被引入各类控制系统以提高控制系统的性能，诸如非线性干扰观测器［19-21］、模糊干扰观测器［22］和自适应干扰观测器［23］等。

综上所述，针对复合控制空空导弹敏捷转弯，设计一种固定时间收敛的具有抗干扰能力的滑模控制器具有重要的研究意义。本文结构安排如下：首先，建立了包含气动干扰的直接力/气动力复合控制的空空导弹运动方程组，针对传统非奇异滑模控制方法存在的收敛速度慢的问题，设计了一种非奇异双变幂次固定时间快速收敛的非奇异滑模面，采用等效控制思想设计了控制律，保证了系统固定时间收敛；其次，为了削弱控制抖振，针对一类匹配气动扰动，设计了一种双幂次固定时间收敛的扩张状态观测器（Extended State Observer， ESO）以补偿控制律；然后，基于李雅普诺夫稳定性理论证明了所设计系统的固定时间收敛特性，给出了固定收敛时间表达式；最后，通过导弹敏捷转弯仿真分析，验证本文所提方法的有效性。

1 导弹运动数学模型建立

1.1 小攻角模型

本文采用一种具有X 型尾舵的无翼式导弹外形，采用前置直接侧向力装置（Reaction jets Control System， RCS），其安装位置位于导弹质心之前，如图1 所示。

图1 空空导弹外形示意Fig.1 Sketch of air-to-air missile configuration

为简化研究，本文仅对空空导弹俯仰通道进行研究，忽略导弹滚转。因此，直接侧向力装置所提供的控制力只作用于Oy1轴。同时，由于导弹敏捷转弯较为迅速，可以认为此过程中导弹质量几乎不变，且不考虑导弹压心位置的变化。本文采用一种可产生连续推力的侧向控制发动机，其大小Tnow可在发动机最大推力内连续变化［24］。定义侧向控制发动机喷气阀门开度为

式中：Trcs为侧向发动机所能提供的最大推力；阀门开度δrcs的取值范围为[-1，1]。

导弹敏捷转弯过程中会经历超大攻角阶段。利用DATCOM 通过经验公式计算，可以得到导弹小攻角飞行条件下（α＜40°）的气动数据。由于DATCOM 计算方法的限制，其在大攻角阶段（α≥40°）计算获得的数据并不可靠。基于上述事实，将气动舵简化为一阶系统，参考文献［25］，首先建立小攻角条件下空空导弹俯仰通道运动方程组如式（2）所示。

式中：ρ为大气密度；V为导弹质心速度；Q=1/2ρV2为动压；m为导弹质量；S为特征面积；L为特征长度；CL和CD分别表示升力系数与阻力系数；P为发动机推力；uP为主发动机控制开关，满足约束uP={0；1}；ϑ、α、Γ分别表示俯仰角、攻角和弹道倾角；ωz为俯仰角速度；Jz为导弹绕弹体坐标系z轴的转动惯量；Cmα和Cmδ分别表示俯仰力矩系数对攻角和气动舵偏角的一阶导数；Lrcs为侧向喷气发动机与导弹质心的距离；mzd表示气动不确定性和外部扰动对俯仰力矩系数的干扰之和；X、Y分别表示导弹质心位置坐标；δ为气动舵偏角；δc为气动舵控制指令；τ为气动舵环节时间常数。

1.2 大攻角模型

由于DATCOM 并不适用于大攻角气动数据计算，因此常采用分析方法来估计气动数据。大攻角阶段，由于气流分离，压差阻力成为了阻力因素的主导部分，导弹大攻角阶段产生的垂直于弹体的法向力N=CNQS成为了主要的气动力，它只对阻力产生贡献，其中CN为法向力系数。通过将[0°，180°]的攻角转化为[-90°，90°]内的等效攻角，文献［25］提供了一种估计导弹大攻角阶段气动数据的方法，可描述为

具体内容可参考文献［25］。

在导弹敏捷转弯大攻角机动过程中，气动舵控制作用有限，认为舵控失效。因此，此阶段导弹姿态仅由直接侧向力控制。综上，在忽略舵环节的基础上，大攻角阶段式（2）中关于俯仰角加速度的方程变为

式中：Ls为压心与质心的距离；CN为法向力系数。

2 固定时间收敛滑模控制器设计

2.1 基本定义和引理

考虑如式（5）所示系统：

式中：x∈Rn为系统状态向量；g(t，x)：R+×Rn→Rn为非线性函数。式（5）的解定义在Filippov 意义下，假设零点为系统的平衡点。

定义1若系统式（5）平衡点x=0是全局渐进稳定的，且式（5）的任意解x(t，x0)于一个有限时间达到平衡点，则称原点为有限时间收敛平衡点，即

式中：T(x0)为收敛时间函数。

定义2若系统式（5）的平衡点x=0 是全局有限时间稳定的，且T(x0)存在大于0 的上界Tmax，则该系统的原点为固定时间收敛平衡点，即

定义3若系统式（5）的任意解x(t，x0)于一个有限时间T(x0)达到集合M后，始终停留在集合M内，则称该集合为式（5）的全局有限时间吸引域，即

式中：T(x0)为收敛时间函数。

定义4如果定义3 中的T(x0)存在正上界Tmax，则称集合M为系统式（5）固定时间吸引域，与式（8）相同。

定义5为后文书写方便，作如下定义：

式中：sign(·)为符号函数，且sign(0)=0。

引理1［12］考虑一类非线性系统如式（10）所示：

式中：signm1(y)=sign(y)|y|m1；l1＞0，l2＞0；m1＞1，0 ＜m2＜1。

那么该系统的平衡点是固定时间稳定的且收敛时间T有上界Tmax，满足

控制系统收敛时间的上界仅由预先设置的参数来确定而与系统初始状态无关。

引理2［26］假设存在Lyapunov 函数V(x)满足其中l1＞0，l2＞0；m1＞1，0 ＜m2＜1，则系统是固定时间稳定的，其收敛时间T有上界Tmax，满足式（11）。

基于上述引理，文献［27］设计了一种具有自适应特性的固定时间收敛滑模控制器，加快了传统快速终端滑模面收敛速度。在此基础上，文献［28］构建了一种改进固定时间收敛系统，其收敛时间表达式及证明如下。

引理3 考虑如式（12）非线性系统

那么系统的平衡点是固定时间稳定的，收敛时间T有上界Tmax，满足

证明系统式（12）等价于

对变量y做如下替换：

则系统式（14）等价转化为以z表示的新系统：

因此，可以求解得到系统式（15）的收敛时间上界Tmax为

因此，得到该系统收敛时间上界为

证毕。

与式（11）相比，式（19）所示的收敛时间上界显然更小，采用该固定时间收敛系统具有更快的收敛速度。

2.2 固定时间收敛非奇异终端滑模设计

考虑导弹纵向姿态动力学模型：

式中：f和d分别代表系统中的已知量和扰动（内外扰动和系统不确定之和）；uδ为舵控效果；urcs为直接气动力控制效果。

式（20）中各变量表达式为：urcs=当α＜40°时，f=当α≥40°时，认为舵控失效

为了控制导弹实现180°敏捷转弯，令俯仰角跟踪指令为ϑc=180°，导弹俯仰角误差跟踪方程表示为

式中：x1=ϑ-ϑc；x2=ωz。

对于导弹俯仰角指令跟踪误差系统，文献［29］针对传统NTSM 方法在系统远离平衡点时收敛速度慢的问题，设计了一种基于复合滑模面的NTSM（NTSM based on Compound sliding surface， NTSMC），控制律表示为

八条禁令的内容包括：严禁瞒报、谎报、迟报、漏报、阻碍他人报告动物疫情；严禁接到动物疫情举报不受理、不核查；严禁动物疫情排查不到场、不到位；严禁不履行动物疫病检测职责、出具虚假检测报告；严禁不检疫就出证、违规出证；严禁违规使用、倒卖动物卫生证章标志；严禁违规处置染疫或者疑似染疫的动物、动物产品及相关物品；严禁发现违法违规行为不查处。

式中：β＞0；1 ＜v＜2；w＞1。对于该系统，在远离平衡点时，采用传统终端滑模面，滑模面收敛速度较快；当进入|x1|＜1 区间时，采用非奇异终端滑模面，从而避免了奇异现象。分析滑模面式（20）可得，由于v＞1，在|x1|≤1 区间内其收敛速度仍然较慢。此外，基于该滑模面设计的控制器只能保证系统有限时间收敛，该时间受初始状态影响，该控制器无法使系统在不同状态下快速收敛于较小的固定时间内。

为解决上述问题，根据引理1 可以设计一种具有快速收敛特性的FTSM，其形式如为

式中：k1＞0；k2＞0；m1＞1；0 ＜m2＜1。

对s求导可得

将式（21）代入式（24）得

将气动舵控制作为等效舵控制，令urcs=0，=0 可求得α＜40°时的等效气动舵控制，即气动舵控制指令为

基于引理1，设计直接气动力控制律为

分析式（26）和式（27）2 个控制律中的|x1|m2-1幂次为负。当x1=0 时，控制大小趋近于无穷，产生奇异现象。

为消除奇异现象，同时加快收敛速度，根据定理1 构造一种分段滑模面，其表达式为

当x1=0 时，ṡ的表达式不含负幂次项，从而避免了奇异问题的产生。

基于本文提出的固定时间收敛滑模面，气动舵指令变为

导弹在大角度机动过程中，由于气流的分离，使得弹体的气动特性十分复杂，采用1.2 节的数值方法获得的气动数据可能存在一定误差；同时，导弹大攻角飞行过程中还存在内外扰动问题。综合以上2 点，将2 种干扰结果的和考虑为总的气动力矩的扰动效果d。在不同环境下，扰动是不同的，同一环境的不同时刻扰动也是不同的，因而扰动具有很强的随机性。为了保证控制的鲁棒性，常考虑扰动最坏的情况，即扰动达到最大值，即给扰动一个常值上界，于是考虑扰动d满足下列假设。

假设1假设扰动d有界，存在常数D＞0，满足|d|≤D。

结合假设1，设计直接力控制律为

2.3 基于扩张状态观测器的扰动量估计与补偿

抖振现象是滑模控制方法的一大缺点，而空空导弹敏捷转弯的大攻角机动过程中，存在十分严重的气动扰动现象，同时，导弹动力学系统还存在其他不确定性，这对控制系统提出了更严苛的要求。在式（32）所示的直接力控制律中，为了消除扰动d对系统的影响，利用切换增益k来抑制扰动影响，其控制律设计依赖对扰动上界的估计，且该扰动上界选取较为困难。此外，一般情况下，由于扰动的随机性较强，其上界一般较大，为了保证系统鲁棒性，该切换增益k取值较大，进而导致控制系统产生严重的抖振。同时，等效气动舵控制指令式（31）含有未知气动扰动项d，使得气动舵控制具有较大不确定性，减弱了复合控制效果。

为了减小系统抖振，同时又保证系统的控制稳定性与鲁棒性，采用ESO 在线观测扰动量，并对控制律进行补偿。ESO 理论作为自抗扰技术的核心部分，由中国科学院韩京清［30］提出。ESO能够在原控制系统基础上，将扰动及不确定量作为扩张状态进行实时解算，从而得到对扰动及不确定量的估计。得益于ESO 出色的扰动观测能力，近些年来ESO 开始被广泛应用于各类控制系统中，诸如飞行器制导控制［31-33］、飞行器空中加油机械臂控制［34］、机器人控制［35］和车辆轨迹控制［36］等。相关研究表明，对于存在扰动及不确定性的一类控制系统，ESO 具有突出的应用价值。尤其在飞行器控制领域，ESO 的应用可以显著改善飞行器控制效果，更好地满足控制需求。

基于文献［37］，本文采用了一种双幂次固定时间收敛ESO，用于在线估计跟扰动量，其形式为

非线性函数表达式为

式中：和̂分别为ωz和d的估计值；κ1＞0；κ2＞0；a∈(0.5，1)；b∈(1，1.5)；ε∈(0，1)为一个小正数；u=uδ+urcs。通过调整ε的大小，可以达到期望的观测效果。

定理1对上述ESO，若ωz和u均已知，并且扰动d的偏导数满足其中d1有界，那么ESO 的观测误差和将会在固定时间内收敛到ωz和d的某个邻域。

关于ESO 收敛性和定理1 的证明见文献［37］。对于上述ESO，其观测误差由参数κ1、κ2、a、b、ε决定。当ε趋近于0 时，观测误差趋近于0。假设|e2|≤δESO。

利用ESO 实时估算的扰动观测值d̂对控制律进行补偿，则气动舵控制指令式（31）和直接力控制律（32）分别改为

对于上文导弹姿态角指令跟踪误差系统，采用滑模面式（28），设计气动舵指令和直接力控制律分别为式（35）和式（36），称此方法为基于ESO 的固定时间收敛快速非奇异终端滑模（Fixed-time-convergent NFTSM with ESO，FNFTSME）控制。

2.4 稳定性分析

针对导弹敏捷转弯姿态角跟踪误差方程组，采用上一节构造的FNFTSME 方法，考虑如下的Lyapunov 函数：

对式（37）求导得

根据引理3 可知，滑模面在固定时间内收敛到零，系统进入滑动模态，其收敛时间上界T1为

当进入滑动模态后，s=0，此时有

考虑Lyapunov 函数

当系统进入滑动模态时，若|x1|＞ξ，则有

对V1求导得

根据引理3 可知，x1将在固定时间收敛至|x1|≤ξ区间。其收敛时间上限为T2，满足

随后，在|x1|≤ξ区间内，有

此时

系统状态将在|x1|≤ξ区间内于有限时间到达平衡点。

当系统进入滑动模态时，若|x1|≤ξ，则系统状态已经收敛至平衡点的小邻域内，此时，系统将在极短的时间内收敛至平衡点。同上，易于证明，系统固定收敛时间收敛到平衡点小邻域内。

综上可得，由定义4 可知，|x1|≤ξ为系统的全局固定时间吸引域。利用本文提出的控制器设计方法，系统将于固定时间收敛至平衡点的小邻域，且该小邻域可控。系统收敛时间上界为Tmax，满足

3 数值仿真与分析

本节基于导弹敏捷转弯进行弹道仿真，模拟空空导弹180°转弯攻击后半球目标场景，并对所设计的控制方法性能进行分析。假设导弹在铅锤平面内飞行，采用直接力和气动力复合控制方式。导弹初始位置取为（0 m， 0 m），初始速度为220 m/s，初始俯仰角、攻角均为0°，初始俯仰角速度为0（°）/s，主发动机推力为22 500 N，最大直接侧向力为5 500 N，气动舵限位为30°，当俯仰角大于120°时开启主发动机，主发动机开启后不再关机，仿真时间取为4 s，采用四阶龙格库塔方法，取仿真步长为0.01 s。为了模拟导弹大攻角机动过程中的气动不确定性和干扰，人为加入扰动参数mzd，其随时间变化曲线如图2 所示。

图2 俯仰力矩系数扰动变化Fig.2 Variation of pitching moment coefficient distance

对于2.3 节设计的FNFTSME 方法的参数设置为：k1=2，k2=2，m1=2，m2=0.3，α1=1，β1=1，γ1=9/5，γ2=5/9，r=1.5，ξ=0.01。计算得到系统固定收敛时间为3.30 s。一般来说，增大k1、k2、m1可以提高收敛速度，但当其取值过大时会加剧抖振；当m2取值越小，收敛速度越快，但是过小会加剧抖振。α1、β1、γ1、γ2取值和上述原则类似，r和ξ可根据取值范围适当选取。

根据空战过程中导弹敏捷转弯初始状态的不同设计4 种场景，以验证采用本文所提方法设计的控制器能使导弹在较小的固定时间内快速完成敏捷转弯。

场景1：ϑ=0° ，α=0° ，Γ=0° 。

场景2：ϑ=10°，α=10°，Γ=0° 。

场景3：ϑ=20°，α=0° ，Γ=20°。

场景4：ϑ=30°，α=10°，Γ=20°。

图3 为采用2 种方法下导弹敏捷转弯弹道图，可以看出，FNFTSME 方法下导弹转弯半径更小，这意味着导弹机动能力得到了提高，能够更加适应快速攻击载机后半球目标的作战要求。

图3 导弹敏捷转弯弹道Fig.3 Trajectory of missile agile turn

图4 为导弹敏捷转弯过程中俯仰角、攻角、弹道倾角的仿真结果。结果表明，本文设计的方法和文献［29］的改进NTSMC 方法均能精确跟踪俯仰角信号指令，使空空导弹完成180°敏捷转弯。但是，本文提出的FNFTSME 方法具有更快的收敛速度，上升时间由NTSMC 方法的1.63 s缩短为1.27 s。从攻角曲线可以看出，在本文方法下最大攻角可以达到141°，大于NTSMC 方法下的134°，攻角建立速度更快。在敏捷转弯初始阶段，2 种方法下导弹敏捷转弯过程中弹道倾角增长缓慢，曲线几乎重合。因此，根据关系俯仰角、弹道倾角和攻角的关系ϑ=α+Γ可得，攻角越大，则俯仰角越大，即导弹弹体实现了更大角度的旋转，即采用FNFTSME 方法更加有利于导弹的敏捷转弯。

图4 ϑ，α和Γ 的变化Fig.4 Variation of ϑ，α and Γ

图5 给出了2 种方法下，导弹速度变化曲线，可以看出，空空导弹敏捷转弯过程中速度将会急剧减小，NTSMC 方法和FNFTSME 方法下导弹速度最低分别达到60 m/s 和47 m/s，随后攻角逐渐减小，速度在主发动机作用下开始迅速增大。进一步分析可以看到，对于空空导弹敏捷转弯来说，其转弯空间相对较小。从图4 可以看到，敏捷转弯初期2 种方法下弹道倾角几乎相等，因此在相对速度较低的情况下，导弹转弯半径也会更小；此外，结合图3 可以看出，采用本文所提方法时，导弹转弯半径小于NTSMC 方法，较好地提高了导弹的敏捷特性，体现了本文方法下导弹敏捷转弯的优势。

图5 速度变化Fig.5 Variation of velocity

图6 为分别采用2 种方法时直接力装置阀门开度变化曲线。可以看出，NTSMC 方法阀门开度存在较大抖振，其原因在于该方法为了抵消气动干扰的影响而采取了较大切换增益；作为对比，FNFTSME 方法下抖振几乎不存在，这得益于ESO 能够对气动干扰量的实时准确估计。

图6 直接力阀门开度变化Fig.6 Variation of valve switch for lateral force

图7 为导弹气动舵偏角变化曲线图。为了达到舵面和直接力的协调使用，舵偏角符号应和直接力方向变化一致，且当直接力达到最大时，气动舵也应该最大程度被使用，从而提高气动舵面利用效率。在敏捷转弯初始阶段，为了在短时间内迅速建立大攻角，从图6 和图7 可以看出，在运动初期2 种方法下直接力和导弹舵偏角能够迅速达到最大值；而在敏捷转弯后期，NTSMC 方法舵偏角曲线抖振明显增加，且舵偏角无法配合直接力方向，无法协调使用，降低了复合控制效率；而FNFTSME 方法下抖振明显减弱，舵偏角曲线可以跟踪直接力方向变化，提高了复合控制效率。