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图形概念形成中直观想象的运用

2023-06-26李苗苗吴晓敏

关键词:直观想象小学数学

李苗苗 吴晓敏

摘 要:直观想象在图形的认识中有着重要的作用。图形概念形成中直观想象的运用,可以借助感知与抽象的策略,具体有直观描述、观察理解、想象推理三个层次。由此,《平行与垂直》一课的教学,可以引导学生经历如下三个环节:由“画”到“说”,借图形特征发展直观描述水平;由“一”到“多”,借图形辨析发展观察理解水平;由“聚”到“联”,借图形要素发展想象推理水平。

关键词:小学数学;直观想象;图形概念;平行与垂直

一、直观想象与图形的认识

直观想象是认识事物的基本方式。作为直观想象的重要载体,图形是数学研究的基本对象之一。在数学教学中,利用图形可以简单、直接地描述问题,探索和形成思路,寻找和发现结论,记忆和理解知识以及建立良好直觉,把握本质规律。

学生对图形的直接感知是直观的,但对图形的特征描述等数学概念认知则是抽象的。在数学学习中,学生对空间图形的认识,往往是根据已有经验,在直接观察的基础上,加以想象、抽象的过程。简言之,学生借助空间形式观察、想象图形的形状大小、位置关系、形态变化与运动规律,最终推理得到图形的具体特征等抽象概念。

图形是空间表征的重要形式,是直观的载体、想象的源头。由此可见,直观想象的关键就是感知、发现图形与分析、解读图形,进而理解和掌握图形的要义。因此,在图形教学中,恰当引导学生感知图形、分析图形,将图形反映出的数量关系直观化并进行想象加工,是进一步建构数学知识、解决数学问题、发展直观想象能力的关键路径之一。

二、策略要义

一是感知。感知是意识对内外界信息觉察、感觉、注意、知觉的一系列过程。感知可以分为感觉过程和知觉过程。感觉能够反映物体的属性,如通过眼睛、耳朵等感官看、听。知觉是把感觉到的物体的各个属性有机结合起来,成为一个整体的过程。二是抽象。抽象是从众多的事物中抽取出共同的本质特征,舍弃非本质特征的过程。具体地说,抽象就是在实践的基础上,对丰富的感性材料,通过去伪存真、去粗取精、由表及里地加工制作,形成概念、判断、推理等思维形式,从而反映事物的本质和规律的方法。[1]

学生通过对图形的直观感知,经过大脑的加工想象,抽象出本质含义,最终习得知识,发展能力,便是图形概念形成中直观想象运用的一种策略。具体可以阐释为直观描述、观察理解、想象推理三个层次。

直观描述是指根据事物的外表形状确认和操作几何对象,把图形看成一个直观的整体,将自己感受到的事物的形态与变化用语言表达出来,并在思维中形成视觉表象。

观察理解是指对既有感知经验的再现。观察是知觉的高级形态,是有目的、有计划、较持久的知觉过程。在直观感受和语言描述后,通过对几何图形的观察以及特征的分析、归类,对图形的性质等有一定的理解与掌握。

想象推理是指在感知观察几何图形变化发展的基础上,经历知识的扩展、猜想、验证,推理得到图形的变化趋势、发展规律,并加工形成自己的经验认知的过程。

三、实践案例

现以人教版小学数学四年级上册《平行与垂直》一课为例,具体阐述图形概念形成中直观想象运用的感知与抽象策略。

本课的教学内容主要是探究同一平面内两条直线的位置关系,它以认识线和角等概念为基础,是后续学习平行四边形和梯形等内容的基础。基于对教材前后连贯以及学生直观想象发展的思考,本课的学习目标可以这样确定:借助直观的实物或图形,依托空间想象能力,探索同一平面内两条直线不同的位置关系,进而理解和掌握平行概念与垂直概念,发展空间意识和直观想象素养。

虽然教材在编排上结合了动手操作与生活情境,但总体来说,内容的抽象性仍然较强,对学生的几何直观、空间观念要求较高。由前测(结果如下页表1所示)了解到,无论是对“平行”还是对“垂直”,学生的理解尚停留在表面,且有一些偏差。具体来说,多数学生虽然能画图表征平行,但认识比较粗浅,表现为画出的平行大多数是横平的两条线,偶尔会出现纵向、斜向的情况;部分学生只画了一条水平的线,表明他们对平行的前概念是“平的线”。另外,多数学生不能画图表示垂直,错误地将垂直理解为一条竖直往下的线等;而部分画对的学生,也说不清楚什么是垂直。

基于以上对教学内容和学习基础的分析,我们尝试借助感知与抽象策略,逐步展开本课的教学。下面,以“平行”的教学为例具体说明。

(一)由“画”到“说”,借图形特征发展直观描述水平

从直观的图形到关于特征的语言描述,是认识事物、抽象概念的基础。平行这样的图形概念在生活中不单独存在,需要借助事物来表征。因此,学生需要有一个由经验认知到数学抽象的发展过程。

【教学片段1】

教师提出任务:你觉得什么是“平行”?请在方格纸上画一画。

学生完成后,教师呈现学生的作业(如图1所示),并提出要求:请你根据自己的作品,同桌互相说一说什么是平行。

学生同桌交流后,教师组织全班反馈,并要求思考:把两条直线无限延长,它们仍然平行吗?引导学生想象“直线无限延长”的动态过程,随后课件演示。

……

平行线是同一平面内两条直線位置关系的一种表现。很多教师在教学时,会从研究两条直线的位置关系入手。这里,由“借助方格画平行线”入手,打破传统“引导发现”的学习方式,采用唤起认知经验、完善改造经验的学习方式,不失为一种教学创新。以上教学过程体现了两个层次的引导:一是引导学生画“平行”,展示自身经验中的图形认识水平,初步感知平行线的特点;二是引导学生用口头语言描述“互相平行”,将具体的图形意象提炼为语言意象,继而对已有认知经验进行思辨和完善。

(二)由“一”到“多”,借图形辨析发展观察理解水平

观察理解是数学思维形象化的表征,一般通过观察、操作和描述等行为表现出来。为了更好地帮助学生认识平行,要引导学生从更多的图形中获取观察理解的经验。

【教学片段2】

教师结合学生初步获取的经验,组织学生完成下面的练习:

1.观察图2中的各个图形,判断哪些是平行线。

2.观察正方体模型,判断两条直线的位置关系:先看同一平面上的两条直线,再看不同平面上的两条直线。

这里,从观察平面图形而后判断到观察立体图形而后判断的逐层推进,均在引导学生观察更多的平行线,丰富直观感知经验。同时,也在有意识地引导学生通过交流探讨,发展观察理解水平。特别是对异面直线的判断,既需要对同一平面上平行线概念的理解,又需要对不同平面上直线的想象推断;是在直观经验较为丰富的基础上的进一步历练,有意识地提高了认识的难度。

(三)由“聚”到“联”,借图形关系发展想象推理水平

学生理解平行概念后,需要在更复杂的图形背景中联系相关概念(如垂直)进行综合应用,从而借助图形关系发展想象推理水平,使直觉思维与逻辑思维相互协调、相互融合。

【教学片段3】

教师提出以下问题,让学生思考回答:

1.图3中哪些线互相平行?请说明理由。

2.你在生活中见过平行吗?想想其中蕴含着什么道理?

问题1是数学概念的直接应用,让学生结合平行概念的要素,从众多线段中寻找互相平行的位置关系。一是需要对平行概念的理解,二是需要借助图形要素分析判断两条直线之间的位置关系。如线段AF与BC的平行关系,需要借助同时垂直于直线CG推理得出。

问题2是数学概念回归生活的应用,考查学生对平行概念掌握的深度和广度以及发散思维。学生可能举出直线跑道的分隔线、竹竿水平掉进水里引起的水面波纹等例子,进而思考(猜测)其背后的道理。这一过程中,不仅可以利用实物印证,而且可以不利用实物,完全通过想象来确认和说明。

总之,图形在生活中不是孤立存在的,而是依附于具体的事物展现出来的,因此,感知与抽象是认识图形的重要过程;当然,对图形的感知与抽象需要空间想象做支持,因此,認识图形的过程往往也是直观想象应用与发展的契机。

参考文献:

[1] 冯回祥.思维方法与数学教学[M].武汉:华中科技大学出版社,2018:100.

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