大概念统领下的分数乘除法单元整体教学设计

牛献礼

【摘 要】分数除法是分数乘法的逆运算，两者在本质上具有一致性和整体性。本文结合若干典型课例，阐述在教学中以单元大概念为核心对分数乘法和分数除法单元内容进行重组，引导学生从分数乘除法的意义、算理、算法、数量关系之间的联系出发，多角度沟通分数乘、除法之间的内在逻辑联系，体会分数乘除法运算的一致性和可迁移性，从而促进学科知识技能向核心素养转化。

【关键词】大概念 分数乘除法 单元整体教学设计

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：应当改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现不同数学知识之间的实质性关联，展现内容与观念之间的融合，体现课程内容的整体性。那么，在分数乘除法的教学中如何体现新课标的上述要求呢？下面谈谈笔者的思考与实践。

从当前的教材和教学来看，分数乘法和分数除法是分属于两个单元的内容，分数乘法和除法有各自的算理和算法，应用分数乘法和除法解决实际问题时也有各自的解题思路和方法。这些知识似乎是支离破碎、缺乏内在一致性的。但事实上，分数除法是分数乘法的逆运算，两者在本质上是一个整体：从算理推演和算法推导的角度来说，分数除法的算理是借助演绎推理来推演的，其算法转化成了分数乘法。

白了分数乘除法运算的内在一致性，还需要以单元大概念为核心统领具体的知识内容，促进学科知识技能向核心素养转化。笔者概括、提炼的分数乘除法单元大概念如下。

概念1：分数乘法的意义是整数乘法意义的扩充。一个数乘整数，是求这个数的几倍是多少；一个数乘分数，是求这个数的几分之几是多少。

概念2：分数除法的意义是整数除法意义的扩充。分数除法的本质是把被除数和除数的计数单位通过细分变得相同，再把计数单位的个数与个数相除。分数除法是分数乘法的逆运算。

概念3：可以借助几何直观理解分数乘除法的算理、算法。分数乘法运算与整数乘法运算保持了一致，都是计数单位与计数单位相乘，计数单位的个数与计数单位的个数相乘。分数除法可以转化为分数乘法，但本质上是将被除数和除数的计数单位细分到相同，然后将相同计数单位的个数相除。

概念4：用分数的乘法和除法解决问题的关键，是基于“求一个数的几分之几是多少，就是用这个数乘几分之几”这个基本数量关系展开思考与分析的。

概念5：在推演算理、推导算法的过程中，发展学生的几何直观能力、运算能力和推理能力（尤其是演绎推理能力）等数学核心素养。

笔者以上述大概念为核心对分数乘除法内容进行重组，将分数乘法和分数除法合并为一个学习单元，引导学生从分数乘除法的意义、算理、算法、数量关系之间的联系出发，多角度沟通分数乘、除法之间的内在逻辑联系，引导学生体会分数乘除法运算的一致性和可迁移性。实践表明，这种整体性思维方式能有效减轻学生的学习负担，帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素养。

典型课例1：分数乘整数

教学片段一：

1.在迁移中体会乘法意义的扩充

（1）一桶水有3L，5桶水共有多少升？

学生依据“一桶水的体积×桶数＝水的体积”列式：3×5＝15（L）。

小结：3×5表示3的5倍是多少。

：想一想，第1题和第2题在解题思路上有什么相同点？

生5：都是先找单位“1”，再找等量关系，然后列式解答。

生6：我发现它们的等量关系是一样的，只不过一个是用乘法计算，另一个是用除法或者方程解答。

小结：用乘法和除法解决分数问题，关键是根据“求一个数的几分之几是多少，就是用这个数乘几分之几”找到等量关系，然后根据题目选择不同的方法来解答。

【参考文献】

[1]刘锡萍.数学结构化活动的设计与实施——以“分数除以整数”教学为例[J].小学数学教育，2021（23）.

[2]朱國荣.从“量的运算”到“率的运算”——重构分数运算及解决问题教学之思考[J].小学教学（数学版），2021（4）.

[3]巩子坤，史宁中，张丹.义务教育数学课程标准修订的新视角：数的概念与运算的一致性[J].课程·教材·教法，2022（6）.