结构化视角下数学深度复习的实践思考

许茜倩

【摘 要】一节完整的复习课，其教学目的一般有三个方面，即梳理知识、形成能力、发展思维，最终指向的是结构化的深度理解和数学素养的提升。指向结构化的深度复习，要一以贯之地融入数学思想进行知识统整，重建知识体系；进行技能统整，上串下联地多层次设计练习题组。在整体的视野下，既关注知识的梳理和归纳，又关注技能的习得，以及思维习惯、学科素养的同步发展。

【关键词】复习课 内容结构化 学科素养

所谓结构化，是指在教学中要抓住知识之间的内在联系，引导学生以整体、关联、开放的视角探究和理解问题，促进学生的学习从碎片化走向整体化、从离散走向聚合、从浅层走向深度。《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出了课程内容的结构化整合，结构化有助于学生理解和掌握学科基本原理，实现知识与方法的迁移，把握核心概念的进阶。

“多边形的面积整理与练习”是苏教版数学五年级上册第二单元的复习课。“多边形的面积”单元共包含六项内容（见图1），前三项属于“公式探究”，后三项属于“拓展应用”。通过本单元的学习，多数学生已经能够用拼接、平移、旋转等方法探索和掌握平行四边形、三角形、梯形的面积公式；能够正确计算基本图形的面积；能利用基本图形的面积探究的经验和方法解决土地相关的实际问题，以及组合图形的面积问题。但依然存在以下问题：一是学生头脑中仍存在“碎片化”的知识，缺少整合融通，难以形成知识网络；二是“机械式”练习，缺少思维的拓展，学生解决问题的能力在低水平徘徊；三是缺少数学思想方法的提炼，学生的数学学科素养难以落地。

一节完整的复习课，一般包括三个方面：梳理知识、形成能力、发展思维，最终指向的是结构化的深度理解和数学素养的提升。下面，笔者将结合自身的教学实践，谈一谈在多边形的面积计算整理与练习中如何实现结构化的深度复习。

一、知识整理——溯本求源，重建知识体系

数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。美国认知心理学家布鲁纳的认知结构理论认为：掌握事物的结构，就是用许多其他事物与它有意义地联系起来的方式去理解它。简言之，知识的学习就是在学生的头脑中形成一定的知识结构。在多边形的面积计算中，各个图形面积公式之间是有联系的，可以相互转化的。回顾的重点不仅是计算公式，更是让学生厘清多边形面积计算公式之间的联系，使学生脑中零散的知识具有连续性、关联性和生长性，帮助他们重建知识体系。

（一）横向联系，将知识点串联起来

以横向联系的方式将知识点串联成知识链，不仅可以帮助学生理解和记忆公式，还有助于引领学生对原有知识的理解走向更深层，并能在此过程中积累宝贵的整理知识的经验。

在课前引导学生整理时，教师可以让学生回忆本单元所学习的平面图形公式，设置探究性问题：“如果让你选一个图形的面积公式为基础，推导出其他图形的面积公式，你会选哪一个？说一说推导过程。”部分学生会选择由易到难地整理、推导面积公式，教师可根据学生的实际情况进行整理（见图2），引导学生感悟从左往右能看到知识的生长和发展，而从右往左能看到知识的转化和统一。

（二）纵向类比，让知识链活起来

在尝试整理了常规的推导过程后，教师应寻找学生已有知识经验的生长点，让学生思考：如果换一个方向，从其他图形出发，它们之间又有怎样的联系呢？

1.以梯形的面积公式为基础

在教学时，教师可引导学生想象，如果将梯形的上底缩短，最终会变成什么图形呢？此时，下底和高不变，上底会变为0（见图3）。

如果将上底延长，此时上底和下底相等，高不变（见图4）。

在这个过程中，教师可以引导学生发现：三角形、平行四边形以及长方形的面积公式也可由梯形的面积公式推导而得。

2.以平行四边形的面积公式为基础

教师在引导学生以平行四边形的面积公式为基础推导时，可结合《九章算术》中的相关数学文化知识（见苏教版数学教材第10页“你知道吗”），用剪、拼的方法让学生经历全新的探究之路（见图5）。

3.以三角形的面积公式为基础

同样，以三角形为基础公式也能推导出长方形、平行四边形和梯形的面积公式（见图6）。

这样的复习探究对五年级学生来说可能并不容易，但因为方法的拓展、思路的拓宽，不但使学生将这些面积公式更自然而紧密地联结在一起，更使学生明白，知识之间是可以相互转化的，使学生突破思维定式，在知识融通的过程中能够构建良好的知识结构。

二、技能巩固——融会贯通，多层次设计练习

教师在结构化深度复习的理念下设计练习，要先关注练习设计的关联性，安排有联系、有延续的练习；接着要关注练习设计的层次性，查漏补缺和拓展提升都应是练习的重要目标。除此之外，教师在设计作业练习时，除了要利用基本图形的面积探究的经验和方法解决土地相关的实际问题以及组合图形的面积问题，还可以编制如下题组：

（1）一个梯形上下底之和為10厘米、高是6厘米，面积是多少平方厘米？

（2）正方形的周长是32厘米，平行四边形的面积是多少平方厘米（见图7）？

（3）S甲与S乙谁的面积大？

学生在第（1）题中可直接应用梯形的面积公式求得答案，接着教师可引导学生列举可能的梯形（见图9）。

学生发现这样的梯形例子不能完全列举完，并在列举后发现等底等高的梯形面积是相等的。另外，在整理知识时学生已经经历过由梯形面积公式推导平行四边形、长方形，以及三角形的面积公式的过程，对于练习（2）和（3），学生可以进一步运用平行四边形和三角形等积变形的结论解决问题。

这个题组再一次将多边形的面积公式进行沟通与整合，在练习的过程中二次开发，不仅使学生的知识体系更为完善，将知识融会贯通；还能引发学生更深入地思辨，在拓展深化中引发更多的思考，让复习课走向更高效。

三、思想贯穿——一以贯之，实现学科育人

数学思想是人们对数学理论和内容的本质认识，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括。数学思想作为《义务教育数学课程标准（2011年版）》涉及的“四基”之一，在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中仍处于重要的位置，已是数学学科教育目标的重要组成部分。除了显性的知识和方法外，数学思想则是潜默和间接的，常常隐藏在知识背后，但它能使学生获得价值、动机等情感态度与价值观方面的成长。数学思想的学习过程需要经历操作体验、明朗化、自觉运用和联系发展4个阶段。指向结构化的深度复习，要一以贯之地发挥数学思想的作用。

（一）在知识结构的整理中贯穿

数学思想蕴含在数学实践活动中，但形成的关键在于对数学实践活动经验的总结和概括，也就是将实践经验一般化、模式化的过程。在尝试从不同角度推导多边形面积公式时，教师应适时渗透，引导学生抽象和提炼出“转化”这一数学思想。新授课时，教师可以初步引导学生感悟体验“转化”的思想，复习课中继续渗透这一数学思想，使之发展到明朗化阶段。

（二）在能力提升的练习中贯穿

数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，其形成的过程需要充分的样例积累。在解决组合图形的面积和与土地相关的实际问题的练习中已明确：未知图形的面积可以通过割补、拼接或者平移和旋转等操作转化成已知图形的面积。用相同的思想方法解决不同形式问题的经历，能提高归纳的信度，把数学思想推进到自觉应用和联系发展的阶段。在数学活动经验的积累、数学思想方法的感悟，以及数学情感态度的涵养过程中，真正实现数学课堂从“知识为本”向“素养为本”的转变，从“数学教学”向“数学育人”的转变。

数学教育家米山国藏在《数学的精神、思想和方法》一书中指出，数学思想方法会影响人的一生。不管学生今后从事什么工作，即使把所教的知识、概念、定理、法则和公式全忘了，但铭刻在他们心中的数学精神、思想和方法能随时随地地发生作用，使他们终身受益。教师需进一步更新观念，充分认识到数学思想方法在培养学生数学素养方面的作用和在数学教育中的价值。教师要通过自己的教学，让学生能够运用数学思想方法去解决实际问题，实现数学学科的育人价值。

综上所述，指向结构化的深度复习，要一以贯之地融入数学思想进行知识统整，重建知识体系；进行技能统整，上串下联地多层次设计练习题组，在整体的视野下，既关注知识的梳理和归纳，又关注技能的习得，以及思维习惯、学科素养的同步发展。

【参考文献】

[1]中華人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]吴亚萍.“新基础教育”数学教学改革指导纲要[M].桂林：广西师范大学出版社，2009.

[3]吴增生.数学思想方法及其教学策略初探［J］.数学教育学报，2014（6）.

[4]米山国藏.数学的精神、思想和方法［M］.成都：四川教育出版社，1986.