基于HPM视角的模型思想融入高中数学教学的应用研究

洪锐敏

［摘 要］文章通过回顾中国古代数学的辉煌发展历程，挖掘其中富含数学思想的部分，以祖暅原理为例，基于HPM视角，对模型思想融入高中数学柱体和锥体体积公式的推导及教学进行研究，并从教学设计和教学实施两个方面给出教学建议：教师在进行教学设计时，应结合教材并深挖数学史中的数学模型进行二度创造，在教学设计层面将模型思想融入教学活动中；教师在进行教学时重在让学生明确数学模型的形成过程和适用条件，让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般的研究过程，引导学生形成模型思想和对策思维，提高学生解决问题的能力。

［关键词］ HPM；模型思想；祖暅原理；数学史

［中图分类号］    G633.6            ［文献标识码］    A          ［文章编号］    1674-6058（2023）09-0022-04

一、问题的提出

2022年5月，我国教育部发布了2022年版的《義务教育数学课程标准（2022年版）》（下称“新课标”）。新课标在2011年版课标的基础上提出数学课程要培养学生的核心素养，其中初中阶段要培养学生包含模型观念在内的九大核心素养［1］。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出，数学课程要培养高中生包括数学建模在内的六大数学学科核心素养［2］。模型观念和数学建模都强调了模型思想在数学学习过程中的重要性。在我国教育改革工作推进的过程中，学者们对模型思想的研究较多，但对基于HPM视角的模型思想融入高中数学教学的应用研究并不多见。鉴于模型思想与数学史和数学教育的紧密联系，所以，有必要对基于HPM视角对模型思想融入高中数学教学进行研究，为一线教师的教学和育人提供一定的参考。

二、概念的界定

HPM，即数学史与数学教育（History & Pedagogy of Mathematics），是数学教育中探索数学史与数学教育关系的一个研究领域［3］。HPM涉及数学史、数学教学实践和数学教师队伍建设等细节问题，既要在教学方式上注重数学史与数学教学的结合，又要大力提高数学教师的历史意识和素养［4］。HPM能够赋予数学以人文因素，有助于增强数学在社会发展中的作用。其中，数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系［5］；数学教育是研究数学教与学的实践和方法的学科。

模型思想是指学生在解决实际问题的过程中，能从认知结构中将问题抽象为数学问题，并运用所习得的数学模型、数学思想解决实际问题的能力。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题并进行模型假设，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学生学习数学的兴趣和应用意识［6］。

三、基于HPM视角的模型思想融入高中数学教学的研究过程

（一）在数学教学中渗透数学史的必要性分析

数学作为重要的基础学科之一，具有悠久的历史。我们必须充分认识到数学史研究对于当前数学教育的重要意义。数学是一门历史性很强的学科，数学的发展建立在先前数学家取得的研究成果之上，是对原先理论的包容和扩展。例如，对于数的理论，德国数学家高斯说：“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠。”毕达哥拉斯学派从重视正整数开始，逐步扩充了正分数、负整数、负分数。正整数和正分数统称为正有理数，负整数和负分数统称为负有理数；正有理数、零和负有理数统称为有理数。毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯最早发现了无理数的存在。有理数和无理数统称为实数。为了解决一个数的平方等于负数在实数域内无解的问题，意大利学者卡尔达诺在16世纪首次引入复数的概念，后来经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的研究，复数的概念才逐渐被数学家们所接受。由此可见，数学史是人类历史文明的一部分，是数学家们集体智慧的结晶。只有在数学教学中渗透数学史，才能让学生了解数学的来龙去脉，体会数学家们克服重重困难战胜数学危机的奋斗历程，感悟数学发展的艰难和曲折，进而激发学生学习数学的兴趣，提高学生发展数学的信心。

（二）在数学教学中培养学生模型思想的必要性分析

知名学者史宁中教授认为，迄今为止，数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型［7］。模型在高中数学教材中无处不在，例如三角函数模型、基本不等式模型、指数函数模型、对数函数模型等。数学教学不仅要教给学生数学的基本概念和定理，而且要教给学生在解决问题过程中所运用的数学思想和方法，从而提高学生解决问题的能力。解决问题是数学应用的落脚点，数学思想和方法是对解决问题这一过程的提炼和升华。解决问题的关键在于将实际问题转化为数学模型，然后利用相应的知识进行求解。因此，在数学教学中培养学生的模型思想，对提高学生的问题解决能力，让学生形成数学应用意识，具有深远的意义。

（三）中国古代数学史的辉煌成就

中国古代数学以“算”为中心，表现出强烈的“算法”精神，形成了为解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带有一般性的计算方法，这使得中国古代数学在14世纪以前相当长的一个时期内处于世界领先水平。中国古代数学有三次发展高峰：第一次高峰是以《周髀算经》和《九章算术》为代表的两汉时期，《周髀算经》的勾股定理和《九章算术》的正负术、开方术是这一时期几何与代数的代表；第二次高峰是以刘徽的《九章算术注》和祖冲之、祖暅父子的《缀术》为代表的魏晋南北朝时期，刘徽的“割圆术”、体积理论和祖冲之的圆周率、祖暅原理与球体积理论是这一时期数学证明理论的代表，这一时期是中国古代数学唯一出现数学论证倾向的时期，但这种数学论证倾向随着这一时期的结束而中断；第三次高峰是以秦九韶的《数书九章》、李治的《测圆海镜》、杨辉的《详解九章算法》、朱世杰的《四元玉鉴》为代表的宋元时期，这一时期是中国古代数学发展的顶峰时期。

（四）模型思想融入高中数学教学的应用研究

根据以上分析可知，魏晋南北朝时期是中国古代数学唯一出现数学论证倾向的时期，祖冲之、祖暅父子在劉徽“割圆术”、体积理论数学思想和方法的基础上进行推进与发展，提出了圆周率、祖暅原理与球体积理论。祖暅球体积的计算和推导继承了刘徽的思路，即从计算“牟合方盖”的体积来突破，在其计算过程中提出祖暅原理，即“幂势既同，则积不容异”，“幂”指水平截面积，“势”指高。祖暅原理用自然语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。祖暅原理要比其他国家早发现一千多年，直到1635年，意大利数学家卡瓦列里才得出上述结论。祖暅原理可通过以下例子来证明：假如桌面上有2沓相同数量的A4纸，无论A4纸是叠成直棱柱还是斜棱柱，其体积都等于A4纸的面积乘以直棱柱或斜棱柱的高。

祖暅原理，即“等体积模型”（下称“祖暅模型”），只要保证两个等高的立体图形在每个高度的截面面积处处相等，就可以得到这两个立体图形的体积相等的结论。在人教版高中数学A版必修二第八章第三节“简单几何体的表面积与体积”［8］的教学中，可将祖暅模型融入几何体的体积公式的推导过程。例如对柱体和锥体体积公式的推导及教学。但在日常教学过程中，由于高中数学的教学任务较重，教师为了加快教学进程，常常将柱体和锥体的体积公式直接告诉学生，让学生通过机械记忆来掌握柱体和锥体的体积公式，缺少引导和探究的过程。这样学生习得的知识只知其然而不知其所以然，死记硬背的效果较差，容易随着时间的推移而淡忘。因此，应重视学生知识的发生和内化，将祖暅模型融入柱体和锥体的体积公式的推导过程中，让学生通过祖暅模型来掌握柱体和锥体体积公式的推导过程，进而培养学生的模型思想，使学生能够运用模型思想来解决实际问题。

对于柱体体积公式的推导，可将底面积都等于[S]，高都等于[h]的任意一个多棱柱、圆柱和长方体放置在同一平面上，由棱柱、圆柱、长方体的定义可知，棱柱、圆柱、长方体在每个高度的截面面积处处相等，根据祖暅模型，可得多棱柱的体积[V1]，圆柱体的体积[V2]，长方体的体积[V3]之间的关系为：[V1=V2=V3]，又由于长方体的体积[V3=Sh]，故[V1=V2=V3=Sh]，进而可得到高中阶段常见多棱柱的体积公式如下。

对于锥体体积公式的推导，可将底面积都等于[S]，高都等于[h]的任意一个多棱锥和一个圆锥放置在同一平面上，设任意一个平行于底面且距离底面为[h0]（[0

综上所述，在柱体和锥体的体积公式的推导教学过程中，教师应先阐述清楚祖暅模型的基本内涵，让学生明确祖暅模型的形成过程和适用条件，进而建立起知识点与祖暅模型之间的联系，并运用祖暅模型来解决问题。教师应将模型思想融入教学过程中，使得学生对柱体和锥体体积公式的记忆是基于祖暅模型而生发的，这是一种有意义的学习和记忆方式，在打破学生的认知结构之后又通过模型思想保持了认知结构的完整性，记忆效果较好。教师将模型思想融入教学，既让学生了解中国古代数学的历史，认识到数学的文化价值，增强了学生的民族自豪感，又让原本略显枯燥乏味的高中数学课堂变得活泼生动，有利于学生理解和接纳模型所包含的数学思想，提升学生的数学建模核心素养。

四、研究结论

本文通过回顾中国古代数学史的辉煌发展历程，挖掘其中富含数学思想的部分，以祖暅原理为例，基于HPM的视角，对模型思想融入高中数学柱体和锥体的体积公式的推导及教学进行研究，说明了基于HPM视角的模型思想融入高中数学教学的必要性和可行性，为一线教师的教学和育人提供一定的参考。

教师在进行教学设计时，可结合教材内容进行二度创造，深挖数学史中的数学模型，例如函数模型、几何模型、方程模型等，将模型思想融入教学中，从教学设计上体现对培养学生运用模型思想来解决问题的重视。

教师在教学过程中，应阐述清楚数学模型的基本内涵，包括数学模型是怎样从具体问题中抽象出来的，重在让学生明确数学模型的形成过程和适用条件，让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般的推理过程，引导学生形成模型思想和对策思维，能运用所学到的数学模型解决实际问题，真正做到学以致用。

［   参   考   文   献   ］

［1］  中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］  汪晓勤.HPM： 数学史与数学教育［M］.北京：科学出版社，2019.

［4］  许晶，李淑文.HPM视角下数学史融入高校数学教育实践研究：评《HPM： 数学史与数学教育》［J］.教育发展研究，2020（8）：87.

［5］  李文林.数学史概论［M］.北京：高等教育出版社，2021.

［6］  中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2011年版［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［7］  史宁中.数学思想概论［M］.长春：东北师范大学出版社，2008.

［8］  章建跃，李增沪.普通高中教科书：数学选择性必修第二册［M］.北京：人民教育出版社，2019.

（责任编辑    陈    明）