习题教学也可积累经验

瞿德军

【摘 要】数学学习不应该一直被片面地认为是对知识的连续累加，真正有效的数学学习应该能够训练学生的思维，让学生的思维在一次次的逻辑推理中变得严谨周全；促进学生的经验积累，让学生在经历一个个探究活动和一道道习题的训练后，全面加深解题思路分析和积累策略制定的经验。这样的数学学习才是创新性学习，学生的思维品质才能得到质的改善，创新意识和创新能力才能慢慢复苏，学生的数学核心素养才能得到全面提升，为学生的成长成才打下基础。

【关键词】习题教学 经验积累 思维训练

经验积累的重要性已经得到广大教师的认同，并且得到一定程度的推广和落实。但是，经过调研，笔者还是发现一些问题：教师只是片面地对数学思想方法渗透、数学活动体验、空间观念发展、逻辑思维训练等进行大力推进，但是，这些动作只停留在新授环节。教师在新授环节还是可以做到尽心尽责的，但是一到了习题练习环节就松懈了，面对习题教学，大家普遍认为测评方式只是注重结果，也就是最终的得数，于是觉得吃力不讨好，既然无论怎么努力都无法将新理念设计到练习题教学中，那么干脆走老路继续之前的教法。这种风气，从根本上否认了习题教学中可以渗透新理念的可能，也忽视了习题对积累数学经验的积极作用。教师如果一直抱着这种心态去处理习题教学，那么就无法发挥习题教学的巨大潜力。

事实上，数学教学是离不开习题的，没有习题的数学就不再是真正的数学，习题的重要地位不单体现在它有检验、反馈、评判学生课堂所学的功用，从长远发展来看，长期练习可以改善学生的思维品质，积累大量的逻辑推导经验和数学化思考模型。从经验的形成机制来看，经验不是一蹴而就的，其形成需要对一个过程反复进行深入的反思和分析以及不断地批判和归纳。这样，思维经过多条路径的探索，经过正误难易的辨析、权衡、取舍，最终对有价值的部分反复印证，获得思维经验。下次遇到类似的问题和情境时，回顾反思，提取经验，解决问题时再运用、检验、加工、丰富，并产生新的经验。经验的积累就是在循环往复中慢慢完成的。因此，习题教学对经验的积累、修正、完善起到了举足轻重的作用。从教材的编写来看，习题中渗透了大量的数学思想，融合数学知识、数学观念、数学活动经验的设计屡见不鲜。因为学生知识体系的构建单靠一节课的讲授和一道例题的示范是无法实现的，数学基本活动经验的积累是需要长期坚持的，而且需要方方面面执行到位。

一、猜想验证，催化經验再生长

许多数学家认为，数学结论是可以通过观察总结出来的，而不是依靠逻辑推理一步步证明出来的。这种通过观察总结出来的结论虽然有一定的依据，但是很大程度上还是靠直觉，未必正确，却还是有其合理性，且符合人的认知规律和思维习惯，因此，这种结论有时为我们指明了研究的方向，也提供了参考。在观察总结的过程中，由于缺乏严密、可靠、详细的理论依据，学生的思路中会出现很大的“真空地带”，这些“真空地带”就需要学生用自己的合理想象和创造元素去填补，这也正是数学创新的一种重要途径。

在教学中，教师组织学生进行观察，学生通过观察和初步思考，得出一些模糊、抽象、片面的结论，然后带着这些结论片段去交流评析、引发猜想，再结合各方面的信息猜想出完整的结论。这个过程培养了学生的推理能力，更重要的是，学生在猜想时，原有的数学活动经验被激活并运用，且在反思质疑中得到修正补充，而对猜想结论的验证，又催生了新的经验。

例如，笔者执教的“小数乘整数”一课（苏教版数学五年级上册P56“练一练”第1题）：

编者的原意是通过练习让学生直观地看出因数小数位数与积小数位数的对应关系，然后初步猜想出完整结论。教学设计时，一个问题反复浮现在笔者脑海里：如何实现这道题的价值最大化？那就要给这道题增加一点额外“职能”，这个附加“职能”虽然是无形的，但是有利于学生的长远发展。

于是，笔者打乱了出题顺序，最先出示较为复杂的算式：14.8×23=。面对这个“下马威”，学生倍感吃力，于是忙不迭用笔算，此时笔者出面解围：“大家可以不用笔算就知道结果，老师可以事先告知某一个算式的乘积。”

当笔者出示148×23=3404时，学生豁然开朗，不仅做出了第一道例题，而且脱口而出0.148×23与148×（ ）=34.04的结果。此时，笔者再趁热打铁，出示小数乘小数的算式14.8×2.3，引导学生有依据地猜想。笔者出示正确结果后，再次让学生猜测小数乘小数的计算法则。这里的两次猜想截然不同：第一次猜想是凭借先前的经验靠着直觉和创新精神大胆推测，所有的经验都是来自小数乘整数的探究经历，是对原有经验的补充和再生，增长新经验；第二次猜想则完全是对猜想的验证，是对前一次经验的回顾、审视、修正和完善。两次猜想让学生感知到猜想其实是一种创造性思维活动，而不是瞎蒙、乱猜，他们逐渐形成数学猜想的意识。

二、数形结合，注重思维方式的培养

学习数时，离不开形的直观演示；学习形时，少不了数的精确印证。这是数学学科的基本特征。而小学生的心理规律和认知特点又决定了他们对图形的依赖性。因此，一旦遇到非常抽象且数量关系又特别复杂的题目时，教师务必帮助学生画出图形。但是，这只是教师的一种强制性行为，不是学生的一项技能。如何将数形结合的思想植入学生的认知结构中，让数形结合成为学生的一种内在意识，培养学生根据数量关系绘图或者根据图形进行数量分析的动手能力呢？

例如，以下这道拓展题：

此题旨在引导学生将梯形面积公式与等差数列求和挂钩，也就是通过知识迁移，将面积公式与数列求和公式统一起来，实现数形结合，发散学生的思维。如果教师只是按照常规教学，分别总结出两个公式后，再进行形式上的对比归纳，就题论题，那么学生只会生硬机械地套用公式，达到表面上的数形结合，而且很快就会遗忘，学生的数学思维也没有得到很好的训练。

如果按照常规教学，听懂的学生只是少数，一个经典题型也就成为摆设。因此，教师如何充分挖掘题目价值，才能让全体学生都有所获益，都能对梯形面积公式与等差数列求和的共通之处有清醒的认知？

笔者尝试改编原题，创作出一个梯形，将梯形的上底分成若干单位长度，下底也分成若干单位长度，如上底为4、下底为8、高为5的梯形（见图1），我们可以将上底分为4条线段，将下底分为8条线段，然后将高分成5层，这样梯形就被分成一个个“砖块”，这些砖块的数量就是梯形的面积。于是，梯形的面积首次实现数字化，再将这些“砖块”一层一层相加，砖块数层层递增，每层增加1个，得出总数，然后得出梯形的总“砖块数”为4+5+6+7+8=30。此时，学生就会惊奇地发现，这就是一个等差数列，等差数列的和等于梯形面积。

虽然“砖块”拼凑成的不是一个标准的梯形，有一条斜腰“凹凸不平”，但是，用凸出三角形去割补对应的凹入三角形（A割补A1，B割补B1，C割补C1），刚好可以转化成一个标准的梯形。

三、捕捉生成，比较反思中积累经验

课堂永远是生成的，习题教学中学生经常会想出一些稀奇古怪的解法，也许这种思路与正常思路大相径庭，甚至匪夷所思。这时，教师就要释放更大的空间，让学生来反思和改造自己的经验，或者重新组合原有的经验。教师也要机智地捕捉生成性资源，对教学過程中的“节外生枝”因势利导，将一些打乱正常秩序、超出预设的想法及时引入正轨。

因此，数学活动经验的积累需要注重教学过程的宽松度，放慢教学的节奏，释放开放、个性化思考的空间，让学生有足够的时间去活动、感悟、反思。

例如，苏教版数学二年级上册“观察物体”一课中有这样一道题：

针对第（2）问，学生想出了四种摆法（见图2）。

教师引导学生进行概括分类，在形成有序错位拼摆的思维过程中，学生想到增加错误幅度，改一个侧面重合为一条棱重合，于是催生了摆法5（见图3）。

此时，笔者对学生的这种摆法大加赞赏，并且肯定他们的思维路径，因为从学生的思维出发，只要有一条棱相连，这些方块还算是一个整体，是一个有机组合。“一石激起千层浪”，受此启发，更多新奇的摆法如雨后春笋般冒出来（见图4）：

面对这些充满创造性的想法，笔者引导学生再次进行分类、比较、总结，最终，他们列举了所有合乎要求的摆法。在此过程中，交流、展示和质疑、评价，都能促进学生养成严谨的科学态度。

总之，对于习题教学，教师要一改以往只追求结果的思想，要更多关注过程中的活力与宽容度，在此过程中锤炼学生的思维品质，同时不断积累活动经验。

【参考文献】

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[3]施乐旺.考查过程，促进教学，提升素养——小学数学过程性学习习题设计探析[J].小学教学（数学版），2022（2）.