自组织理论观照下的高三数学复习课教学

刘权华　郭建华

【摘 要】自组织理论认为，要想让包含教师、学生、教材、信息技术等要素在内的复杂系统实现学生对数学知识、方法、思想等的“耗散结构”，必须满足系统开放等四个条件。自主、合作、探究的学习方式是教学本源的回归。因此，高三数学复习课教学可以通过目标呈现、学习前置、任务认领、整体架构、适时点拨、促进“涨落”等策略来引发“学习动机”、实现“温故知新”、形成“知识网络”、搭建“思维台阶”、促进学生学业水平质变，从而形成自组织理论观照下的复习课教学模式，让高效复习真正发生。

【关键词】高中数学；自组织；复习课；数列；数列单调性

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2023）20-0034-06

【作者简介】1.刘权华，南京市教育科学研究所（南京，210002）科研员，正高级教师，南京市高中数学学科带头人，江苏省“333高层次人才培养工程”中青年科学技术带头人；2.郭建华，南京市金陵中学（南京，210005）教师，高级教师，南京市青年优秀教师。

所谓“复习”，就是“为巩固和加深理解，重复学习已经学过的知识”。高三数学复习课教学的关键是帮助学生进行“归档”“联系”和“建构”，让学生把高一、高二时所学的知识进行归档，建立联系，把知识结构化、系统化；同时在对知识融会贯通的过程中，形成知识结构中的方法论系统；并通过以上活动，深化数学思想，积累数学活动经验，使数学核心素养得到进一步培育。在这个过程中，教师要做的不仅是讲题，还要“推动”和“点拨”；学生更不是简单的“刷题”，而是通过“联结”“迁移”让学习“自组织”起来。

一、自组织理论观照

德国哲学家康德最早提出“自组织”这一概念，他认为自组织是指事物内部的各部分都会为了其他部分和整体而存在，各部分会发生相关作用而构成一个有机整体。［1］教学过程中的自组织指的是不受外力强加，教学系统内部各要素之间彼此协同、相互竞争、各尽其责，逐步由无序向有序，由简单到复杂，由量变到质变的过程。

自组织理论认为，真正意义上的学习一定是自我学习，自主、合作、探究的学习方式是教学本源的回归。要想让学生实现对数学知识、方法、思想等的“耗散结构”，必须满足四个条件：教学系统要具有开放性，即教师、学生的流动，技术设备的迭代，教学内容的重组，资源信息的交换；教学体系要远离均衡态，即教学过程中要在预设和现实之间呈现差异，尤其是思想上、认知上的差异；教学体系中要有非线性的作用，即付出与收获之间不是简单的线性比例关系，如教师的投入与学生的收获之间要有非线性的比例关系；系统中要有“涨落”，如教师和学生的思维火花、优秀学生的榜样、专业领域的技术进步等，这些都会在知识、方法、思想、经验、素养等方面引起学生的思维起伏和思想涨落。［2］

下文以高三复习课“数列单调性的应用”的教学为例，阐述自组织理论观照下基于学科核心素养的教学设计及思考。

二、自组织理论观照下高三数学复习课教学实践

学生是在外部方式的引领和组织下学习成长的，也就是说，学生的学习是需要他组织的，但具体到个体的改变，是由内而外按照自我的意愿来进行的，是对外部影响的个体塑造。而教师要做的，就是通过教学材料和教学活动来实现学生的自适应、自设计、自改造、自批判、自教育、自创生、自完善。

（一）目标呈现，引起“学习动机”

首先在学案中呈现本节课的学习目标，使学生知晓本节课的学习任务，引发思维冲突和学习动机，如在“数列单调性的应用”教学中呈现如下学习目标：

1.理解数列的单调性与函数单调性的联系；掌握利用数列单调性求数列最大最小项的方法。

2.能利用数列的单调性求最值、不等式恒成立等问题。

3.通过应用数列单调性处理问题，体会函数思想和数形结合思想在解题中的应用。

4.培养细心观察、严谨论证的思维习惯，感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程。

當然，这样还不够，因为学生对这部分内容的学习时间已久，可能淡忘，所以必须对所要复习的知识“温故”。

（二）学习前置，引发“温故知新”

教学过程远离平衡态，才能使学生原有的认知状态被远离平衡态的刺激打破，出现“协同”或更深刻的“竞争”过程，使认知结构得到充实或改变，达到新的层次和平衡。所以，教师在课堂教学之前应该明确以下几个方面的问题：要教给学生怎样的知识体系；学生的认知起点是什么；学生已经掌握了什么，还要学习什么，学生在课堂上学习的动力是什么；怎样才能把学生吸引到课堂教学体系中。为了实现这些目标，教师可以在学案中设置一些基础性的问题，让学生提前“自组织”地学，如在“数列单调性的应用”教学中呈现如下课前学习任务单：

（三）整体架构，形成“知识网络”

要想学生能将所学知识纳入他们的认知结构，必须对知识进行分类；要想学生能将所学知识内化，必须注重整体建构，使知识点“网络化”“区别化”。

1.通过提问，引导学生进行知识分类

在本节课开始前，教师可以设置一个问题：“《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称‘新课标）将选择性必修课程分为几个主题？‘数列这个单元属于哪个主题？”师生通过交流、研究新课标，实现系统开放，以此让学生明白，可以把数列看作是一类特殊的函数。如此，既达到了归类和整体建构的目的，又把学生的思维悄悄地引导至其熟悉的“函数”地带。数列既然是一类特殊的函数，我们就可以研究它的定义域、单调性以及特殊之处，“网络化”“区别化”悄然形成。

2.通过问题串，引导学生进行知识整体架构

布鲁纳认为，为了保持学生的思维处于非平衡态，教师必须不断启发他们自由灵活地思考问题。因此，在时间不长的课堂教学中，教师可以设计三至五个主问题，再在关键问题的关键处，根据学生的具体情况设计几个小问题（生成追问），让不同的学生能够学会、学好不同的数学知识。如针对本节课可设计如下问题。

问题1：数列这一单元属于选择性必修课课程中哪一个主题？

【设计意图】归类建档，整体建构，实现教学系统开放，引出课题。

【设计意图】问题3学生错误率较高，是本节课的难点。教师通过问题设计，引出问题，突破难点，也为学习单中问题4的解决做好铺垫。

问题5：本节课学了哪些数学知识？体验了哪些数学思想方法？

【设计意图】通过学生回答梳理、同学间交流补充、教师点拨分享，让学生理清思路，形成思维体系，将新学的知识纳入原有的认知结构，实现同化或顺应。值得说明的是，要想取得好的效果，一定要用规范的数学语言进行表征。形式上可以是学生板书，也可以是学生讲、教师板书，但板书一定要清晰、规范。

3.梳理知识网络，引导学生建构知识

在一章或一个主题的学习前后，教师可以指导学生制作思维导图或知识网络图，使学生对所学知识、方法、数学思想进行分类和识别。如在数列这章的复习中，教师引导学生自己归纳整理，建构如图1的知识架构和方法架构。

只有整体的知识，才是真正的知识，才是拿起来就能用的知识。梳理是帮助学生实现知识内化的过程，让学生梳理知识就是创设条件让学生对所学知识进行“自组织”。

（四）适时点拨，搭建“思维台阶”

新课标指出，在“互联网+”时代，信息技术的广泛应用正深刻影响着教育；在数学教学中，信息技术是学生学习和教师教学的重要辅助手段，为师生交流、生生交流、人机交流搭建了平台，为学习和教学提供了丰富的资源。因此，教师要重视信息技术的运用，优化课堂教学，转变教师教学和学生学习的方式，实现信息技术与数学课程的深度融合。

“涨落”带来有序。在教学中，教师应当营造自由、民主的课堂教学氛围，鼓励学生大胆提出见解，引导学生深化各种各样的想法，通过生生之间、师生之间的对话和辩论，在思维的交流与碰撞中闪现出智慧的“火花”。教师在关键时、关键处，适切点拨，让处于“愤悱”状态的学生顿悟，实现学业水平从量变到质变的飞跃。

三、自组织理论观照下高三数学复习课教学思考

（一）高中数学学科教学尤其需要“自组织”

高中数学的学科特性，决定了它的教与学尤其需要自组织理论的指导。数学是一门特殊的学科，高中数学除了基础知识、基本技能的教学外，还有等量代换、数形结合、化归法、换元法等数学思想方法的教学，以及更为基础的数学基本思想的教学，其中抽象、推理和模型是其三大核心要素。只有通过抽象，才能形成数学的研究对象；只有通过推理，才能有逻辑地得到研究对象的性质以及描述研究对象之间关系的命题和计算结果；只有通过模型，才能用数学所创造的语言、符号和方法描述现实实践中的故事。［3］上述这些思想、方法的掌握需要学生长期自主的经历、体验和感悟，是“他组织”不能替代的。这些思想、方法是数学教学系统的序参量，最容易使学习这个子系统形成非平衡态，也决定了数学教学系統新的平衡态的生成，直接影响着教育教学的效果。所以相对于其他学科的教学，数学教学尤其需要由“他组织”走向“自组织”。

（二）高中数学学科教学如何实现“自组织”

教师必须清醒地认识到，学生是学习的主体，领会和感悟知识、训练和提高技能、发展和提升能力始终都是学生主动同外部环境相互作用的过程。因此，教学设计应充分考虑学习者的自组织特性，为其自组织提供充分的外部条件，以促进学生的发展。然而，很多时候我们的常态课堂教学完全由教师掌控，学生学习的自我需求得不到满足，学习的积极性和主动性被大大消解，在很大程度上导致了课堂活动无法推动学生进入“自组织”学习状态。

笔者试图给出一般的课堂流程图，通过台阶搭建、情境创设、网状建构、教材重组、整体架构、学科整合等办法，来打破旧平衡，寻找序变量，促进学生在知识、方法和思想等方面的涨落，实现他组织向学生自组织的转变，最终帮助学生的思想、认知等形成新的平衡，将教的演绎转化为学的演绎。（见图4）

（三）高中数学复习课“自组织”课堂的自觉实现

复习课的要义就是将单元知识进行归类提高，将学科知识进行融会贯通，将学科思想方法进行提炼升华，实现知识的迁移、方法的活用和数学思想的熟练运用，最终实现零散知识的系统化和数学素养的提升。在自组织理论的观照下，数学复习课要想实现以上要义，必须把握新课标，把准学情，进行教材重组，实现“用教材教”。在课堂实施过程中，教师可以通过收集整理、调控解疑、查漏补缺、点拨提炼和检测评价等手段，让学生进行知识梳理、互动交流、独立自学、主体内化和综合运用的自组织学习，实现学生对所学内容（包括知识、方法、思想等）的感知、理解、建构、迁移和内化。其流程大致如图5所示。

五、结语

新的时代背景下，作为一名教师，应实现从过去单一的“线形结构”教学向“网状结构”教学的转变，并要进一步提炼为自组织教学法：将“教的推演”（情境刺激、问题导向、台阶构建、整体架构）服务于“学的推演”（学习前置、任务申报、学生主讲、质疑补充、引导归依）实现教与学方式的根本转变，具体表现为教师的教从“讲深讲透”向“画龙点睛”转变；学生的学从教师“讲”明白向自己“悟”出来转变，从死记硬背、机械训练向亲身体验、主动参与转变，从被动接受式学会向主动获取式会学转变。如此，学习真正发生，学生学力持续发展，学生学科核心素养得到培养，学生的自我教育得以实现。

【参考文献】

［1］刘权华.自组织理论观照下的数学家常课教学——以“二项式定理”起始教学为例［J］.教学月刊·中学版（教学参考），2020（4）：14-18．

［2］李善良.自组织理论视域下的数学教学过程［J］.江苏教育，2020（7）：22-24．

［3］史宁中.数学基本思想18讲［M］.北京：北京师范大学出版社，2016：2.