双参数C半群及其生成和表示定理

秦喜梅　张玉　陈佩树　葛国菊

摘 要：算子半群作为泛函分析的一个分支，在微分方程、概率论、量子理论等方面有着广泛的应用。如何利用生成元的特性来研究算子半群与生成元之间的依赖关系、根据指数公式涉及的表达形式来研究算子半群的表示问题，这些都是算子半群理论讨论的经典话题。因此对每一个半群，它的生成定理、表示定理都是算子半群理论中研究的重要内容。本文利用经典的算子半群理论和双参数C0半群中的方法，把强连续半群生成元的相关特性推广至双参数C半群，讨论了双参数C半群生成元的性质及生成定理；受强连续半群表示定理中指数公式的启发，根据单参数C半群的表示定理和C预解式的性质，证明了双参数C半群的表示定理。

关键词：双参数C半群；生成元；指数有界

中图分类号：O177.2  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2023）05-0029-07

1 引言

为求解无穷维空间上的算子值函数方程

T（s+t）=T（s）T（t），s，t∈R+，T（0）=I

Hille于1936年开启了对一些特殊算子半群的研究，使得Banach空间上的算子半群得以蓬勃发展。1948年K.Yosida和E.Hille提出的无穷小生成元的概念，建立了基本的表示定理，得到了算子半群很多重要的结论，其在发展方程、调和分析、散射理论、量子场论等领域中有着广泛地应用。而继C0半群之后，Arent提出的积分半群[1]和Davis和Pang提出的C半群[2]是单参数算子半群理论逐渐发展起来的两个主要分支，其理论已日臻完善[3-7]。近年来，双参数以及n参数半群理论也得到了很多重要的结论，并有着广泛地应用[8-18]。而算子半群中的生成定理和指数公式、表示问题依然是多参数算子理论中的两类热门且有意义的数学问题。C半群是强连续半群的一个重要推广。M.Janfada定义了双参数C半群，并且讨论了两参数抽象柯西问题解的存在和唯一性[10]；Mohamed Akkouchi等展示了Banach空间上双参数半群的理论框架，并推广了单参数算子半群的Hille-Yosida定理[11]；薛双、赵华新等在Banach空间上以单参数C0群为基础，结合双参数C半群的无穷小生产元与C群的性质，提出双参数C群的无穷小生成元概念，并讨论了双参数有界C群无穷小生成元的性质，得出双参数有界线性算子在（0，0）处的全微分与C-1的积即为双参数有界C群的无穷小生成元[12]；姚岚、赵华新等不仅把单参数的C半群推广到多参数的C半群，而且讨论了多参数的C半群对生成元的连续依賴等一些关于多参数半群生成元的性质[13]；根据经典算子半群理论中的方法，毕伟在多参数n阶？琢次积分C半群概念的基础上，引入了多参数n阶？琢次积分C半群无穷小生成元的定义，并给出了多参数n阶？琢次积分C半群的生成定理[14]；蔡亮、宋晓秋等根据单参数C0半群的指数公式和Yosida逼近，证明了双参数C0半群的表示问题中的指数公式[15]；赵华新、赵拓等利用C半群的Yosida逼近，讨论了双参数C半群的Yosida逼近指数公式，其证明方法类似于C0半群表示定理中拆分积分区间的办法[16，17]；仓定帮等借助概率论这一工具，采用Riemann-Stieltjes积分、矩生成函数等方法，给出了双参数算子半群的概率逼近指数公式[18]。本文把强连续半群生成元的相应性质推广至双参数C半群，得到双参数C半群生成元的性质及生成定理，并借助C半群的表示定理和C预解式的性质，证明了双参数C半群表示问题中的指数公式，此证明方法更具一般性。

设空间X是一个Banach空间，且C∈B（X）是单射算子，其中B（X）表示X上的有界线性算子全体所构成的Banach空间。所有算子均为线性算子。R+表示非负实数集。

2 半群的基本概念和表示定理

3 双参数C半群

3.1 双参数C半群的定义

3.2 双参数C半群生成元的性质

3.2 双参数C半群的生成定理

3.3 双参数C半群的表示定理

4 结语

本文主要介绍了指数有界的双参数C半群生成元的一些性质和双参数C半群的生成定理及表示定理，这些结果有利于以后关于双参数C半群、双参数C群等相关领域的扰动、逼近和齐次抽象柯西问题及非齐次抽象柯西问题的研究。

参考文献：

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〔14〕毕伟.多参数n阶α次积分C半群的生成定理[J].延安大学学报（自然科学版），2021，40（03）：61-70.

〔15〕蔡亮，宋晓秋，俞晓红.双参数C0半群的指数公式与预解式[J].徐州师范大学学报（自然科学版），2010，28（04）：43-45.

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〔17〕趙华新，赵拓，徐敏.双参数C半群的指数公式[J].江苏师范大学学报（自然科学版），2014，32（01）：44-46.

〔18〕仓定帮，闫守峰，陈藏，许璐.双参数算子半群概率逼近问题[J].南京师大学报（自然科学版），2016，39（01）：36-40.