亚纯映射分担移动目标的唯一性定理

曹廷彬,阮海洪

(1.南昌大学数学系,江西 南昌 330031;2.陆军步兵学院,江西 南昌 330103)

最早研究亚纯映射分担移动超平面的唯一性问题要追溯到20年前的文[1-2],接着许多学者也研究这一方向,文章主要集中在文[3-19]。这些年来,关于亚纯映射分担超平面和移动超平面的唯一性问题受到了许多学者的关注。关于这方面最让人感兴趣的研究方向有2个:一个是超平面(移动超平面)的最佳个数是多少?2009年,Chen-Yan[4]得到目前最佳超平面个数q=2n+3。2005年Thai-Quang[5]证明了在亚纯映射为线性非退化的条件下移动超平面的个数q=2n2+4n(n≥2)。而2007年,Chen-Li-Yan[6]在没有要求亚纯映射为线性非退化这一情形下,证明了移动超平面的个数q=4n2+2n(n≥2)。2012年,Lü[7]改进了Chen-Li-Yan[6]的结果得到q≥2n2+2n+3。随后,Thoan-Quang-Duc[3]得到q>4n2+2即可。2013年,Quang-An[10]通过改进Thai-Quang[19]关于移动目标的第二基本定理,并考虑q<4n2+2及截断重数1的情形,获得较文[3]更好的结果;另一个是考虑重值,重值的考虑是研究亚纯映射分担超平面(移动超平面)唯一性问题的一个重要课题,也有一些比较好的成果,比如Tu-Wang文[8],Cao-Liu-Cao文[9]等。本文主要在[10]中的两个关于移动目标的第二基本定理的基础上考虑重值得到带截断重数的第二基本定理,再利用这两个第二基本定理讨论了亚纯映射分担移动目标的唯一性问题。

1 主要结果

(b)dim{z∈Cm:(f,ai)(z)=(f,aj)(z)=0}≤m-2,1≤i

(c){z∈Cm:0<ν(f,aj)(z)≤l}⊂{z∈Cm:0<ν(g,aj)(z)≤l},1≤j≤q。

(a)dim{z∈Cm:(f,ai)(z)=(f,aj)(z)=0}≤m-2,1≤i

(b){z∈Cm:0<ν(f,aj)(z)≤l}⊂{z∈Cm:0<ν(g,aj)(z)≤l},1≤j≤q。

max{rankR(f),rankR(g)},有f=g。

2 Nevanlinna理论中的基本概念和辅助结果

1)令‖z‖=(|z1|2+…+|zn|2)1/2,z=(z1,…,zn)∈Cm,B(r):={z∈Cm:‖z‖

σ(z):=(ddc‖z‖2)m-1,η(z):=dclog‖z‖2∧(ddclog‖z‖2)m-1在Cm{0}上成立。

3)f:Cm→Pn(C)为一非常数亚纯映射。(ω0,…,ωn}为Pn(C)上任意给定的齐次坐标,取Cm上全纯函数f0,…,fn使得dimIf≤m-2,其中If:={z∈Cm:f0(z)=…=fn(z)=0},则称

f=(f0:…:fn)为f的一个约化表示。

令a:Cm→Pn(C)为一亚纯映射,且其约化表示a=(a0:…an),定义

4)对Cm上一个除子ν,k,D均为正整数或∞,定义ν的计数函数:

对Cm上的一个亚纯函数φ,我们记

为简便当D=∞时,我们可省略写上标D。

若对1≤j0<…

则当r→∞,Ta(r)=o(Tf(r)),我们便称a是(相对f)小映射。

2004年,Ru-Wang[20]引进一个M上非退化的概念,如下:

定义2.1若dim(A)M=n+1,且对任意A中的非空真子集A1,(A1)M∩(AA1)M∩A≠φ,其中(A)M称为域M上A的线性生成空间,则称上述A在M上非退化。

若对任意A中的子集A1,#A1=n+1,有dim(A)M=n+1,则称上述A处于一般位置。

为证明我们的结果,我们还需要以下定理,这些定理在Nevanlinna理论中充当重要角色(见[10,21])。

定理2.1(关于移动目标的第一基本定理)f,a:Cm→Pn(C)为亚纯映射且(f,a)≠0,则

Tf(r)+Ta(r)=mf,a(r)+N(f,a)(r)

3 引理及定理证明

3.1 引理

注意到V(f)的定义与f的约化表示选取无关,且易知rankR(f)=n+1-dimRV(f)。

又由定理2.1和定理2.2可得

令r→∞,有q≤k(k+2)。与已知q≥2k2+2k+3矛盾,因此V(f)⊂V(g)。从而有

rankR(f)=n+1-dimRV(f)≤n+1-dimRV(g)=rankR(g)

又已知rankR(g)≤rankR(f),于是rankR(g)=rankR(f),从而V(f)=V(g)。

‖qTf(r)≤

注意到l>k(k+2)-1,则

再结合定理2.2及上述不等式可得

整理得

‖qTf(r)≤

‖qTf(r)≤

证明结合定理2.3,证明思路与引理3.2类似。

3.2 定理1.1、1.2证明

其中ks=q。对任意1≤i≤q,令

且

Pi=(f,ai)(g,aσ(i))-(g,ai)(f,aσ(i))

(3.1)

又由引理3.1,有V(f)=V(g)。

对给定的i(1≤i≤q),由(3.1),以及条件(c),(d)可知对υ∈{i,σ(i)},集合{z∈Cm:0<ν(f,aυ)(z)≤l}(⊂{z∈Cm:0<ν(g,aυ)(z)≤l})的每个元z0都是Pi的零点,即

(3.2)

又∀j∈{1,…,q}{i,σ(i)},则(f,aj)的任意零点z0是Pi的零点(除去一个余维≥2的解析集)。由上述讨论,可得

(3.3)

另一方面,由Jensen公式,有

(3.4)

由不等式(3.3),(3.4),得

对上述不等式在i=1,…,q上求和,并由定理2.2和引理3.2,可得

整理得

o(T(r))

定理1.2的证明假设f≢g。记Tf(r)+Tg(r)=T(r)。由定理1.1的证明过程类似可得

整理得