探究算理的一致性 培养学生运算能力

张志红

《义务教育数学课程标准》（2022版）指出：“义务教育数学课程应使学生通过数学的学习，形成和发展面向未来社会和个人发展所需要的核心素养。”核心素养是在数学学习过程中逐渐形成和发展的，作为落实学生核心素养培养的重要载体，计算教学一直都是小学数学的基础和核心内容。计算教学的重点在于帮助学生理解算理、掌握算法，引导学生体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力、培养推理意识。

一、小数除法的难点及解决策略

计算教学中，小数除法是教师教起来堵点最多，学生学起来难度最大的一个内容。首先，在加、减、乘、除四则运算中，除法计算是最复杂的。其次，学习小数除法必须要有下列基础：明确除法的两种含义，平均分和包含分；明确整数除法的算理，掌握计算法则并能熟练计算。学生在二年级认识了除法的含义，在三年级下册和四年级上册分别学习了除数是一位数和两位数的整数除法。无论哪个内容，都是当时的难点。

在人教版的教材中，小数除法单元的内容编排如图1所示。

教学的核心内容是“除数是整数的小数除法”和“一个数除以小数”。从图1可以看出，教材通过创设情境，根据小数的意义将小数除法转化为整数除法；在整数部分除完以后，在被除数小数部分的末尾添“0”继续除；整数部分不够商“1”要商“0”占位；根据商不变性质把一个数除以小数转化为一个数除以整数。几个环节看似完美组合，实际上学生的认知是零散的、片段式的，每一个内容都可能成为学生学习的难点。

如何理顺小数除法的学习过程，达到既定的学习目标呢？我们要从除法“分”的本质出发，以计数单位为“分”的对象，用“接着分”的方式贯通小数除法和整数除法的算理。打通了算理的“任督二脉”，能够大幅降低学生学习的难度。在此基础上指导学生掌握小数除法的基本计算方法，并能根据数据特点灵活选择计算方法，最终培养学生的运算能力。

二、以“接着分”贯通整数除法和小数除法的算理

二年级初识除法，学习了除法的两个含义——“平均分”和“包含分”。无论是对除法意义的理解，还是学习除法的计算方法，只要紧紧抓住这两个“分”，就能破解除法学习难点。

三年级下册学习“除数是一位数的除法”，我们可以用“平均分”来解释除法的计算过程，并表现为竖式的形式。

根据一般认知，分东西肯定是先分整盒，再分单支。7盒平均分成3份，每份分2盒；将剩下的1盒与8支合在一起，18支铅笔平均分成3份，每份分6支（如图2所示）。

脱离分实物，就可以把分的对象直接看作计数单位，写成除法竖式如图3所示。

四年级上册学习“除数是两位数的除法”，同样可以用“平均分”来理解算理，并表现为竖式的形式。计算442÷34，就是把442平均分成34份。4个百平均分成34份，每一份不够1个百；44个十平均分成34份，每份有1个十，在十位商1；分走了34个十，剩下的10个十和2个一合起来是102，平均分成34份，每份有3个一，在个位商3，正好分完。

学习小数除法前，就可以从唤起学生整数除法算理的记忆开始。比如计算279÷6（如图4所示）。

明确了除法计算就是将计数单位从大到小依次平均分的过程后，就可以提出新的问题：还能继续分吗？因为此时学生对“计数单位”的学习已经从整数部分扩充到小数部分，可以把“3个一”看作“30个十分之一”，当然可以继续分下去。把30个十分之一，平均分成6份，每份有5个十分之一，在商的十分位上写“5”（如图5所示）。

没有“新知转化为旧知”的过程，不需要单位换算这样的脚手架，只要将没有分完的较大的计数单位转化为较小的计数单位，就能继续分下去。通过这样的处理，小数除法依然是一个“新内容”，小数除法的算理却是一个“旧知识”，难度自然大幅减少。

三、以“够不够分”破解小数除法计算中的典型问题

解决了小数除法的算理，并不意味着学生就能顺利计算小数除法题。小数点位置的确定、试商的难度、计算过程复杂等都会影响计算的正确率。学生计算5.88÷0.56正确率较低，下面两种错误就比较常见（如图6所示）。其实问题是一致的，当28除以56，不够商“1”时，没有在个位商“0”占位。

这种商中间的“0”漏掉的情况，在第一阶段学完除数是整数的除法后，就安排了类似的练习（如图7所示），为什么学完了整个内容还有高频率的类似错误？关键在于算理不清。我们可以从“够不够分”的角度帮助学生解决问题。如14.21÷7，第1次14个一平均分成7份，每一份有2个一，在个位商1；第2次2个十分之一平均分成7份，每一份够不够1个十分之一呢？显然不够，就要在十分位上商0。每计算一步，都是将计数单位进行平均分，都可以问一问“够不够分”。有问有答，有思有果，商中间的“0”就不会遗漏。很多计算中的典型问题不能简单地归因为学生计算不细致，大多数不细致背后的原因是算理不清。

四、以“还可以怎样……”优化计算策略，发展学生思维

数学教学的终极目标是培养学生核心素养，以适应未来社会发展和学生自我成长的需要。学生学习小数除法，不仅要知道“怎样算”“为什么这样算”，更要学会思考“还可以怎样算”“怎样算更好”，也就是要形成运算能力，能够根据条件寻找简洁、高效的运算方法。

培养学生的运算能力，教师要“心里有数”，要有“我是用数学教学生的”的思想认识，通过知识的教学来提升学生的思维水平。只有认识到位了，才不会紧盯着计算结果是否正确，而是以足够的耐心倾听学生的想法，关注想法背后的原因。

培养学生的运算能力，要善于挖掘习题的附加值。不仅要做完这个题、做对这个题，还要想一想，还可以怎样算？还可以提出哪些有价值的问题？

现在的教材很少出现“用简便方法计算下面各题”的要求。一方面是学生的发展水平不一，不做统一要求；另一方面是有能力的学生要学会主动发现数据特点、灵活运用所学知识进行计算。学生在学完了小数除法的知识后，教材安排了下面这一组计算题（如图8所示）。

学生独立完成练习后，教师可以根据反馈交流的情况进行引导：“还有更简便的算法吗？”“42÷28”“19.8÷3.3”可以利用商不变的性质将题目化简为“6÷4” “6.6÷1.1”，竖式计算就可以转化为口算；“2.5×3.6”“18×0.45”则可以先分解再组合，达到巧算的目的。教学过程中，我们倡导每个学生呈现最真实的思维状态，用自己的方法去解决问题，更要通过不同方法的比较，培养学生简洁、优化的思维意识和水平。

一道题的价值有多大，取决于教师对题目的研究深度。教师要看到出题者背后的想法，要考虑还可以从哪些方面引导学生思考呢。学生学完除数是整数的除法后，安排了这样一个练习（如图9所示）。

題目的初衷并不是简单地根据计算结果概括出结论，而是基于除法的意义解释结论。但是学生刚刚学习小数除法，绝大部分学生都是通过计算来确定这个题的商是否小于1，只有少数学生会观察被除数和除数的大小，思考整数部分“够不够”商1，从而快速做出判断。此时教师首先要引导学生进行比较，哪种方法的效率更高；其次进行归纳，为什么能这么快地确定它的商小于1。既尊重学生现阶段的学习水平，又达成了题目既定的目标。再次，商小于1的有4道算式，另外4道算式的商都大于1，教师可以引导学生思考商大于1的算式有什么共同点？什么情况下商等于1呢？最后，引导学生用估算的策略来确定商的范围。比如76.5÷45的商肯定大于1，会小于几呢？只有思路打开了，学生才会积极主动去思考问题；只有经常主动思考问题，思维能力才能得到发展。

五、结语

数学是思维的载体，数学学科的核心素养最终指向的都是学生的思维能力。面对计算教学这样的基础内容，教师要有更高的站位，从整体上把握教学内容，在理解整数、小数、分数意义的同时，以计数单位为核心，探究同一种运算本质上的一致性。运算本质一致的认识不仅能有效降低学习难度，提升学习效果，还能加深学生对数的认识和理解。