从数学错题中获得的教学启示

俞鸿雁

【摘  要】学生在数学作业中出现错误是一个不可避免的现实，教师不但要理解学生的错题具有提高学生学习数学的兴趣、加深对知识的理解、提高学习能力的价值，更要从中获得针對基础知识不牢、受思维定势的影响、对问题理解的片面性及解题思路不广，缺乏灵活应变能力等错误原因产生的教学启示，达到物尽所用的目的。

【关键词】数学错题；错题原因；教学启示

一、问题的提出

学生作业是学生吸收和消化新知识的一个重要环节，是学生对已学知识掌握程度反馈给教师的一条主渠道。小学生是以形象思维为主，而数学又恰恰是一门逻辑性很强的学科，这就使他们在学习数学时感到困难。因此，在学习数学的过程中，出错是难免的。教师要求学生一学就会，一做就对是不现实的，从某种意义上来讲出错是学生的“权利”。

可在现实中，并不是每一位数学教师都抱着这种心态看学生的错误。有的教师见不得学生作业中出错，这种恨铁不成钢的心情是可以理解的。但在学生出错后去苛责，为了节约时间直接给学生提供正确答案，以为正确的答案就会代替学生原先错误的认识是不可取的。或者在学生出错后，教师通过不断地练习，反复地巩固等机械练习的方式加以重复训练，这样只能使学生知其然，而无法知其所以然，下次遇到同类型的题目还会出错。

教师对学生作业中的错误的不正确的态度，在一定程度上造成了部分学生害怕出错，稍有错误就会懊悔不已，生怕因为自己的错误而使自己好学生的形象在老师心目中大打折扣。比如当班级学生正在集体做数学作业，教师巡视课堂时，突然停在了一位同学身边，这位同学可能前一分钟还思路清晰，当意识到老师在看他答题时，会慌张得无从下笔，直到老师离开，才渐渐恢复正常的思维。

面对这样的现实，教师要善待作业中出现错误的学生，如果处理不当，就会挫伤学生学习数学的积极性和自信心。教师保护学生的自信、培养学生的自信，要花费很大力气，下很大功夫，而挫伤他们的自信心只在瞬间。因而教师对待学生的错误不能大惊小怪、不能生气急躁，一定要少责备多鼓励、少埋怨多帮助，避免学生对学习数学产生焦虑的心理。

二、数学错题的价值

尽管学生在作业中出错说明学生在掌握、理解或运用所学数学知识解决新问题的过程中存在着偏差，但教师也要善于看到学生作业中错题的价值。

（一）错题可提高学生学习数学的兴趣

维果斯基的“最近发展区”理论告诉我们：“跳一跳，够得着”的学习目标最有吸引力。当学生遇到的题目简单到人人都会做，题题都全对时，他们会觉得这样的题目毫无挑战性，即使全做对了也没有成就感。这就是为什么学生普遍不喜欢做计算题的原因，他们觉得计算题没有太多思维上的挑战，即便因粗心做错了也能自行改正。相反，如果遇到有一定难度、但能通过自己的思考尝试解决的题目，学生会以高度的热情追寻答案。当看到通过自己的思考得出的答案居然做错时，学生会有寻根究底的心理，此刻对这道题的求解方法会表现出极大的学习兴趣。因此，要想调动学生学习数学的积极性，不是通过全对的题目，也不是难得无从下手的题，“跳一跳，够得着”的错题最有吸引力。所以，当学生数学作业中出现错误后，教师不要一味地责怪、批评，而应加以引导，让学生从思想上觉得这道题是自己“跳一跳，够得着”的。这样学生就不会出现怕出错的负面情绪及挫折感，相反学生学习数学的兴趣会得到很大的提高，在这样和谐的师生关系下，进一步提升了学生学习数学的兴趣。

（二）错题可加深学生对知识的理解

错题其实是暴露了学生学习中的问题，如果大部分学生在作业中出现某道题同时出错，就说明这一题可能涉及知识上的难点或极易混淆的内容，教师需要深入地讲解让学生对这一知识的深刻理解。如果只是少数同学出错，就说明这些同学对这一知识还没理解，需要教师对他们进行单独辅导，让他们及时补上知识的“漏洞”。如果学生作业中的错题能挖掘到教学资源，此时需要教师适当引导，让错题成为学生知识的生长点，从而让学生进一步意识到问题的本质，成为新知识的起点。如果某位学生作业中出错的地方不是因为不理解，只是看错题、算错等粗心问题，那么被批改出“错误”的经历会给这位学生留下“难忘”的印象，所谓“一朝被蛇咬，十年怕井绳”，以后做题他会小心翼翼地避免再出现同样的问题，在一次次错题中积累的答题习惯会让学生印象深刻、受益终身。

（三）错题可提高学生的学习能力

如果学生错题的原因是基础知识不足或顿悟思维受阻，这些错误的出现反映了学生的学习能力还有待提高，教师要有意识地运用学生的错误培养学生相应的能力。如当学生在作业出现错误后，给学生创设一个自主探究问题的情境，让学生能够在自主探究的过程中发现自己某些方面的不足或知识的欠缺，从而去探索解决问题的正确途径，这是提高学生自主纠错及独立思考能力的重要途径。其次错误一般会发生在事物的转折处，会起着举足轻重的作用，学生的错题也是如此。他们每遇到一道错题就会增加一次打破和超越自己的机会。如果学生能攻克错题，并能在下次遇到类似情况时也能用同样的思维方式解决它，学生的思维就会呈现螺旋上升的状态。另外，善用学生的错误还能培养学生的反思能力。因为学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复练习得到纠正，它必须是一个自我否定、自我完善和改正的过程，即学生在意识到自己的错误之后，进行自我反省，内心深处将正反两个答案进行比较、筛选、辨认出正确答案。如果能从本质上肯定正确答案，否定错误答案，这就说明学生对自己的思维进行了周密而又批判性的反思。

三、学生的数学错题原因及教学启示

对学生的错题有了正确认识的基础上，就要认真分析学生的这些错题属于哪种类型，知道学生错题的原因才能有的放矢，寻找教学的着力点，从而达到物尽所用。

（一）基础知识掌握不牢

认知心理学认为：人在获得知识的过程中，既会受到个人先天倾向的影响，也会受到个人已获得知识的影响。小学生的数学学习也不例外。学生的数学认知结构就是他们通过不断的数学学习在大脑中形成一个知识网络。如果学生掌握的知识不够牢固，那么他们就不能把所学的知识与题目联系起来，也就无法运用所学的知识解决问题，从而导致错误。

教学启示：重视基础知识的教学，帮助学生在头脑中形成“点”“链”和“网”的知识结构。数学知识具有连续性，但由于课时安排的时间限制，只能以知识点的形式分散到每一节课进行教学。但教师要努力将新旧知识联系起来，使学生头脑中形成“点”“链”和“网”的知识结构。比如学习“分数的基本性质——分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变”时，可以与之前学习的“除法中商不变的规律——被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变”比较，同时启发学生思考根据分数的基本性质，可以怎样化简分数。这样的教学才能使学生不但知其然，而且知其所以然。

（二）受思维定势的影响

学生在加工处理信息时几乎不需要关注的加工叫作自动化加工，信息的类型和以往的经验决定了这种信息需要关注。有时即使某种信息的加工在一开始时需要很多的关注，但练习可以减少所需的关注，对于自动化加工的回忆，不会因为教学和练习的量而有所改进，也不会因为年龄的增长而有所不同。自动化加工信息一般来说对学生的学习是有用的，因为它腾出了一些心理资源解决其他问题，然而当给定的问题像一个典型问题，但却需要与典型问题截然不同的解法时，自动化过程就会带来害处。

教学启示：通过设计变式的题目，学生能透过现象抓住本质。如做这样一道工程问题：要生产420个零件，甲独做要4小时，乙独做要6小时，甲乙两人同时合做这批零件要几小时？学生能轻易算出答案是2.4小时。但如果把这道题目改一个条件，把“420个”零件改为“210个”，不少学生会很快得出1.2小时，大多数人是这么想的：工作总量由420个变为210个，减少了一半，时间自然也该减少一半。但实际上这里的工作效率也发生了变化。所以通过这样的变式练习，可以使学生深刻理解这里的合作时间其实与工作总量无关。

（三）对问题理解的片面性

数学知识既有相互联系的一面，又有彼此区别的一面，区分不清、张冠李戴，是有些学生在数学学习中经常出现的一种现象。造成这种现象的根本原因，往往是因为概念不清、分辨能力不强，表现出因粗心大意而错的感觉，其实并非如此。学生出现这些错误主要有两方面的原因，一是学生自身的原因，二是教师在教学中不够重视的原因。

教学启示：重视基本概念的深度理解。如这样一个错误：有两根绳，第一根绳长2米，第二根比第一根绳长，第二根长﹙ ﹚米。这道题的正确答案应该是2.5米，而如此简单的题目竟然会有不少同学把答案写成米。原因很简单，这些学生把长“”看成了长“米”了。这似乎是审题错误，没有看清是否有单位名称造成的。除了自身注意分配不当的原因，其实大部分同学做错是由于不理解分数的意义造成的。追根究底是因为教师在教学分数的过程中，只停留在指出：单位“1”可以是一个物体，可以是一个整体，也可以是一个计量单位。如果在建立分数概念时，能进一步将米及时地进行区分和对比，就能避免上述问题的发生。

（四）解题思路不广，缺乏灵活应变能力

学生在解一些综合性较强的题目时，有时不仅需要掌握所學的知识，还需要其根据题目实际情况灵活应变。而对一些解题思路不广、缺乏灵活应变能力的学生来说，往往不善于运用这些方法，因为不能清晰地捕捉到解决问题的相关信息，也就无法答对题目。

教学启示：激发学生拓宽思维、积极尝试新方法。如在学习完成圆的面积公式S=πr2后出这样一道题：圆内最大的正方形的面积是25平方厘米，求出圆的面积。在这题中不少学生觉得无法求出r的值，被难住了。这题应启发学生连接正方形对角线，从而把正方形分成四个大小相等的小三角形。先求出小三角形的面积，然后用x2求出以半径为边长的小正方形的面积，也就是已经求出了r2，此处学生只需根据圆的面积公式，将以上的结果乘以3.14，圆的面积就出来了。但不少学生的思路是利用三角形的面积公式，反过来求三角形的底或高，也就是在他们的头脑中一定要求出r的值，可这道题中的x2不是完全平方数，r是求不出来的。所以在平时教学中首先要引导学生读题后选择有用的信息，排除一些无关紧要信息的干扰；其次要明确哪些信息是有用的，将其适当组合；最后将这些信息与原有认知结构中的数学知识进行比较，判断可与哪些知识建立联系，能利用已有知识分析新问题，从而产生解决问题的新思路。

【参考文献】

[1]李烈.我教小学数学[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]刘华.反思，让错题成为智慧的再生资源[J].小学教学研究，2018（10）：77-79