数学实验教学的五个“关注”

吴静

摘要：数学实验的本质是“做中学”，即通过对直观材料的数学化操作，理解数学、解释数学和建构数学，具有操作性、探究性和创造性等特点。小学数学教学中，为了更好地发挥数学实验的作用与特性，需要关注实验动机的引发、实验方向的明晰、实验思维的疏导、实验习惯的培养和实验成果的评价。

关键词：小学数学；数学实验；探索规律

数学实验是为了获得某个数学概念、探索某个数学规律或解决某个数学问题，借助一定的物质器材或技术手段，在思维活动的参与下进行数学探究的一种方式。数学实验的本质是“做中学”，即通过对直观材料的数学化操作，理解数学、解释数学和建构数学，具有操作性、探究性和创造性等特点。笔者以为，为了更好地发挥数学实验的作用与特性（尤其是在探索数学规律时），需要关注实验动机、实验方向、实验思维、实验习惯、实验成果等方面。

一、关注实验动机的引发

按理说，经过日常的课堂学习，学生已经积累了较为丰富的活动经验，应该具有自觉运用实验解决问题的意识。事实上，在遇到问题时，只有极少数的学生会想到实验的方法。其根本原因是，学生未能在数学学习中深刻感受到数学实验的价值。为此，教师要关注实验动机的引发，从学生的学习实际出发，精心创设问题情境，促使学生产生认知冲突，让学生在思考问题解决时产生使用数学实验的内在需求。

（一）真问题启发

真问题是指蕴含在真实情境中，能引发学生数学思考的问题，具有真实性、挑战性和启发性等特点。真问题能唤起学生主动探索的兴趣，还由于情境中潜藏着很多重要信息，能够让学生产生运用实验开展探究的需求。

例如，教学“表面涂色的正方体”时，教师可以出示8阶（n阶为“n×n×n”）表面涂色的正方体，并创设情境：“老师课前准备了一个表面涂了颜色的正方体，将它切割成了若干个同样大的小正方体。结果，不小心碰倒散开了。你有办法将它恢复成原来的样子吗？”学生在思考这个具有挑战性的问题时，自然会产生还原正方体的强烈愿望，产生实验的内在需求。

（二）“可视化”诉求

在探索“数与运算”中的规律时，由于研究对象过于抽象，学生容易缺乏研究动力。对此，在创设问题情境时，可通过变换问题背景、改变问题表述和呈现方式、调整研究对象的数量等方法，促使学生产生借助实验进行“可视化”研究的訴求。

例如，计算“1/2+1/4+1/8+1/16”，算式的加数个数较少，学生可以直接通过通分计算得出答案，寻找计算规律的需求并不强烈。对此，教师增加加数个数，把题目改为“1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128”，先让学生感受到用“通分”这个常规方法计算结果有难度，并随着加数的增多计算压力越来越大。然后，教师适时提供“正方形”这一实验工具助力学生思考，学生就会产生数形结合的“可视化”研究诉求，形成借助实验探索规律的内驱力。

二、关注实验方向的明晰

小学生尽管经验不足，但对如何借助实验探索规律有自己的想法，包括使用实验方法、设计实验流程以及选择实验工具和材料等。教师要为学生提供策划实验方案的机会，于关键处引领和点拨，帮助学生完成探究路线图的设计，明晰实验方向。

（一）规划实验路线

实验不是一蹴而就的，通常需要经历观察、猜想、举例和验证等系列活动。教师不仅要帮助学生了解实验的基本流程，还要让学生掌握“从简单入手研究”“边举例边观察边猜想”等实验技巧，规划好实验路线。

例如，探索“多边形内角和”规律时，教师引导学生尝试规划实验路线：先遵循由易到难的原则，以三角形为基础，逐步找出四边形、五边形的内角和；在此基础上，观察思考、分析归纳，初步形成猜想；再通过求六边形、七边形等的内角和验证猜想，进而发现规律。

（二）选择实验工具

实验工具和材料是数学对象的物化载体，设计实验方案时，还要考虑实验工具和材料的选择。

例如，教学“3的倍数特征”时，教师可以引导学生根据找2、5倍数特征的经验，选择百数表、计数器或方块图作为实验材料。通过在百数表中圈数、在计数器上拨数等方法发现3的倍数特征，再借助方块图理解特征。

小学阶段，对数学实验工具的选择没有严格的要求，只要能够凸显数学对象的特点和变化规律，小棒、计数器、方块图、钉子板……甚至一张纸或一个图形都可以。

（三）推敲实验方法

实验方法因人而异，也会随着研究进程的深入而改变，但对于某些具有特定规律的探索，会有与之相契合的基本实验方法。

例如，探索“三角形内角和”规律时，为验证“三角形内角和是180°”这一猜想，教师组织学生通过小组讨论确定实验方法：可以采用量角器量角求和的方法，也可以借助“几何画板”软件一边改变三角形形状一边测算内角和，还可以用折纸、撕纸等方法。教学时，要为学生提供充足的实验准备时间，让学生精心选择、推敲实验方法。当然，实验过程中还会出现各种情况，教师要引导学生及时调整和改变实验方法。

三、关注实验思维的疏导

教师要关注学生在实验过程中可能遇到疑难问题，关注对学生实验思维的疏导，及时为学生点拨、引航，排除思维障碍，助力学生顺利完成实验。

（一）变“争论”为“共识”，优选方法

受知识经验、思维方式和能力水平的限制，同样的实验条件，不同的学生会有不同的表现。教师要尊重学生的认知差异，并利用差异组织“争论”，引导学生修正、优化方法，提高实验的效度。

例如，探索“多边形内角和”规律时，尽管学生在探索四边形内角和规律时，积累了分三角形求内角和的经验，但还不足以为探索任意多边形内角和规律提供有力支撑。在探索五边形内角和规律时，学生的实验探究思路出现了“分三角形”和“分三角形+四边形”两种情况。而同样是分三角形求内角和，有的从同一顶点出发向其他顶点有序连线，有的随意连线。对此，教师如实呈现各种情况，暴露学生的问题，并围绕“分几种图形”“怎么分三角形”两个核心问题，组织学生争论和选择，最终获得求多边形内角和的一般方法，从而为后续得到多边形内角和公式扫除障碍，同时帮助学生加深了对内角和意义的理解。

（二）从“生活”到“数学”，发现关系

数学实验能帮助学生通过“做”感悟和发现内隐的、不易觉察的数学规律。教师要让学生经历“数学化”的过程，主动沟通现实和数学之间的联系，将外在的操作活动转化为内在的数学思考。

例如，教学“分数和除法的关系”时，考虑到大部分学生因缺乏等分物体而得不到整数结果的活动经验，无法想象出“3块饼平均分成4份，每份是多少块”，教师让学生用圆片代替饼进行实验。当学生的思维发生偏离，出现了“将3块饼平均分成12小份，每人拿3小份”的情况时，教师启发学生结合生活经验，主动将“分3小份”和“3块饼一起分”勾连起来思考，让学生认识到每人得到的饼就是“一块饼的3/4，是3/4块饼”，实现了思维的转化和进阶。

（三）变“集中”为“发散”，引发“创思”

小学生的思维源于动作，不同的实验方式会积淀不同的操作经验，获得不同的数学理解。引导学生通过数学实验学习数学知识，是让学生积累“做”的经验并进行数学的转化，变“集中”为“发散”，实现数学知识的“再创造”。教师要尊重差异，让学生根据自身的活动体验，用自己的思维方式表达自己的“创思”。

例如，对于“照图1这样摆下去，摆第n个正方形需要用到多少根小棒？”这个问题，不同的学生在照样摆正方形活动中的感知和体验不同：可能是以第一个正方形为基准观察小棒的变化规律，也可能是以第一根小棒为基准观察小棒的变化规律。教师要放手让学生基于自身的活动体验，得到4+3（n-1、1+3n）等不同的规律表达。当然，最后教师要引导学生沟通两种表达之间的联系，帮助学生建立和完善认知体系。

（四）由“一题”到“一类”，构建模型

布鲁纳认知表征理论指出，学生要经由“动作表征—图像表征—符号表征”三个阶段，才能真正获得对知识的理解。通过数学实验学习数学知识同样如此，教师要适时拆除外在的活动“支架”，引导学生由一道题转向一类题，逐步建立清晰的表象，最终用抽象的符号表征知识，构建数学模型。

例如，教学“表面涂色的正方体”时，先让学生通过观察和操作，建立起 3阶和4阶正方体中3面、2面、1面和0面（没有）涂色的小正方体个数和所在位置的清晰表象。在此基础上，形成对 5阶、6阶正方体表面涂色情况的猜想，并通过实验逐一加以检验，进一步固化表象，从而得到表面涂色的正方体的涂色规律：将表面涂色的正方体沿着棱长等分成n份切开后，3面涂色的小正方体有8个，2面涂色的小正方体有12（n-2）个，1面涂色的小正方体有6（n-2）²个，0面（没有）涂色的小正方体有（n-2）³个。学生经历表象操作的过程，将感性经验上升为理性认知，不仅发现了规律，还能用数学的语言进行抽象表达，建构出数学模型。

四、关注实验习惯的培养

学生借助实验学习数学知识，获得丰富的感性经验。这些通過对实验材料的观察和操作形成的经验需要经由数学思考和理性分析，才能获得思维的提升。教师要及时组织学生回顾和反思实验过程，对接“活动”和“思维”，由“结果”追溯“原因”，从而提升实验品质，培养实验习惯。

（一）反思数据，培养严谨求实的习惯

实验结论来自实验数据，而实验数据往往与理想数据之间存在一定的差距。反思实验数据，能帮助学生体会数学实验的特点，深化对数学知识的认识，培养严谨求实的习惯。

例如，推导圆的周长公式时，学生通过实验操作体会圆周的长和直径的关系，发现测算出的圆周长和直径的商并非一个固定的数，甚至出现极端数据。这些“异常数据”常常会成为学生学习的阻力，影响公式的得出。教师如果以此为契机，让学生基于现象深入思考，不仅能帮助学生顺利完成公式推导，还能积累数学实验的基本经验。教师不妨顺势提问：“算出的数据各不相同，你觉得周长和直径的商会是一个固定的数吗？出现不同数据的原因又是什么？”引导学生反思“异常数据”，进而认识到实验结论受实验材料、测量工具和操作方法等一系列因素的影响，出现误差是正常现象。

（二）反思方法，培养追根溯源的习惯

古人云：“知其然，更要知其所以然。”事实上，每个方法规律背后都有原理，有些看似不同的方法规律之间存在共通的原理。对此，教师要根据需要，及时为学生提供实验材料，帮助学生从现象追溯本源，把握方法之间的联系，加深对规律本质的理解。

例如，当学生发现3的倍数特征和2、5的倍数特征“不同”时，教师不妨让学生提出质疑并借助实验发现特征背后的原理，从而沟通3的倍数特征和2、5的倍数特征之间的内在联系。教师可提供方块图作为实验材料，让学生摆一摆、圈一圈、看一看，发现判断3的倍数和2、5的倍数的方法本质上一样的，都是先看十位，再看个位。以12为例，十位上的1代表10，10除以2没有余数（除以5没有余数）；个位上的2除以2没有余数（除以5有余数）。10除以3余1；把十位余下的1个方块和个位的2个方块合并，除以3没有余数。接着，由12推广到其他的多位数，帮助学生养成用实验探索规律本质的习惯。

（三）反思结论，培养一致化理解的习惯

借助数学实验探究数学问题时，由于问题背景是开放的，同一数学现象还会得出不同的数学结论。在面对多个结论时，教师要引导学生借助实验发现结论之间的关系，形成一致化的理解。

例如，探索“一一间隔排列”规律时，学生通过实验初步发现一一间隔排列中的规律有多种情况：如直线排列，则“头尾相同时，两端物体个数比中间物体个数多1”“头尾不同时，两种物体个数同样多”；如封闭曲线排列，则“两种物体个数同样多”。这意味着，关于一一间隔排列规律，学生要掌握三个不同的数学模型。对此，教师可以在学生得到排列规律后追问“能不能只记一种”，引导学生通过实验操作，用“一一对应”的思想统一三个数学模型，认识到“首尾不同时，两种物体正好一一对应”“首尾相同时，则一一对应后多出一个”，而封闭曲线排列的两种物体变成直线排列后与首尾不同直线排列是一样的。

五、关注实验成果的评价

学生是否通过数学实验理解了数学知识，能否将实验探究的基本方法和操作技能等迁移至新情境，需要进行科学评估。为此，教师要设计相应的评价问题，考查学生运用数学实验探究数学知识的意识和能力，并根据学生的表现相机引导，修正或完善对知识的理解，强化实验探究要点。改造问题各要素，变换情境、内容和要求等，是常见的评价方式。

（一）改造背景结构，评估理解的深刻度

同样的研究要素，同样的实验方式，在不同的问题背景结构下，会产生不同的数学规律。

例如，钉子板上多边形的面积大小由边上点子数和内部点子数两个变量决定，且关系比较复杂。学生可能对规律的掌握“只得其形而未得其神”。对此，教师可以在学生找到规律后，改变钉子板的结构，将钉子板上每一个单位形状由“□”改为“△”，让学生利用刚获得的探究经验再次探索钉子板上多边形的面积计算公式。这样的“改造”，不仅能帮助学生固化实验方法，还能让学生感受到控制变量的实验方法对于探索复杂规律的价值。

（二）改变研究对象，评估方法的灵活度

学生是天生的探索者，对于数量之间“变”与“不变”的规律充满了好奇。教师可以通过改变研究对象，让学生迁移应用得到的实验结论、方法解决新的问题，从而评估学生思维的灵活度。

例如，在学生发现“3的倍数特征”后，教师提问“还有什么问题吗”，进一步激活学生探究的热情，同时针对学生提出的“还有哪些数的特征也和3的倍数特征一样看各位上数的和”相机引导，让学生对10以内未知倍数特征的数（4、6、7、8、9）进行实验探究，进而发现9的倍数也具备相同的特征，强化二者之间的联系。