NDSDD 矩阵逆的无穷大范数上界

敖地珍，刘兰兰，刘艳

（贵州民族大学 数据科学与信息工程学院，贵州 贵阳 550000）

H－矩阵在数学研究中有着非常重要的作用，特别是非奇异H－矩阵逆的无穷范数的上界可以用于矩阵分裂的收敛性分析，以及求解大稀疏性线性方程的矩阵多分裂迭代方程.近年来，H－矩阵逆的无穷大范数上界估计得到广泛的关注和研究.NDSDD矩阵是在文献［1］中定义的一类新的H－矩阵，目前对这个矩阵的研究还比较少.本文主要讨论了它的无穷大范数问题的上界，当A是NDSDD矩阵，C是一般矩阵时，给出上界.特别是当C为单位矩阵时，得出的上界.

1 预备知识

在整个文章中，将使用以下符号.

首先介绍严格对角占优（SDD）和（DSDD）矩阵等常用定义.

定义1［2］设A＝［aij］∈n×n，对于任意的i∈N，都有

则称A是SDD严格对角占优矩阵.

定义2［2］设A＝［aij］∈n×n，对于任意的i∈N，

则称A是DSDD严格双对角占优矩阵.

文献［3］证明SDD矩阵和DSDD矩阵是H－矩阵的子类，文献［1］中提出一个新的H－矩阵的子类.然而，文献［1］中并未对该矩阵命名，本文称它为NDSDD矩阵，定义如下.

定义3［1］设矩阵A＝［aij］∈n×n，n≥2对于任意的i∈N，

则称A是NDSDD矩阵.

显然，SDD矩阵包含NDSDD矩阵，即｛SDD｝｛NDSDD｝.以下的例子说明反包含不成立，即｛NDSDD｝｛SDD｝不成立.

定义4［4］设A＝［aij］∈n×n，若A的比较矩阵μ（A）＝［μij］，

是M－矩阵，［μ（A）］－1＞0，则A是一个H－ 矩阵.

文献［4］表明若A是一个H－矩 阵，则［μ（A）］－1＞｜A｜－1，这里A≤B是指aij＜bij，｜A｜＝［｜aij｜］∈n×n，i，j∈N.

此外，NDSDD矩阵也是H－矩阵的子类，非奇异矩阵逆无穷范数的上界可用于矩阵分裂的收敛分析以及求解线性方程的矩阵多拟解迭代方法.该上界也可以应用于矩阵［5，6］的最小奇异值.

寻找非奇异矩阵逆的无穷范数上界的一种传统方法是利用给定矩阵类的定义和性质，详见文献［7－10］.VARAH 首先在文献［10］中给出SDD矩阵逆的无穷范数的上界.

定理1［10］如果A＝［aij］∈n×n是一个SDD矩阵，那么

然而，如果｜aii｜－ri（A）较小，则Varah界可能产生较大的值.2020年，基于Schur补，LI［11］得到SDD矩阵逆无穷范数的两个上界.对SDD矩阵逆的无穷范数的每个界，利用DSDD矩阵的定义和性质，文献［9］中得到DSDD矩阵A的的上界如下.

定理2［11］如果A＝［aij］∈n×n是一个DSDD矩阵，那么

2 主要结果

下面结合NDSDD的定义和无穷范数的计算技巧［12－14］，给出当A是NDSDD矩阵时，的上界以及当A是NDSDD矩阵，A是一般矩阵时，的上界.

定理3设A＝［aij］∈n×n是NDSDD矩阵，则

因此矩阵B是DSDD矩阵.由定理2可知

定理4设A＝［aij］∈n×n是NDSDD矩阵，C＝［cij］∈n×m则

证明因为A＝［aij］∈n×n是一个NDSDD矩阵，所以A是H－矩阵，因此［μ（A）］－1＞｜A｜－1，设

推论1设A＝［aij］∈n×n是NDSDD矩阵，取C为n阶的单位矩阵，得到的结果如下：

3 数值算例

下面给出数值算例，对上述的理论进行说明.

例2 考虑以下的NDSDD矩阵及一般矩阵

通过计算可得出

所以可以得出矩阵A是一个NDSDD矩阵，故

例3 考虑以下的NDSDD矩阵

通过计算可得出