CFC-分数阶微分方程边值问题的Lyapunov不等式研究

马德香，张瑞琦

（华北电力大学 数理学院，北京 102206）

0 引言

随着分数阶微分方程在生物、化学、工程中的应用，各种不同定义的分数阶导数由此产生，相应的分数阶微分方程边值问题的Lyapunov 不等式的研究成为热点。

在文献［1］中研究了下列分数阶微分方程边值问题，

在文献［2］中研究了下列分数阶微分方程边值问题，

关于不同分数阶导数的定义详见文献［3-14］。

最近文献［15］中研究了下列分数阶微分方程边值问题，

在文献［15］中，同时定义了另一种新型导数即在左Caputo 和Fabrizio 的意义下的α阶左 Caputo分数阶导数（简记为CFC-分数阶导数），并研究了下列分数阶微分方程初值问题

解的存在性；同时给出了下列分数阶微分方程边值问题

的等价积分方程。

受以上文献启发，本文讨论下列分数阶微分方程的Lyapunov 和Lyapunov-type 不等式，

1 相关概念、引理

1.1 相关概念

定义1［16］设α＞0，f是定义在[a，b]上的实值函数。aIαf表示函数f的α阶左Riemann-Liouville分数积分，定义为：

其中

定义2［17-18］设α∈(0，1]，f是定义在[a，b]上的实值函数。表示函数f的α阶Caputo-Fabrizio 分数阶积分，定义为：

其中，B(α)＞0 是一个满足B(0)=B(1)=1 的函数。

定义3［15］设α∈(n，n+1]，n≥1，f是定义在[a，b]上的实值函数。表示函数f的α阶Caputo-Fabrizio 分数阶积分，定义为：

其中，aIn是n阶的Riemann-Liouville 分数阶积分，是β(β=α-n∈(0，1])阶的Caputo-Fabrizio 分数阶积分。

定义4［15］设α∈(0，1]，f是定义在[a，b]上的实值函数。表示函数f的在左Caputo 和Fabrizio 意义下的α阶左 Caputo 分数阶导数（简写CFC-分数阶导数），定义为：

定义5［15］设α∈(n，n+1]，n≥1，f(n)是定义在[a，b]上的实值函数。表示函数f的α阶CFC-分数阶导数，定义为：

性质1［15］设α∈(n，n+1]，n≥1，u(t)是定义在[a，b]上的函数，则

1.2 相关引理

2 主要结果

3 例子

4 结论

本文基于Green 函数的获得以及对其性质的研究，得到含有CFC-分数阶导数的微分方程边值问题的Lyapunov 和Lyapunov-type 不等式，并讨论了相应特征值问题；利用压缩映射原理证明了相应的非线性问题存在唯一解。丰富了CFC-分数阶微分方程的Lyapunov 和Lyapunov-type 不等式，以及相应非线性问题唯一解的理论，为分数阶方程在数学、生物、化学等领域的应用提供了理论参考。