联系抛物Bessel算子的Poisson半群的振荡算子

马 毅, 陈 淼, 陈 岩, 李 平

(长江大学信息与数学学院, 湖北 荆州 434023)

近年来, 许多作者研究了调和分析和概率论中与算子半群相关的振荡算子(或变差不等式)[1-7]. Betancor等[8]研究了非局部扩散方程

获得了该方程解的加权Lp(2)估计及混合型Lp-Lq估计, 也考虑了抛物Riesz变换. 最近, Li等[7]考虑了联系抛物Hermite算子的Poisson半群的振荡算子, 得到了该振荡算子的Lp有界性.本文主要目的是研究联系抛物Bessel算子的Poisson半群的振荡算子, 利用抛物半群方法和抛物向量值Calderón-Zygmund理论证明了该振荡算子的Lp(2)有界性.当p=∞时, 也考虑了该振荡算子的增长性．

1 预备知识及主要结论

考虑抛物Bessel算子

(1)

其中,Bessel算子Δμ被看作是一维的Schrödinger算子, 其位势

Vμ(x)=-(1/4-μ2)x-2,x∈(0,∞).

Carbonaro等[8]研究了与抛物Schrödinger算子∂t-Δx+V相关的奇异积分.

设hα(x)=(αx)1/2Jμ(αx), 其中Jμ(z)为第一类μ阶Bessel函数.则

Δμhα(x)=α2hα(x),α>0,

即hα(x)是Δμ的特征函数.联系Bessel算子Δμ的热半群{e-τΔμ}τ>0由核的积分给出[9], 事实上, 对于足够好的函数φ,

(2)

其中,

Iμ表示第一类修正的μ阶Bessel函数.对于每一个μ>-1,

(3)

容易得到, 当λ>0时, 复积分

是绝对收敛的[10], 利用上述复积分, 定义

其中,

e-τ(∂t+Δμ)=e-τ∂t∘e-τΔμ=e-τΔμ∘e-τ∂t.

因此, 对足够好的函数φ, 联系抛物Bessel算子L的热半群为

e-τ(∂t+Δμ)φ(x,t)=e-τΔμφ(x,t-τ)=

类似于经典情况, 利用Bochner从属原理, 联系抛物Besssel算子的Poisson半群e-τ(∂t+Δμ)为

(4)

(5)

序列{aj}j∈的一个典型例子是aj=qj(j∈), 其中常数q≥1.

本文的主要结果如下.

(x,t),(y,s)∈×.

注意到, 在此抛物距离下有

|B((x,t),r)|=|B((0,0),r)|～r3,

其中,B((x,t),r)={(y,s)∈2:|x-y|+

本文中,C总是表示不依赖于维数和某个函数的正常数, 并且在不同的地方C可能是不同的.本文也经常使用估计式: 对每一个正常数C和非负常数c有

2 L2有界性

引理1[7]设ξ∈n,ρ∈.则存在一个常数C, 使得

设f(x,t)是定义在n×上的函数, 其Fourier变换定义为

引理2设集合A为

证明因为

那么,

可得

证毕．

然而,

注意到, 当1≤aj+1/aj

因此, 利用Plancherel定理可得

证毕．

3 核的标准估计

(6)

因为

所以,

(7)

由定理3和(7)式知, 算子T从L2(2)到2)是有界的.下面将证明算子T可以表示为一个奇异积分算子且其向量值核满足所需条件.事实上, 利用Fubini定理, 由(4)式可得

其中,

(8)

对向量值核gj, 有下面的估计．

定理4设gj(x,y,s)是(8)式中定义的函数,则

在证明定理4之前, 给出以下引理．

引理3[7]对任意整数N≥1和常数C>0, 设

K(x,t)=t-(n+N)e-|x|2/(ct),x∈n,t∈.

那么

K(x,t)≤C(t1/2+|x|)-2(n+N).

定理4的证明1) 由(8)式可得

因为

所以,

回忆修正的Bessel函数Iμ(z)(μ>-1)的一些性质[8]:

(9)

Iμ(z)=

z∈,

(10)

其中,[μ,0]=1, 且

k∈,k≥1,

z∈(-∞,0].

(11)

使用(9)～(11)式可得, 当μ>-1/2时,

x,y,τ∈(0,∞).

(12)

当-1<μ≤-1/2时,

(13)

因此, 联立(12)和(13)式可得

2) 由(8)式可得

类似于1)的证明可得

由(1)式可得

因此, 得到

类似地计算可得

因此, 结合上面的计算可得

3) 类似于2)的证明, 得到3)的结论成立．证毕．

定理1的证明由定理3知道算子T从L2(2)到2)是有界的, 结合定理4并使用抛物向量值Calderón-Zygmund理论, 立即得到算子T从Lp(2)到2)是有界的(1

4 振荡算子的增长性

定理2的证明由(8)式和Hölder不等式可得

由定理4 1)的证明可知,

进而, 可得

利用Fubini定理可得

由定理4 1)可得,

所以,

另一方面,

所以,

证毕.