公理系统视角下的亚里士多德三段论论

【摘要】 亚里士多德是古希腊哲学的集大成者，在当时几乎所有的学科都有所建树，从而也在自己丰富的哲学、认识论和几何学等知识的基础上形成了独特的演绎构建学科的观点，并在这一观念的指导下提出了他的三段论学说。他以谓述和条件句的方式将三段论表示出来，以中词在结构中的位置将三段论划分为三个格，并在证明第二三格的式的有效性中将第二三格的式化归为第一格的式，这实际上形成了一个有公理和定理的古典演绎体系。这个体系有一种强烈的公理化思想，亚里士多德的这一创举在哲学和逻辑学上对于后世学者的研究都具有极其深远的意义。

【关键词】 亚里士多德；三段论；化归；公理系统

【中图分类号】B81-0           【文献标识码】A           【文章编号】2096-8264（2023）14-0072-03

【DOI】10.20024/j.cnki.CN42-1911/I.2023.14.022

众所周知，与逻辑学最相关的一个词可能就是推理，那么亚里士多德的逻辑学说中与这一部分相对应的就是他最成熟的三段论学说。“三段论是一种谈论方式，在其中某些事物被断定，某些不同于它们的事物就可以由它们是如此确定的论断而必然推出。”[1]61亚里士多德对三段论这样的定义，从三段论的形式方面对人们头脑中的由此及彼的推理作了细致的研究。亚里士多德最终建立了完整的、成体系的三段论学说，这一创举是基于什么样的背景和基础、具体过程怎样，以及有何意义，这些问题都是值得我们探讨的。

一、亚里士多德建立公理系统的知识背景

（一）哲学背景

在哲学观点上，我们不能简单地把亚里士多德划入唯心主义或者唯物主义，因为这样做是不确切的。不过亚里士多德的老师柏拉图却显然可以归入“唯心主义者”，因为在他的思想中认为理念是实物的原型并且可以独立存在。那么亚里士多德反对柏拉图的理念论，并且认为世界乃是由各种本身的形式与质料和谐一致的事物所组成的，这些思想就已经包含了一些唯物主义的因素。但是他又认为每一自然现象都有其发展的原初的内在的目的，承认宇宙间应该总有一个原动者，它自己不动，却能使一切其他对象处于动变状态。可见亚里士多德的本体论世界观中掺杂了唯物主义和唯心主义，或者说他本人是一个不彻底的唯物主义者。当然在亚里士多德那个时代也没有唯物主义和唯心主义的说法，但这一点唯心主义的杂质对于亚里士多德逻辑体系的创建也是发挥了十分重要的作用。

亚里士多德的认识论同他的不彻底的唯物主义的哲学观点是密切相连的，在古希腊哲学史上占有重要的地位。他承认客观存在的自然界中的事物是认识的直接对象，是经验、感觉发生的根源。认识开始于接触个别事物，形成感觉、经验，但感觉提供的只是个别事物的知识，在有关个别事物的知识的基础上，经过总结、概括，理论思维的加工，获得关于个别事物的一般的、本质的知识，而科学的任务正在于认识一般。人们从对个别对象的经验到对一类事物的一般判断，同时也是科学产生的过程。亚里士多德既重视感性认识，也重视理性认识的思想，表现出一种折中和调和的特点。

亚里士多德的逻辑学和其中最重要的三段论学说是与他这种朴素的唯物主义哲学和认识论的观点分不开的。他也正是在这一基础上建立了一种类型的逻辑体系，从而博得了古典形式逻辑创始人的荣誉。

（二）几何学背景

在亚里士多德的著作中，我们可以发现他在论述时会像他的老师柏拉图一样经常以苏格拉底为例。这当然是可以理解的，因为苏格拉底毕竟是他老师的老师，苏格拉底的思想是他思想的源泉。然而，在《前分析篇》中“几何学”一词出现的次数却与“苏格拉底”一词的出现次数令人惊奇的接近，可见“几何学”对于亚里士多德的重要程度足以与他的思想源泉相提并论。我们知道几何学是演绎证明的代表，亚里士多德如此重视“几何学”，体现了他深藏于心的演绎构建学科的科学观。

在《几何原本》中，欧几里得首先规定了某些公理，然后从中推导出其他的定理，亚里士多德就十分肯定几何学的这种演绎性质和公理化特征。亚里士多德在肯定几何学所提供的演绎方法的同时，也指出一切科学都应该像几何学一样表现为一种公理演绎系统的形式。他的逻辑学就是按照几何学这种演绎模式建构的，而三段论作为演绎体系就是这种科学观的一个典型代表。他提出三段论的完善的格和不完善的格的划分，以及所有不完善的格都可化归为完善的格，就是企图使三段论体系像古希腊几何学那样建立为一个被证明了的科学系统。

二、古典公理系统的具体构建

（一）三段论的描述方式

传统逻辑把三段论表述为“所有M是P，所有S是M，所以，所有S是P”（Barbara）。而亚里士多德对三段论的表述则不同。“比如他对Barbara的表述是：如果P属于每个M并且M属于每个S，那么P必然属于每个S。”[2]70。这里，我们可以看到区别是很明显的：（1）表述判断时，传统逻辑使用了系词“是”，但是亚里士多德却没有这样使用。（2）在前提和结论的连接上，传统逻辑在结论前使用“所以”，亚里士多德却是用“如果……那么……”来表述。

我们先看第一种区别，这种表述方式在古希腊的自然语言中是较为少见的，这是亚里士多德致力于建构清楚、严谨的三段论系统才特别使用的独特的技术语言，亚里士多德使用它并且贯彻始终。至于第二种区别，我们可以看到他是用由“如果……那么……”形成的条件句来表述三段论的，即：如果有前提之一，并且有前提之二，那么就有某结论。他之所以更倾向于采用公理系统中表述公理和定理的常用方法：“如果……那么……”，正是因为这样的描述方式更便于他构建三段论公理系统。

（二）三段论的证明方法

亚里士多德从48种可能的前提组合中，排除了34个不符合规则的式，那么就还余下14种，他把这14个式看作有效的式。这14个式依据中词在结构中位置的不同又分为三个格，他称第一格的式（AAA、EAE、AII、EIO）为完善式，而后兩格的式（第二格：EAE、AEE、EIO、AOO；第三格：AAI、EAO、IAI、AII、EIO、OAO）均为不完善的。亚里士多德的完善的三段论，就是前提和结论之间的联系是自明的，而不完善三段论则缺乏这种自明性，它们需借助这些前提中必然推引出的却又并非充当前提的另一些命题，才能使前提和结论间具有明显的正确性。所有不完善三段论的不显然逻辑有效性可以借助第一格而变得显然，这是一种推理证明过程，这个过程可以通过换位法、归谬法、显示法来完成。

1.换位法

换位法是使用最普遍也是最简单的方法，大部分的式都可以用换位法来证明。具体来说就是借助A、E、I这三个命题的换位规则，将要证明的式的一个前提换位，就能得到一个第一格的三段论。这个证明用P、M、S这三个符号可以表述如下（以第二格的EAE式为例）：

MEP           →           PEM（E命题换位）

MAS                         MAS

PES                           PES

（第二格的EAE式）  （第一格的EAE式）

不过换位法并不能使所有第二格和第三格的式都成为完善的，由于O命题不能换位，因此第二格的AOO式和第三格的OAO式就无法用换位法证明，因此还需要其他的办法。

2.归谬法

亚里士多德第一次运用归谬法是在证明第二格的AOO式时，首先假定A00式的结论POS是错的，那么POS的矛盾命题PAS就是正确的，并且根据其中一前提MAP，得到第一格的AAA式：

MAP

PAS

MAS

但MAS的结果和欲证AOO式中另一条件MOS矛盾，故而第一格最后的断定MAS就是错误的。但第一格的推理形式是对的，那么问题就出在它的一个假定的前提“POS是错的”上。由于这一假定错误，则由第二格得到的结论POS就是正确的，这样也就证明该第二格的AOO式是正确的推理形式，它能得到可靠的结论。这里是建立一个第一格的AAA式以证明第二格的AOO式。

所以，归谬法的思路就是： ①假定欲证的三段论W的结论为假； ②以这个结论与一个前提P结合起来，推出某种东西； ③这个被推出的东西和欲证的三段论W中另外一个条件矛盾，因而是不可能的； ④因此证明W的结论成立。这里的第②步是一个第一格的式。

3.显示法

除上述提到的两种证明方法外，还有一种亚里士多德使用较少的“显示法证明”，这是一种通过引入一个新的词项来证明原有两个词项之间关系的方法。例如用显示法证明第三格AAI式：如果P和R都适于每一个S，并且如果我们从S类中选择某一事物，比如说N，那么P和R就都适于 N。因此，P就适于有些R。[1]71由于所有S是P，所有S又是R，因而总会有S的分子既是R又是P，这里N就是那个增加的显示项，它是S的某一个分子，表明既是R又是P的分子存在，因而也就证明有R是P。“亚里士多德提出的这个显示项N的作用和后来文恩图解中表示存在的符号‘+很相似。”[3]93

从上面可以看出，这种方法和换位法、反证法不同，只是一种借以显示原推论有效的方法，它无须把原三段论化归为第一格，因而它在证明三段论式时更像是一种直观的说明，而不是一種演绎的证明。除此之外，亚里士多德在全称否定命题的换位证明中使用的也是这种方法，这正是我觉得显示法不可缺少的原因，虽然由显示法证明的式都可以用换位法或归谬法证明，但是换位法中需要用到的三条换位规则之一的全称否定命题的换位规则却是由显示法来证明的。

在论述全称否定命题的换位规则时，亚里士多德说：“如果没有B是A，也不可能有任何A是B，因为如果有些A（比如C）是B，那么没有B是A就不会是真的，因为C是A。这里要就借用了词项C来说明A和B这两个词项的关系。”[2]97

亚里士多德将三段论分为三格14式，还提出了完善格与不完善格的区别，为了证明不完善格的有效性，使用了把不完善格化归为完善格的证明方法，正是在这一过程中亚里士多德建立起了一个的三段论公理系统。

（三）三段论公理系统

由此可见，只要利用归谬法和换位法，从第二格和第三格就都可化归到第一格。而且不仅如此，亚里士多德甚至认为，第一格的AII式和EIO式也可以分别化归为AAA式和EAE式。因而最后的结果是，后12个有效式都能化归成AAA式和EAE式，亚里士多德就把他系统中的公理减少到了最低限度。亚里士多德最初讨论化归，主要是想说明三段论的其它格以自明的第一格为依据，从而说明三段论推理的正确性，人们依据这些三段论建立的证明是可靠的。但同时这样就考察了三段论的正确形式之间的关系，确认了这些正确形式是具有整体性的一个系统。这样来说，两个最基本的三段论式，在这个系统中就担任着公理的角色，由这两个公理出发，就可以演绎出这个系统中给出的其他定理。虽然这个系统不是很严格，但大家普遍认为这个系统已经具有公理化意味。也有一些现代学者把亚里士多德三段论系统刻画为自然推理系统，把第一格的两个全称式、换位法、归谬法等都当作他的系统的推论规则。但是，显然换位法等与第一格的两个全称式在亚氏三段论系统里并不具有相同的地位。[4]26所以亚里士多德三段论系统并不能解释为自然演绎系统，而是具有典型公理系统特征。

亚里士多德之所以被世人尊为逻辑之父、逻辑的创始人和奠基者，就是因为他建立了完整的、成体系的三段论学说。其中更主要的是他对三段论系统性的、公理化的考察，亚里士多德的三段论证明化归形成了一个古典的演绎系统，而且这个系统明显地呈现出一种公理化的特征。那么亚里士多德就是首先进行这种尝试的学者，并且他的这一系统成为后世学者相关方面研究的典型范例。在这个意义上，亚里士多德不仅使逻辑科学完全脱离了论辩术研究的影响，而且在逻辑的研究中出现了新的方面。亚里士多德的三段论体系，是他的逻辑臻于成熟的体现。

三、亚氏古典公理系统的意义

（一）哲学意义

一方面，根据亚里士多德提出的完善三段论的自明性，也即在他这个古典公理系统中公理的存在，我们可以得出，有一个最开始的东西，是推动其他事物发展的，没有其他事物能够推动它。这引发了哲学家们对一些问题的思考，比如上帝是否存在，中世纪安瑟尔谟和托马斯就用不同的方法证明上帝的存在。以及近代经验论与唯理论关于认识的来源之争也与此有关，此后康德提出先天综合判断，而弗雷格否定这一观点，进而开始建立逻辑主义纲领。由此可见，亚里士多德这一理论对于后世研究的影响有多深远。另一方面，亚里士多德用类似数学的方法构建公理系统，其优点就是论证上的严谨，这也促进了后来的哲学家们自觉地严密论证自己的哲学思想。

（二）逻辑学意义

亚里士多德的逻辑学说几乎涉及了传统逻辑的所有方面，是当之无愧的形式逻辑的创始人，并且奠定了此后逻辑学发展的方向和基调。亚里士多德认为存在完善的三段论，在这里前提和结论之间的联系是自明的，但亚里士多德并没有说明他是从什么角度来谈这种自明性，也没有说明这种自明性所显现的到底是一种什么关系，因此他对三段论完善和不完善的这种区分是一种朴素的观点。所以可以说，这里体现了亚里士多德的朴素的公理思想，他实际上建立了第一个朴素的或古典的公理系统，即第一格的四个式是这个系统的公理，第二格和第三格的式从这些公理推出，是这个系统的定理。“他构建的三段论系统虽然只有三个格，但在这个系统中已经给出了确定而又清楚的公理，并且给出了一定数量的定理，其他定理可由公理和已给出的定理推出，所以三段论体系作为古典公理系统实际上就构建成功了。”[5]146他使用字母、符号构造了一个初级的演绎的公理化体系，虽然并没有现代公理系统那么严格，但也是对公理化的第一次实践，也使逻辑学接近典范的数学，对后世的學者产生了极大的影响，是数理逻辑思想的萌芽，后来莱布尼茨的思维演算、布尔代数以及弗雷格和罗素的命题演算系统里都可以看到亚里士多德三段论的影子。

综上，亚里士多德建立了完整的、成体系的三段论学说，并且是基于其二元论哲学世界观和几何学演绎思维基础的。亚里士多德概括了三段论的有效形式，更主要的是他探讨了三段论的有效形式之间的关系，并确认了这些有效形式是具有整体性的一个系统。他所做的这一系列工作既使得逻辑科学自此与论辩术完全分离，又为逻辑的研究开辟了全新的方向，即把推理形式当作和思维无关的纯形式来研究。

参考文献：

[1]（古希腊）亚里士多德.工具论[M].刘叶涛等译.上海：上海人民出版社，2018.

[2]王路.亚里士多德的逻辑学说[M].北京：中国社会科学出版社，2017.

[3]郝旭东.亚里士多德三段论理论的第四格问题[J].西北大学学报（哲学社会科学版），2015，45（06）：142-146.

[4]曹飞.亚里士多德三段论系统的一种现代解释[J].延安大学学报（社会科学版），1991，（02）：25-30+36.

[5]宋文坚.西方形式逻辑史[M].北京：中国社会科学出版社，1991.

作者简介：

郭姣姣，女，山西临汾人，硕士研究生，从事逻辑哲学、归纳逻辑等方面的研究。