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立足内核本质 设计“关键问题” 促进素养提升
——《加法交换律和乘法交换律》教学设计

2023-05-30文|王

小学教学设计(数学) 2023年5期
关键词:学习材料交换律反例

文|王 江

之前在加法意义和加法验算的学习中,学生对于加法“可交换”已经有了很多感性的认识,乘法亦是如此。一节内容简单、学生经验丰富的数学课,如果依然从常规教学思路“提出猜想——举例验证——得出结构——应用规律”出发,总感觉没有触碰到概念的本质内核,学生的思维没有进阶,甚至,可以说这样的教学思路停滞在了十年前。

教学中,可以尝试提出更具思维含量和挑战性的“关键问题”,给予学生一定的小工具支持,使学生从不同层面、多种角度表征加法交换律,从而帮助学生从字面上的“可交换”,逐步迈向利用多层次的对话深化学生对“可交换”的本质理解,即:在交换律中,“序”的改变并不影响最终结果。过程中,结构关联的视角、“猜想—验证”的数学学习方法和经验的再积累,都为学生未来的学习赋能。

【教学过程】

一、呈现“关键问题”,引发独立思考

师:老师带来了一个有趣的语文作品,叫“颠倒歌”。知道这首作品颠倒前的顺序吗?多快乐的一首颠倒歌!语文学科里,这么一颠倒、一交换,文字立马有了更大的魅力。数学里的交换会不会也有别样的精彩呢?今天我们就来学习数学里的交换。

师:说起交换,在咱们的数学学习里不止一两次了,让我们一起来看一看。一年级数的分与合、一年级一图两式、二年级的验算(课件呈现教材图)……这些学习的经历,让小明产生了一个大胆的猜想:“任意两个数相加,交换它们的位置,和不变。”你觉得小明的猜想正确吗?

师:不着急下结论,为了方便同学们验证这个猜想,王老师给每个小组准备了四个学习材料,我们来认真地看一看。材料1 举例子,材料2 面积图,材料3 集合图,材料4 红色木条、蓝色木条。(材料2、3、4 课件均有交换位置的动画)

师:我们来看小组合作要求。

1.选一选:组长组织,每人选择一个学习材料。2.想一想:先独立思考,如有需要,可以动笔简要记录。3.说一说:在小组里认真有序交流。

师:特别提醒第二点,想一想很重要,有思考才有高质量的小组交流,所以,老师建议分好学习材料,静静独立思考,再在小组里好好交流一下!

【设计意图:教师通过“关键问题”唤醒了学生对于两个加数“可交换”的经验,本质上这是一种联系的视角。此外,教师放手让学生借助四个学习材料展开探究活动,教师精心设置的这四个学习材料分别对应数、形、指向“离散量”的集合圈圆片图以及指向“连续量”的小棒长度图。通俗讲,圆片图是“离散”的,它更多指向“整数”,而小棒图是“连续”的,它指向“任何数”。可以预见的是,不同层次的学习材料将会成为后续生生、师生对话的重要资源。】

二、交流反思,让思维相互碰撞

1.尝试举例,初步验证

生:我选择举例子的方法。

师:举例验证是个很棒的路径。但我们能不能通过这几个例子就下结论?

生:还需要举出更多例子,如25+13=38,13+25=38;100+200=300,200+100=300,所以我觉得是对的。

师:第二位同学的举例和第一位同学比,你更喜欢谁的?

生:我喜欢第二位同学的,因为他举例的时候能够考虑到不同的类别。

师:其他小组还有没有不同类的例子?

(学生汇报略)

师:老师特别关心的是有没有同学举出了反例?

师:看来举例子的时候,不仅要考虑不同类别,还要考虑反例的问题。

师:你能把这两个等式合并成一道算式吗?

(学生举例,留下一组等式)

师:有没有同学担心万一第1000 个例子是反例呢?没关系,我们继续借助其他学习材料来交流。

2.多维验证,深化理解

生:我选择了面积图。我觉得长方形在前、在后的顺序不重要,合起来结果都是整个大长方形的面积。

生:我选择了集合图。我也觉得红色在前、在后的顺序不重要,我们都是在算这两个部分的总和。

生:我选择了红、蓝小棒图。我觉得蓝小棒在前、在后都无所谓,反正都是在算红、蓝小棒的长度和。

师:数学学习到这里是不够的,真正厉害的同学还能从四个学习材料中找到共同的地方,你能找到吗?

生:两个部分,它们交换位置再合起来,结果是不变的。

师:学习到这里,想问大家,小明的猜想正确吗?(正确)现在你还有前面例子举不完的担心吗?有没有同学知道,这个猜想的另外一个专属名字?(加法交换律)

师:刚才同学们写了这么多算式,有没有同学能够用一道算式把它们都表示出来?(学生回答略)我们通常用a+b=b+a 来表示。

【设计意图:学生借助教师给予的学习材料,能够从不同层面、多种角度尝试验证加法交换律,从而实现深度理解。在这过程中力求实现四个层次的对话:1.能用面积图、集合图、小棒图验证、解释加法交换律;2.感悟不论是整数、分数还是小数,都满足加法交换律;3.用没有具体数据的例子也能说明,因为是“合并”,与谁前谁后位置的改变没有关系;4.感受字母表示的代表性和一般性。】

3.整体建构,深化认知

师:回顾一下,我们根据一个猜想,用不同的方法进行了验证,最后得到了这个结论。学习不要止步于此,你还有没有新的猜想?

生:有没有减法交换律、除法交换律和乘法交换律呢?

师:要为大家点赞。每人至少选择一个你感兴趣的猜想展开验证,独立思考,也可以简单记录下。

生:我觉得没有减法交换律。10-7=3,7-10 却不够了。

生:我反对,5-5=5-5,8-8=8-8,所以我觉得有。

师:刚才我们讨论加法交换律的时候,你们允许反例的出现吗?那怎么现在就允许了呢?

生:我觉得减法没有交换律,只要找到一个反例,就可以推翻它了。

师:对!验证结论过程中,只要举出一个不符合结论的例子——反例,就可以说这个结论不成立。

生:除法也没有交换律。12÷2=6,2÷12 肯定小于1 了。

生:我觉得乘法有交换律。我举了很多例子,都是成立的。

师:大家有没有举出一个反例?

(学生摇头)

师:同学们,计算小方块的总数(如下图),你怎么列式?

师:横着看,几个几?竖着看呢?3 乘5、5 乘3,它本质上算的都是这里方块的个数,只是观察的视角不同。所以,乘法交换律这个猜想是正确的!

师:实际上,乘法交换律也早就陪着我们学习了(如下图)。

师:同学们,今天我们一起学习了交换律。我们发现:通过交换,它可以改变两个部分的顺序,可是两部分的总量是不变的。在今天的学习中,我们发现,顺序并不影响结果。(完成板书,如下图)

【设计意图:本节课没有满足于加法交换律的学习,而是在此基础上,抛出了第二个“关键问题”:乘法、减法、除法有交换律吗?引导学生猜想、举例验证,积累“猜想—验证”的数学学习方法和经验,学会用举反例的方法否定错误的猜想,数学理性思维表现得淋漓尽致。此外,方块计数的图片,学生可以从乘法的意义理解,也可以从面积模型、几何直观的角度理解,有助于学生将它推广到更一般的情形:ab=ba,课堂里没有完全“点破”,但“意图”已经蕴含其中。板书的设计,也向内核本质更近了一步,即:交换两个部分,“序”改变了,但“序”的改变并不影响结果的改变,真正做到了让简单的知识不简单,学习力悄然提升。】

三、拓展延伸,拓展思维边界

下面的算式中,你觉得哪些可以填到横线上?

25+47=______

A.74+25 B.47+25

C.24+48 D.27+45

生:我觉得B 就是我们今天学习的交换律。

生:我觉得还可以选C。25 挪走一个给47,总数是不变的。

师:不算就能看出来,真厉害!这是加法的另一个规律。

生:我觉得也可以选择D。47移过去2 个给25,总数也不变。

生:我觉得不用计算,D 就是十位没动,个位进行了对调。

师:那这是交换律吗?确实不是,这个算式有一点复杂,它里面藏着交换律,但是等大家到了下学期,你会发现这里面还藏着新的加法运算律。

【设计意图:本节课没有呈现枯燥的、机械式的练习题,只留了一道题,通过这样的练习,实现“减负增效”,学生也在过程中明白除了“交换律”,还有其他的“运算律”。】

四、全课总结,回顾课堂学习历程

师:同学们,让我们回顾一下整节课。今天我们从已有的学习活动中,善于观察、形成猜想,然后,借助多元材料、小心验证,接着,变化条件、丰富猜想,最后,我们还进行了巩固练习、深化认知。希望未来的学习,同学们也能够和今天这样提出更多的猜想,不断寻找答案。

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