函数易错题归因分析

聂青青

函数是高中数学的重要组成部分，是高考考查的核心内容，函数教学一直是高中数学的重点和难点.从知识视角来说，函数概念较为形式化和抽象，特别是函数的单调性、奇偶性、周期性结合起来至于具体或抽象的函数中，学生较难整体把握.从数学科核心素养视角看，学生如果对函数的概念未真正理解，对函数单调性、奇偶性、周期性等性质不能熟练运用，不能用函数的观点看问题，出错是很正常的.对于易错题，对错因进行系统的整理和反思是很必要的，可以防止重复犯同样或类似的错误．

考生出错的原因很多，但典型错误就那几种.函数的三大类型的易错题，错因都很相似，为提高考生解题的防错意识，帮助考生正确全面地解答函数问题，举例进行剖析．

一、概念不清致错

研究函数绕不开的就是函数的定义域，高中阶段用集合的观点定义函数，函数的定义域确定就是一非空数集.学生在面对含参数的问题并对参数进行分类讨论时，屡犯的错误有很大一部分都是忽视定义域非空，复合函数研究时也会忽视函数的定义域.根本原因就是概念不清，对函数的定义域和对应法则的实质理解不到位．

1.忽视定义域为非空集合

例1.記函数f（x）=2-x+3x+1的定义域为A，g（x）=lg［（x-a-1）（2a-x）］（a≤1）的定义域为B．

（1）求A；

（2）若BA，求实数a的取值范围．

错解：（1）由2-x+3x+1≥0，得x-1x+1≥0，

∴x<-1或x≥1，即A=（-∞，-1）∪［1，+∞）．

（2）由（x-a-1）（2a-x）>0，得（x-a-1）（x-2a）<0．

当a+1=2a即a=1时，B=φ，满足BA；

当a+1>2a即a<1时，B=（2a，a+1），

要使BA，则2a≥1或a+1≤-1．

又a≤1，∴12≤a≤1或a≤-2，

∴满足BA的a的取值范围是（-∞，-2）∪［12，1］．

错因剖析：由函数的概念知，函数的定义域为非空集合，所以错解中a=1时，B=φ是不合适的，应舍去.正解：（-∞，-2）∪［12，1）．

2.研究复合函数单调性忽视定义域

例2.已知函数f（x）=lg（x2-4x-5）在（0，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）

A. （-∞，-1］

B. （-∞，2］

C. ［2，+∞）

D. ［5，+∞）

错解：令g（x）=x2-4x-5，易知g（x）在［2，+∞）上单调递增，

由复合函数的单调性知f（x）在［2，+∞）上单调递增，

∴a≥2，选C．

错因剖析：研究f（x）=lg（x2-4x-5）的单调性，忽视其定义域应为x|x2-4x-5>0=（-∞，-1）∪（5，+∞）．

正解：f（x）=lg（x2-4x-5）的定义域为（-∞，-1）∪（5，+∞），

由复合函数的单调性知f（x）在（5，+∞）上单调递增，

∴a≥5，选D．

3.混淆原函数与复合函数的定义域

例3.已知函数f（x）=2+log3x（1≤x≤9），求函数g（x）=［f（x）］2+f（x2）的最大．

错解：g（x）=［f（x）］2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2=log23x+6log3x+6=（log3x+3）2-3，

∵1≤x≤9，∴0≤log3x≤2，

∴当x=9即log3x=2时，g（x）的最大值为22．

错因剖析：错解混淆了函数的定义域，误认为g（x）的定义域仍为f（x）的定义域．

正解：函数f（x）的定义域为［1，9］，故g（x）的定义域应满足1≤x≤9且1≤x2≤9，

∴x∈［1，3］，∴log3x∈［0，1］．

当x=3即log3x=1时，g（x）的最大值为13．

4.忽视函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称

例4.若函数f（x）=k-2x1+k·2x在定义域上为奇函数，则实数k的值为．

错解：∵函数f（x）为奇函数，∴f（0）=0即k-11+k=0，∴k=1．

错因分析：f（0）=0是函数f（x）为奇函数的既不充分也不必要条件，错解忽视了这一点；另外讨论f（x）的奇偶性应优先考虑函数的定义域．

正解：（方法一）当k≥0时，f（x）的定义域为R，

则f（-x）+f（x）=0即k-2-x1+k·2-x+k-2x1+k·2x=0，

整理得（k2-1）（22x+1）（1+k·2x）·（k+2x）=0，

∴k2=1，又k≥0，∴k=1．

当k<0时，f（x）的定义域为x|x≠log2（-1/k），

要使f（x）具备奇偶性，则-1k=1，所以k=-1，

此时f（x）=2x+12x-1，f（-x）=2-x+12-x-1=1+2x1-2x=-f（x）．

综上，满足题意的实数k的值为-1或1．

（方法二）先不讨论定义域，用函数的奇偶性定义，x∈D都有f（-x）+f（x）=0，

即k-2-x1+k·2-x+k-2x1+k·2x=0，整理得（k2-1）（22x+1）（1+k·2x）·（k+2x）=0，

∴k2=1，得k=±1（其中k=1时定义域为R，k=-1时定义域不含0）．

若此时不检验k=±1是否都能使f（x）为奇函数，答案也是正确的．

笔者发现，考生认为自己用了定义法了，无需再检验，但这种做法是不正确的，如题：

（变式）已知函数g（x）=ln1+ax1+x为奇函数，求实数a的值．

错解：x∈D都有g（-x）+g（x）=0，得ln1-ax1-x+ln1+ax1+x=0，

整理得（a2-1）x2=0，∴a2-1=0即a=±1．

如果不再继续检验a=±1是否都能使得g（x）为奇函数，则将出现错误.

因为a=1时g（x）=ln1+x1+x=0其定义域为x|x≠-1，显然不是奇函数．

所以，在已知函数的奇偶性求参数的值时，一定要优先考虑定义域，若不考虑定义域而用定义法，则需检验结果是否都符合题意．

5.不能精确求出实际问题中的自变量的取值范围

例5.在△ABC中，BC=2，AB+AC=3，中线AD的长为y，AB的长为x，建立y与x的函数关系式，并指出其定义域．

错解：在△ADB与△ADC中，利用余弦定理cos∠ADC=1+y2-（3-x）22y以及cos（π-∠ADC）=1+y2-x22y，

∴1+y2-（3-x）2+1+y2-x2=0，解得y2=x2-3x+72．

又y>0，∴y=x2-3x+72，

易知x2-3x+72>0恒成立，

∴其定义域为x|x>0且3-x>0=x|0

错因剖析：错解中只考虑三条边均为正，忽视了三角形应满足任意两边之和大于第三边（实际上满足这个条件也相当于满足了任意两边之小于第三边，无需重复考虑），不能精确定位实际问题中自变量的取值范围．

正解：在△ABC中，依题中条件显然有AB+AC>BC，还应满足AB+BC>AC以及AC+BC>AB，

即x+2>3-x且2+（3-x）>x，

∴12

二、审题不清致错

在知识已经定位的条件下审题决定着解题的成败，审题不清的真正原因是没有正确把握概念、性质，一线教学中，教师应重视概念的教学，对于考生易混淆的卡点，需设置不同的问题进行区分．

1.混淆“函数的定义域为R”与“函数的值域为R”

例6.已知函数f（x）=lg［3ax2+（2a+1）x+1］的值域为R，求实数a的取值范围．

错解：要使f（x）=lg［3ax2+（2a+1）x+1］的值域为R，则应满足3ax2+（2a+1）x+1>0恒成立，

故a>0，

Δ=（2a+1）2-12a<02-32

错因剖析：错误原因是把问题与命题“已知函数f（x）=lg［3ax2+（2a+1）x+1］的定义域为R，求实数a的取值范围”相混淆.一般地，对于这个问题，若定义域为R，则转化为不等式3ax2+（2a+1）x+1>0恒成立；若值域为R，则应转化为g（x）=3ax2+（2a+1）x+1的值域包含（0，+∞）．

正解：要使f（x）=lg［3ax2+（2a+1）x+1］的值域为R，则g（x）=3ax2+（2a+1）x+1的值域包含（0，+∞），即g（x）的函數值要取到所有正数．

当a=0时，g（x）=x+1能取到（0，+∞）；

当a≠0时，须有a>0，

Δ=（2a+1）2-12a≥00

2.混淆“有意义”与“定义域”

例7.若函数f（x）=lg（1-a2x）的定义域是（1，+∞），求a的取值范围．

错解：依题意知，当x∈（1，+∞）时，1-a2x>0恒成立，∴a<2x恒成立．

又函数y=2x在x∈（1，+∞）上的值域为（2，+∞），

∴a≤2．

错因剖析：错解混淆了“有意义”与“定义域”的概念，函数的定义域是指使函数有意义的所有自变量的集合，而使得函数有意义的自变量的范围可能只是定义域的一个子集．

正解：函数f（x）=lg（1-a2x）的定义域是（1，+∞），

即不等式1-a2x>0的解集是（1，+∞）．

∵1-a2x>02x>ax>log2a，

∴log2a=1，a=2，

因此a的取值范围是单元素集{2}．

3.混淆“自对称”与“互对称”

例8.函数y=f（x+1）与函数y=f（3-x）的图像关于直线 对称．

错解：设x1=x+1，x2=3-x，依题意可得f（x1）=f（x2）且x1+x22=2，

∴函数y=f（x+1）与函数y=f（3-x）的图像关于直线x=2对称．

错因剖析：此例是两个函数图像的对称问题，错解把问题（互对称）与“函数f（x）满足f（x+1）=f（3-x），则f（x）图像关于直线 对称”（自对称）混淆.实际上y=f（x+1）与y=f（3-x）是两个不同的函数，此例讨论的是函数的“互对称”问题．

正解：函数y=f（x+1）的图像是由函数y=f（x）的图像向左平移1个单位得到，

函数y=f（3-x）的图像为函数y=f（x）的图像关于y轴对称，

即y=f（-x），再向右平移3个单位得到，即y=f［-（x-3）］=f（3-x）．

设点A（x，y）在函数y=f（x）的图像上，点A（x，y）向左平移一个单位得到A′（x-1，y）；

点A（x，y）关于y轴对称再向右平移3个单位得到A″（-x+3，y）．

易看出点A′（x-1，y）与A″（-x+3，y）关于直线x=1对称，

故函数y=f（x+1）与函数y=f（3-x）的图像关于直线x=1对称．

三、直觉思维致错

直觉思维在数学解题中经常使用，特别是选择题或填空题只求结果不求过程.为了快速解决问题，避开繁杂的计算及逻辑推理，很大一部分考生也会凭直觉觉做题.凭直觉得出的结论未必可靠，直觉思维觉也要件;建立在扎实的基础积累和严格的逻辑思维之上，因此未必每次凭感觉做题都能幸运.“凭感觉”仅看到了问题的表象，并未深入研究问题的本质．

1.解析式变形不到位

例9.已知函数f（x）=log2（x2+1-x），判断函数的奇偶性．

错解：∵x2+1-x≥0恒成立，

∴x∈R，又f（-x）=log2（x2+1+x），

显然f（-x）≠f（x）且-log2（x2+1-x）≠log2（x2+1+x）即-f（x）≠f（-x），

∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数．

错因剖析：一线教学中，有很大一部分考生不具备“式感”，只看表象就认为-log2（x2+1-x）≠log2（x2+1+x）或者log2（x2+1-x）≠log2（x2+1+x），实则运算能力不足，对解析式的变形不到位，对于对数函数运算性质的特殊性没有“特意”分析．

正解：∵（x2+1-x）（x2+1+x）=1，

∴f（-x）=log2（x2+1+x）=log2（x2+1-x）-1

=-log2（x2+1-x）=-f（x）．

又f（-x）=f（x）不恒成立，

∴f（x）为奇函数．

2.数形结合中作图过于粗糙

例10. 当k∈（0，12）时，方程|1-x|=kx的实数解的个数为 ．

错解：作y=|1-x|和y=kx（0

易看出两曲线在x>0时有且仅有两个交点，

∴原方程仅有两个不同的实数解．

错因剖析：实际上考生作图过于粗糙（图一是软件作图截取部分），忽略了正比例函数的增长速度会比幂指数为12的幂函数的增长速度更快，y=kx（0

正解：（方法一）分析函数的变化趋势，精确作出两个函数的图像，可知方程有三个实数解．

（方法二）由|1-x|=kx，得|1-x|=k2x2．

当x∈［0，1）时，原方程可化为x-1=k2x2，Δ=1-4k2，其中k∈（0，12）.

所以方程在x∈［0，1）有一个实数解，同理可验证方程在x∈［1，+∞）有两个实数解，从而原方程共有三个实数解．

类似的易错题还有：（1）函数f（x）=lgx-sinx的零點个数为 个;

（2）函数y=x2的图像与y=2x的图像的交点个数为 个．

针对以上错误类型，在平时的教与学中，应重视基础知识，立足课本，在对比中应用各种函数的性质，对概念定义应“咬文嚼字”，注意其限制条件；重视数学方法的应用，提高作图、识图、用图能力；重视错题的归类整理，考生对于某些易错题往往一错再错，究其原因是没有探究出错的根本原因，因此要重视对错题的归类整理．

从某种意义上说数学就是解题，减少错误也是提高成绩的一种重要方式.特别是函数部分，函数思想、数形结合、转化、分类讨论等数学思想都有涉及.适量训练时必要的，在日常教学中，要减少机械训练的量，并提高不断纠错的质，才能站在更高的角度看问题．

责任编辑徐国坚