高中数学数形结合思想应用综述

高慧明

数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．

数形结合思想在高考试题中主要有以下几个常考点：

（1）集合的运算及Venn图；

（2）函数及其图像；

（3）平面向量

（4）数列通项及求和公式的函数特征及函数图像；

（5）方程（多指二元方程）及方程的曲线；

（6）对于研究距离、角或面积的问题，往往涉及直线与圆、立体几何、圆锥曲线等，利用几何图形或形数转换求解；

（7）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图像求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用．

数形结合思想常用模型：一次、二次函數图像；“对勾函数”应用单调性或基本不等式；三角函数图像和性质；斜率公式；两点间的距离公式（或向量的模、复数的模）；点到直线的距离公式等．

【方法归纳】

1.运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：

（1）等价性原则.在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．

（2）双方性原则.既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．

（3）简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图像时应设法选择动直线与定二次曲线．

2.数形结合思想是解答数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着“奇特功效”，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.具体操作时，应注意以下几点：

（1）准确画出函数图像，注意函数的定义域；

（2）用图像法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图像，由图求解；

（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证．

【应用举例】

应用一：研究图形的形状、位置关系、性质等

1.函数图像与性质应用问题：即通过函数图像来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学，函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的，破解此类题的关键点：

①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图像，只能通过图像的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图像解决问题；

②画出函数图像，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图像；

③数形转化，这个转化实际是借助函数图像将难以解决的数理关系明显化；

④得出结论，通过观察函数图像得出相应的结论．

2.熟练掌握函数图像的变换：由函数图像的变换能较快画出函数图像，应该掌握平移（上下左右平移）、翻折（关于特殊直线翻折）、对称（中心对称和轴对称）等基本转化法与函数解析式的关系．

【例1】函数fx=x2+1sinx在区间-π2，π2的图像大致为（）

A.

B.

C.

D.

【解析】∵fx=x2+1sinx，定义域为R，又f-x=x2sin-x=-x2sin x=-fx，

∴fx为奇函数，图像关于原点对称，可排除BC.

又fπ2=π24+1sinπ2=π24+1>0，可排除A，故选：D．

注：函数图像的识辨可从以下方面入手：

（1）从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置；

（2）从函数的单调性，判断图像的变化趋势；

（3）从函数的奇偶性，判断图像的对称性；

（4）利用函数值考察特征点，排除不合要求的图像；

（5）应用导数研究函数的性质，考察图像升降的快慢、极值点，发现图像差别.利用上述方法排除、筛选选项．

【例2】如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x.将动P到A、B两点距离之和表示为的函数f（x），则y=f（x）的图像大致为（）

【解析】由已知得，当点P在BC边上运动时，即0≤x≤π4时，PA+PB=tan2x+4+tan x；

当点P在CD边上运动时，即π4≤x≤3π4，x≠π2时，

PA+PB=1tanx-12+1=

1tanx+12+1，

当x=π2时，PA+PB=22；

当P点AD在边上运动时，即3π4≤x≤π时，PA+PB=tan2x+4-tan x，从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线x=π2对称，且fπ4>fπ2，且轨迹非线型，故选B．

【例3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为线段A1D1上的点，过点E作垂直于B1D的平面截正方体，其截面图形为M，下列命题中正确的是．

① M在平面ABCD上投影的面积取值范围是12，78；②M的面积最大值为334；③M的周长为定值．

【解析】如图所示，B1D⊥平面A1B1C1，B1D⊥平面ACD1，

①当点E与A1或D1重合时，M为正△A1BC1或正△ACD1，

周长为32，面积为32，在平ABCD面上投影面积为12.

②当点E与A1（D1）不重合时，设D1E=t（0

∴EJ=2t，EF=2（1-t），∴EF+EJ=2（1-t）+2t=2，

同理可得：FG+GH=2，HI+IJ=2，故M的周长为定值32．

M的面积为S1=12×2+2t×62（1-t）+122+2（1-t）×62t=32（-2t2+2t+1），

当时t=12，S1取得最大值334．

M在平面ABCD上投影的面积S2=1-12（1-t）2-12t2=-t2+t+12∈12，34.

由①②知M在平面ABCD上投影的面积取值范围是12，34.

M的面积最大值为334，M的周长为定值32.故答案为：②③.

应用二：构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围

【例4】已知函数f（x）=

x3，x≥0

-x，x<0若函数g（x）=f（x）-kx2-2x（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（）

A.-∞，-12∪（22，+∞）

B.-∞，-12∪（0，22）

C.（-∞，0）∪（0，22）

D.（-∞，0）∪（22，+∞）

【解析】注意到g（0）=0，所以要使g（x）恰有4个零点，只需方程|kx-2|=f（x）|x|恰有3个实根即可，令h（x）=f（x）|x|，即y=|kx-2|与h（x）=f（x）|x|的图像有3个不同交点．

因为h（x）=f（x）x=x2，x>0

1.x<0

当k=0时，此时y=2，如图1，y=2与h（x）=f（x）|x|有2个不同交点，不满足题意；

当k<0时，如图2，此时y=|kx-2|与h（x）=f（x）|x|恒有3个不同交点，满足题意；

当k>0时，如图3，当y=kx-2与y=x2相切时，联立方程得x2-kx+2=0，

令Δ=0得k2-8=0，解得k=22（负值舍去），所以k>22．

综上，k的取值范围为（-∞，0）∪（22，+∞）.故选：D．

图1图2

图3

【例5】已知当0

A.（ln2+1，+∞）

B.（ln2-1，+∞）

C.（12，+∞）

D.（ln2-1，0）

【解析】不等式2ln xx<2a+1-12ax，可看作函数fx=2ln xx，gx=-12ax-4+1，在区间0，2上，fx的图像在gx图像下方.f′x=21-ln xx2，所以fx在0，e上递增，在e，+∞上递减，所以fx在x=e时取得极大值也即是最大值，且x>1时，fx>0.gx图像过点4，1.f2=ln2，f′2=1-ln22，所以过B2，1-ln22的fx的切线方程为y-ln2=1-ln22x-2，点A4，1在切线上，gx也过点A4，1.画出fx，gx在区间0，2上的图像如下图所示，由图可知，-12aln2-1. 故选：B.

【例6】（2022·浙江省桐乡第一中学高二开学考试）若函数f（x）=m-x2+2lnx在1e，e上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为 ．

【解析】令f（x）=m-x2+2ln x=0，则m=x2-2ln x，令g（x）=x2-2ln x，

则由g′（x）=2x-2x=2（x-1）（x+1）x，在1e，1上g′（x）<0，g（x）递减，在1，e上g′（x）>0，g（x）递增.

且［g（x）］min=g（1）=1，g1e=2+1e2，g（e）=e2-2.∵2+1e2<3，e2-2≥5，∴g1e

作出函数g（x）的图像，如下图所示：

所以函数f（x）在1e，e上有两个零点，则实数m的取值范围为1，2+1e2.

应用三：构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系

【例7】函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（）

A.a>0，b>0，c<0

B.a<0，b>0，c>0

C.a<0，b>0，c<0

D.a<0，b<0，c<0

【解析】由f（x）=ax+b（x+c）2及圖像可知，x≠-c，-c>0，则c<0；

当x=0时，f（0）=bc2>0，所以b>0；

当y=0，ax+b=0，所以x=-ba>0，所以a<0．

故a<0，b>0，c<0，选C．

应用四：构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式

【例8】如图，已知两个单位向量OA，OB，且它们的夹角为π3，点C在以O为圆心，1为半径的AB上运动，则CA·CB的最小值为（）

A.32－3

B.0

C.32－32

D.－32

【解析】以O为坐标原点建立如图坐标系，则由已知得B1，0，A12，32．

由点C在以O为圆心，1为半径的AB上运动可设Ccosθ，sinθ，θ∈0，π3．

∴CA·CB=12-cos θ，32-sin θ·（1-cos θ，-sinθ）=cos2θ-32cosθ+sin2θ-32sinθ+12=32-3sinθ+π3.

由θ∈0，π3，知θ+π3∈π3，2π3，

∴sinθ+π3∈32，1，

因此，当sinθ+π3=1时，CA·CB有最小值32-3．

故选：A．

应用五：构建几何模型研究代数问题

在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决幾何问题达到解决代数问题的目的.此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题.破解此类题的关键点：

①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义；

②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题；

③ 得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论．

【例9】已知集合A=x，yx2+y2=4，B=x，yy=2，则集合A∩B中元素的个数为（）

A.3

B.2

C.1

D.0

【解析】因为圆心（0，0）到直线y=2的距离d=2=r，

所以直线y=2与圆x2+y2=4相切，

所以A∩B的元素的个数是1，故选：C．

【例10】已知平面向量，，满足||=2|-|=2|-|=2||=2，则·的取值范围是（）

A.＼[1，2＼]

B.1，92

C.12，2

D.12，92

【解析】由题意||=2，||=1，|-|=|-|=1，设OA=，OB=，OC=.

不妨设C（1，0），如图，则点A在以原点为圆心2为半径的圆O上，点B在以C为圆心，1为半径的圆上，满足|AB|=1，圆C方程是（x-1）2+y2=1．

设B（x，y），则·=（x，y）·（1，0）=x，

当B在圆C上运动时，|AB|min=2-|OB|，

由题意圆O上存在点A，使得|AB|=1，

∴|AB|min=2-|OB|≤1，

∴|OB|≥1，即x2+y2≥1.

由x2+y2=1，（x-1）2+y2=1.

解得x=12，

y=±32.

∴x≥12，

由图可知x≤2.即12≤x≤2．

∴·∈12，2.故选：C．

应用六：构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值等问题

1在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围； 常见的几何结构的代数形式主要有：

①比值——可考虑直线的斜率；

②二元一次式——可考虑直线的截距；

③根式分式——可考虑点到直线的距离；

④根式——可考虑两点间的距离．

2圆锥曲线数形结合法：是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题.破解此类题的关键点：

①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等；

②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解；

③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论．

3破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究.直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种：

①通过数形结合建立相应的关系式；

②通过代数形式转化为二元二次方程组的解 的问题进行讨论．

【例11】已知，，是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为π3，向量满足2-4·+3=0，则-的最小值是（）

A.3-1

B.3+1

C.2

D.2-3

【解析】设=x，y，=1，0，=m，n，则由非零向量与的夹角为π3，得·=·cosπ3，

∴x=12x2+y2，即y=±3x，x>0.

由2-4·+3=0，得m2+n2-4m+3=0，

∴m-22+n2=1，

∴-=x-m2+y-n2表示圆m-22+n2=1上点到射线y=±3x，x>0上点的距离，

∴-的最小值为圆心2，0到射线y=±3x，x>0的距离232=3减去半径1，为3-1.故选：A．

【例12】已知函数f（x）=x3+x，fy2-2y+3+fx2-4x+1≤0，则当y≥1时，yx+1的取值范围是（）

A.14，34

B.14，1

C.1，32-3

D.13，+∞

【解析】由题意可知，f（x）的定义域为-∞，+∞，

由f（x）=x3+x，得f′（x）=3x2+1>0，所以f（x）在R单调递增，

f（-x）=-x3+（-x）=-（x3+x）=-f（x），

所以f（x）为奇函数，

fy2-2y+3+fx2-4x+1≤0有

fy2-2y+3≤-fx2-4x+1=f-x2+4x-1，

∴y2-2y+3≤-x2+4x-1，整理得（x-2）2+（y-1）2≤1，y≥1时，即（x，y）的取值区域如下图阴影部分所示：

∴yx+1表示直线y=k（x+1）在过图中阴影部分的点时斜率k=yx+1，

即问题转化为直线与阴影区域有交点时，k的取值范围，当与半圆相切，k取最大值，

而此时圆心（2，1）到y=k（x+1）的距离d=|3k-1|1+k2=1，得k=34；

当交半圆于右端点（3，1）时，k取最小值为14，所以k的取值范围14，34.故选：A．

应用七：构建方程模型或函数模型，结合其图像研究零点的范围与个数问题

讨论方程的解（或函数零点）的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数．

【例13】已知点P是椭圆x212+y29=1上的任意一点，过点P作圆C：x2+y-12=1的切线，设其中一个切点为M，则PM的取值范围为（）

A.3，4

B.3，15

C.15，4

D.3，23

【解析】设Px，y，则PM2=PC2-MC2=x2+y-12-1=1-y29×12+y-12-1=-13y+32+15，

因为-3≤y≤3，所以3≤PM2≤15，即3≤PM≤15，

故选：B.

【例14】已知fx=ex-x+1，x≤a

-x2+x+2，x>a恰好有三个零点，则实数a的取值范围是 ．

【解析】当x≤-1时，y=ex+x+1，y′=ex+1>0，故在（-∞，-1］上单调递增；

当x>-1时，y=ex-x-1，

由y′=ex-1=0可得x=0，

当-1

当x>0时，y′>0，所以y=ex-x-1在（-1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，且ymin=e0-1=0，

作出函数y=ex-x+1=ex+x+1，x≤1

ex-x-1，x>1（x∈R）的图像，

在同一坐标系内再作出y=-x2+x+2=-x2-x+2，x≤0

-x2+x=2，x>0（x∈R）的图像，

由图像可知要使fx=ex-x+1，x≤a

-x2+x+2，x>a恰好有三个零点，

即函数f（x）的图像与x轴有三个交点， 只需0≤a＜2，

故答案为：［0，2）．

应用八：数形结合，根据不等式恒成立求参数或解不等式

构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图像特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式．

【例15】已知函数f（x）=2x-x-1，则不等式f（x）>0的解集是（）

A.（-1，1）

B.（-∞，-1）∪（1，+∞）

C.（0，1）

D.（-∞，0）∪（1，+∞）

【解析】因為fx=2x-x-1，所以fx>0等价于2x>x+1，在同一直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图像如图.

两函数图像的交点坐标为（0，1），（1，2），不等式2x>x+1的解为x<0或x>1．

所以不等式f（x）>0的解集为：（-∞，0）∪（1，+∞）．

故选：D．

【例16】已知函数fx是定义在-4，0∪0，4上的奇函数，当x∈0，4时，fx的图像如图所示，那么满足不等式fx≥3x-1的x的取值范围是（）

A.-1，-2∪0，1

B.-4，-2∪0，1

C.-4，-2∪2，4

D.-1，0∪2，4

【解析】f（x）为-4，0∪0，4上的奇函数，

所以如图，画出f（x）在［-4，0）的图像，得点（-2，-89）、点（1，2）在f（x）上，

画出y=3x-1的图像，得到其渐近线为y=-1，且在第一象限与f（x）的图像交点为（1，2），

要解不等式f（x）≥3x-1，则结合图像，需f（x）的图像在y=3x-1图像的上方，从而解得：x∈［-4，-2］∪［0，1］.故选：B．

【例17】已知函数fx=x2，x<0

-x2，x≥0若x∈R，fmx2+9f4-3x≤0恒成立，则实数m的取值范围为（）

A.21，+∞

B.13，+∞

C.2716，+∞

D.15，+∞

【解析】因为fx=x2，x<0

-x2，x≥0所以函数图像如图所示.

由函数图像可知函数为定义域R上单调递减的奇函数，当x≥0时fx=-x2，则f3x=-3x2=-9x2=9fx，

当x<0时fx=x2，则f3x=3x2=9x2=9fx，

所以f3x=9fx.

因为x∈R，fmx2+9f4-3x≤0恒成立，即x∈R，fmx2≤-9f4-3x=9f3x-4=f9x-12恒成立，

所以mx2≥9x-12恒成立，即mx2-9x+12≥0恒成立，

当m=0，显然不成立，

当m≠0时，则m>0，

Δ=81-48m≤0，解得m≥2716，即m∈2716，+∞.

故选：C．

相关练习：

1.函数y=4xx2+1的图像大致为（）

A.

B.

C.

D.

2.在△ABC中，∠C=π2，AC=BC=2，M为AC的中点，P在线段AB上，则MP·CP的最小值为．

3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为．

4.斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=．

答案与提示：

1.由函数的解式可得：f-x=-4xx2+1=-fx，则函数fx为奇函数，其图像关于坐标原点对称，选项CD错误；当x=1时，y=41+1=2>0，选项B错误. 故选：A．

2.如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，

则M22，22，C（0，2），设Px，0，-2≤x≤2，

则MP·CP=x-22，-22·x，-2=x-22x+1=x2-22x+1，

当x=24时，MP·CPmin=242-22×24+1=78．

故答案为：78．

3. 因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点

所以VA-NMD1=VD1-AMN=13×12×1×1×2=13

故答案為：13.

4. ∵抛物线的方程为y2=4x，∴抛物线的焦点F坐标为F（1，0）.

又∵直线AB过焦点F且斜率为3，

∴直线AB的方程为：y=3（x-1），代入抛物线方程消去y并化简得3x2-10x+3=0．

解法一：解得x1=13，x2=3，所以：

|AB|=1+k2|x1-x2|=1+3·|3-13|=163.

解法二：Δ=100-36=64>0，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=103，

过A，B分别作准线x=-1的垂线，设垂足分别为C，D，

如图所示．

|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=163．

故答案为：163．

【本文系北京市教育科学“十三五” 规划课题“基于核心 素养的高中数学核心概念课堂教学的反思与重构研究”（编号： CDDB19238） 阶段性研究成果】

责任编辑 徐国坚