小学数学不同版本教材“运算定律”习题难度的比较研究

陶彬 梁宇

【摘要】本文采用鲍建生的习题综合难度模型，从习题的探究、背景、运算、推理、知识点含量五个难度因素入手，对人教版、北师大版教材中“运算定律”模块的习题进行比较研究，从中发现不同版本教材在习题难度设置中的规律及异同，为教师进行习题设计提供建议。

【关键词】小学数学 运算定律 习题难度 教材研究

【中图分类号】G62 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2023）01-0047-04

习题是一门课程或教材编者为学习者复习所学知识，巩固、记忆知识或提高知识运用能力而设计的题目。习题是小学数学教材中重要的教学内容，习题的难度对教师选择教学方法、检验学生知识掌握程度等有重要影响。我国现行小学数学教材遵循“一标多本”政策，遵循的是《义务教育数学课程标准（2011年版）》，“运算定律”模块的习题难度在不同版本教材中有不同的表现。本文以“运算定律”模块的习题为研究对象，基于鲍建生教授的习题综合难度模型，对在全国范围内使用较为广泛的人教版（人民教育出版社出版的简称）、北师大版（北京师范大学出版社出版的简称）教材中的有关习题进行比较研究，分析其难度设计规律，找出其异同点，为教师结合《义务教育数学课程标准（2022年版）》进行核心素养导向的教学改革，在教学中合理选择和设计习题的难度提供参考。

一、研究方法与研究对象

（一）研究方法

本研究使用鲍建生教授提出的习题综合难度模型对人教版和北师大版教材中“运算定律”模块的习题进行量化描述和比较研究。如表1所示，鲍教授的习题综合难度模型涉及习题在探究、背景、运算、推理、知识点含量五个方面的难度因素，每个因素又进一步划分为3—4个不等的水平层级，是研究习题难度时使用较为广泛的一种研究模型。

（二）研究对象

本文以人教版、北师大版教材中“运算定律”模块的习题为研究对象。一般来说，学生完成练习时的思维难度不仅与练习文本的理解难度有关，还与学生自身的学习基础、完成练习的环境、教师的教学方法等有关。本文仅对教材中例题之外的习题文本的难度进行研究，包括人教版教材中的“做一做”“练习五”“练习六”“练习七”“练习八”中的习题，北师大版教材中的“试一试”“练一练”“练习四”中的习题。在统计习题的总数量时，均按第一层级统计：若1个大题中包含多个小题，仍记为1题。

二、研究结果及数据分析

在人教版和北师大版教材中，“运算定律”模块的习题总量存在较大差异：人教版教材中共有46道习题，北师大版教材中仅有29道习题。本文从5个难度因素的角度对两个版本教材中“运算定律”模块的习题进行统计分析，首先对每个难度因素的难度水平进行分类统计，计算每个难度水平占习题总量的比例（保留两位小数），得出五个难度因素的差异，再对每个难度因素的加权平均值进行计算，从而推断出习题的综合难度，结果如表2所示。

从统计结果来看，在“运算定律”模块：两个版本教材的习题在五个难度因素上的难度水平都相对较低，只有少量难度水平较高的习题，而北师大版教材中的习题难度总体高于人教版教材中的习题难度；二者的难度表现既有相同点也有不同点，北师大版教材侧重综合运用的探索性习题，人教版教材侧重巩固练习的迁移性习题。从统计过程来看，我们一共经历了5个难度因素的分类，每次分类都涉及3—4次的难度水平判断。

（一）探究难度因素对比

探究难度因素反映的是习题的思维深度和难度。两个版本教材在“运算定律”习题中，探究因素难度对比的相关统计数据如表3所示。

从总体上看，北师大版教材中的习题探究难度因素在识记、理解、探究三个水平层次上的习题占比相对均衡，而人教版教材中的习题探究难度因素更加注重理解、识记两个水平层次，也就是更加注重基础知识的考察和练习。两个版本教材中的习题在探究难度水平上的占比都相对较低，北师大版有6道题，而人教版的题量仅为1道题。适当增加探究难度水平的习题，有助于培养学生的发散思维，发展学生思维的灵活性，引导学生在思考不同算法之间关系的过程中学会使计算变得简便，从而提高运算效率。因此，使用两个版本教材的教师在日常教学中，除了要教授课本上的习题，都可适当增加一些探究难度水平的习题作为课本练习的补充，以利于引导学生从具体数据的练习上升到对规律的发现与归纳。

两个版本教材中的习题探究难度因素存在较大差异的表现集中在理解水平层次：人教版教材在这个水平层次上的习题占比明显高于北师大版教材，高出27.29%，可见人教版教材的习题提供了扎实的基础知识铺垫，有助于学生构建完整的运算性质知识结构。建议使用北师大版教材的教师在设计习题时要充分考虑不同学生的已有经验，适当补充不同难度水平的题目，更好地促进学生的知识迁移。

（二）背景难度因素对比

背景难度因素会影响学生完成习题的过程是否顺利。不同模块的知识对背景材料的呈现有不同的要求。兩个版本教材在“运算定律”习题中，背景难度因素的相关数据如表4所示。

由表4可知，人教版和北师大版教材中习题背景难度因素的难度水平分配大致相当：都缺乏对科学情境、公共常识难度水平的习题设置，个人生活难度水平和无背景难度水平的习题占更大比重，表现出两个版本教材都更加重视对纵向基础知识的考查与练习。因为运用运算定律进行简便计算是“运算定律”模块的教学目标之一，无背景的难度水平更有利于对学生进行有针对性的计算训练，方便专注于计算量的积累，并通过量变的积累达到发现计算规律的质变的效果。设置个人生活难度水平的习题，有助于学生基于熟悉的生活情景理解习题的内容要求，从而降低对习题的理解难度。设置公共常识和科学情境的背景，则有助于学生在知识面上的横向拓展，拓展学生对习题理解的深度和广度。总之，无论教师如何设置和选择习题的背景，保持动态平衡是教师在教学中需要重视的首要问题。

（三）运算难度因素对比

运算难度因素对习题的整体难度有较大影响。在“运算定律”模块中，两个版本的教材都安排了许多计算的实例，让学生通过运算发现规律，相关难度水平的数据如表5所示。

由表5可知，在运算难度因素方面，数值运算水平的习题占比最高，人教版教材与北师大版教材的占比分别为69.57%和79.31%。大量的数值运算习题，有助于学生进一步理解整数四则运算的意义。

此外，难度水平较高的符号运算习题，无论是简单符号运算还是复杂符号运算，在两个版本教材习题中的占比都很低，人教版教材仅有1题涉及简单符号运算，北师大版教材则完全没有符号运算习题。学生在低年级已经进行过大量的数值运算知识积累，比如加法的验算、连加口算等，已经掌握了运算的基本依据，将简单符号运算水平的习题适当加入练习当中，引导学生以符号或字母的方式对规律进行数学表达，可有效培养学生的符号意识，让学生不断感受符号的简洁性，体会数学语言的魅力。

（四）推理难度因素对比

“运算定律”模块的学习更多体现的是归纳推理的思想，推理难度因素在一定程度上影响学生数学思维水平的发展。两个版本教材关于“运算定律”的习题，在推理难度因素中的难度水平表现如表6所示。

由表6可知，两个版本教材中的习题在推理难度因素上表现出较大差异：北师大版教材无推理水平的习题占比仅为31.03%，而人教版教材相应习题的占比为63.04%，可以看出北师大版教材的推理难度水平稍高，更加注重培养学生的推理意识。

林崇德教授在儿童数概念与运算能力发展的研究中根据推理的范围、步骤、正确性、抽象概括性四项指标对儿童运算归纳推理能力划分出了四个等级，包括算术运算中的直接归纳推理、简单文字运算中的直接归纳推理、算术运算中的间接归纳推理、初步代数式的间接归纳推理，等级越高，意味着运算归纳推理的能力越高。经过对比试验，林教授发现：五年级时能达到以上三级水平的学生占比高达83.3%。两个版本教材都将“运算定律”模块安排在了四年级下册，在这个阶段，能力较强的学生思维水平已经有了质的提升，因此，在“运算定律”模块适时、适当地增加推理难度不仅是必要的，也是可行的。

（五）知识点含量难度因素對比

知识点含量的多少体现了习题综合程度的高低。知识点含量多的习题要求学生能够准确地把握知识点之间的联系，因此，其难度水平也更高。两个版本教材在“运算定律”习题中，知识点含量难度因素的相关数据如表7所示。

由表7可知，在知识点含量难度因素上，两个版本教材大部分习题的难度水平都处于单个知识点水平；知识点含量越多，占比越少。知识点含量难度因素中的以上设置，反映了习题难度逐级递增的特点，符合小学生由易到难、由简到繁的认知规律。

两个版本教材中的习题在知识点含量难度水平上的明显差异在于单个知识点的占比，人教版教材明显高于北师大版教材，二者分别为65.22%和48.28%。人教版教材单个知识点难度水平的习题数量超过习题总量的一半，可见其对习题知识点细分的重视和习题的精细化程度，也可见其更加重视基本知识和基本技能。北师大版教材单个知识和两个知识点难度水平的习题数量分布较为均衡，说明其更加重视学生对知识的综合辨识能力。综上可知，有梯度的习题可以使不同层次的学生在各自能力的基础上都得到最大限度的思维拓展和探究欲望的激发。

（六）综合难度因素对比

根据鲍建生教授的习题综合难度模型，我们对每个难度因素的加权平均值进行了计算，从而推断出习题的综合难度，详细数值如图1所示。

由图1可知：两个版本教材的习题在运算、背景两个难度因素上的加权平均值较为接近，差异最明显的是推理难度因素，知识点含量难度因素、探究难度因素次之。可见北师大版教材比较重视推理能力的训练和综合知识的应用，而人教版教材习题中的加权平均值各因素均低于北师大版教材，所以整体习题难度低于北师大版教材。

综合各难度因素来看，北师大版教材“运算定律”模块习题的探究难度水平和运算难度水平最高，人教版教材的两个难度水平同样处于高位。“运算定律”模块属于“数与代数”领域第二学段的学习内容，两个版本教材在习题难度上对学生运算能力、计算方法等方面都有较高要求，这反映了我国数学教育界一直强调基础知识、基本技能的传统，因此运算水平的习题综合难度值更高。此外，探究难度水平的习题不仅注重计算练习，也注重思维的拓展训练。比如人教版四年级下册第三单元“练习七”中的第5题用乘法分配律购买衣服的问题，衣服和裤子的价格不同，可以用不同的思路算出购买60套衣服的总价。学生在适度开放的习题中不仅可以进一步加深对乘法分配律的认识，也能体验解决问题方法的多样性，培养探究态度和能力，发展创新意识。

从难度水平最低的来看，人教版教材“运算定律”模块习题推理难度因素的难度水平值最低，北师大版教材“运算定律”模块背景难度因素的难度水平值最低，它们和最高难度值之间都有较大差距，由此亦可见两个版本教材习题的五个综合难度因素的状态是不均衡的。

三、思考与建议

（一）把握习题难度，提升思维空间

在探究难度因素中，探究难度水平的习题最能提升学生的思维层次；在知识点含量难度因素中，三个及以上知识点难度水平的习题最能提升学生的综合知识运用能力。当然，这样的“最能”，对学生的已有知识基础和综合知识运用能力的要求也“最高”。教师在教学中若过度使用思考探究类习题和知识点含量过高的习题，对学习基础不牢的普通学生来说，客观上存在较大困难，不利于激发学生的学习热情。与此同时，四年级的学生正处于自信心形成的关键期，难度过高的习题会对他们产生消极影响，阻碍他们从被动学习转向主动学习的进程。因此，教师在习题诸难度因素的难度水平设计上要综合考虑学生的最近发展区，让不同层次的学生都能得到思维的发展，进阶到与自己能力水平相适应的成长等级。

（二）丰富习题背景，拓宽知识视野

从孩童的七巧板到建筑师的摩天大楼，从探索浩瀚宇宙到发现微小粒子，从象棋的得失胜负到金融市场的千变万化，这些事物貌似毫无联系，但其实都离不开数学知识和数学思维的参与，由此可见数学应用范围之广。在小学数学学习过程中，习题不但能帮助学生巩固知识，而且能拓宽学生的视野，比如在题目中适时、适量融入数学史、数学文化、社会公共信息、其他学科背景知识等。与此同时，教师也要避免走向另一个极端，勿使习题过于繁杂。一道好的数学习题，应该能够巧妙地平衡各难度因素的综合难度值，比如在其他难度因素难度值偏低的时候，适当提高背景难度因素的难度值，便会因习题背景更加多元化而有不一样的表现。

（三）关注做题过程，着眼学生发展

在“运算定律”模块中，运算难度因素的综合难度值在两个版本教材中都是最高的，表现为习题的计算量都比较大，学生在完成相应的习题后，不同层次的学生得到的运算结果会有较大差异。此时，教师需要关注学生完成习题的过程，帮助没有得到正确答案的学生分析其出错的原因，同时为顺利完成习题的学生提高运算的难度，适当增加符号运算，发展其符号意识、模型意识和应用意识等数学核心素养。

参考文献

［1］顾梦娜.小学数学教科书“图形与几何”领域习题难度比较研究［D］.上海：上海师范大学，2018.

［2］王建磐，鲍建生.高中数学教材中例题的综合难度的国际比较［J］.全球教育展望，2014，43（8）：101-110.

［3］林崇德.小学儿童数概念与运算能力发展的研究［J］.心理学报，1981（3）：289-298.

作者简介：陶彬（1994— ），广西南宁人，硕士研究生在读，研究方向为小学数学教育；梁宇（1978— ），广西贺州人，教授，硕士研究生导师，研究方向为小学数学教育及教师发展。

（责编 白聪敏）