师范专业认证下地方本科高校复变函数论课程教学改革研究

王日栋

摘 要：复变函数论是數学与应用数学（师范）专业的核心课，其在学生的培养过程中占据重要地位。基于师范认证的标准，目前复变函数论课程教学中存在诸多问题。本文从培养方案中课程体系建设、课程大纲制定、教学目标与手段以及教学实施、教学考核与评价等角度进行论述，对复变函数论课程的教学改革做进一步探索。

关键词：师范专业认证；复变函数论；教学改革

中图分类号：G642  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2023）02-0088-05

1 引言

2017年，教育部颁布并实施了《普通高等学校师范类专业认证实施办法（暂行）》，加强高等教育质量保障[1]。2018年，教育部在《教育部关于实施卓越教师培育计划2.0的意见》中提出师范专业需要改革课程体系[2]，师范专业不仅注重高校的课程，同时也越来越重视实践类的课程以及和中学教学内容的衔接。师范专业认证以“学生中心、产出导向、持续改进”为基本理念，学生中心是要求“以师范生为中心配置教育资源、组织课程和实施教学”，产出导向强调“以师范生的学习效果为导向”，持续改进则注重“对师范类专业教学进行全方位、全过程评价，推动师范类专业人才培养质量的持续提升”[1]。师范专业认证中有8个一级指标，涵盖了学生从入学到毕业整个培养过程。其中的“课程与教学”则是重中之重，为培养卓越师资和人才指明了方向和途径。认证办法的二级指标从课程设置、课程结构、课程内容、课程实施、课程评价等方面进行考查，高校在实施教学过程汇总需要认真研究认证办法，结合自身教学特点确定教学内容、手段，从而达到教书育人的教学效果。作为数学与应用数学专业核心课之一的复变函数论课程，不仅可以培养学生的数学思维和数学意识，提升学生分析解决问题的能力，同时也为后续课程提供理论基础和知识储备。因此，在师范专业认证背景下，如何在教学过程中开展对该课程的教学改革势在必行。基于此，本文从目前教学中存在的主要问题出发，从教学目标、教学方式以及教学评价等方面论述师范专业认证下地方本科高校复变函数论课程教学改革，以期对这门课程的教学提供参考。

2 师范专业认证下数学课程体系的建设

随着中学教育需求的日趋饱和及社会经济发展的多元化，使数学学科类专业培养的学生向研究型、应用型及复合型人才的多元化方向发展。而地方高校受制于自身的教师队伍建设和资金短缺等问题，数学学科专业在课程内容和课程设置存在重知识、轻素质，重专业、轻基础，重理论、轻实践等问题，不能满足数学科学类专业培养应用复合型人才的需求，急需构建具有区域差异与高校特色的课程体系。数学学科课程体系也存在这样的问题，需要构建与优化课程体系与课程设置。复变函数论课程作为数学学科课程体系中的一环，其改革与课程体系的设置关系极大。

2.1 师范专业认证前课程体系

在进行示范专业认证前，数学与应用数学专业的课程设置从学分分配、教育教学理论设置、教育实践等方面均没有达到认证标准。数学与应用数学专业在课程设置上主要分为三大部分，即通识教育课程、数学专业课程和教师教育类课程[3]。在引入师范专业认证前，专业理论课程学分为71分，占比44.3%，教师教育类理论课程16分，占比为10.0%，各部分的学分比例没有达到师范认证标准。教师教育类课程主要是教育学、教育心理学、学科教法、中学数学解题研究等，缺少人文素养与科学技术类课程，不符合师范认证标准。同时，在教育实践环节只设置了教育实习（12周），没有教育见习与教育研习两个环节。教育见习是开端，教育实习是关键，教育研习是总结反思。从整体而言，教育实践的三个环节不完整、不规范，不符合师范类的培养目标和认证标准。总之，在进行专业认证前的课程体系建设是不规范、不合理的，需要加以改进和提升。

2.2 引入专业认证标准后的课程体系

按照师范认证标准重新修订的培养方案，减少了不必要的数学专业课程，增加教师教育类课程占比，提升教育实践的地位。专业类课程学分为占比提升为87分，占比提升到了52.4，%，教师教育类课程的学分提升到了21分，占比为12.65%。同时增加了现代教育技术、教师书写技能训练、班级管理及育人实践等人文素养与科学技术类课程。在教育实践上增加了教育见习和教育研习两个环节，各设置了两周时间，同时将教育实习时间延长至16周，不仅完善了教育实践的三个环节，在开设时间上也更加合理，完全符合认证标准。

3 复变函数论课程教学中存在的问题

3.1 课程教学目标和教学内容中存在的问题

地方本科高校的师范类专业主要是为服务地方，为地方培养基础教育教师队伍为主要目标。但当前地方高校数学与应用数学专业的复变函数论的教学依旧重视理论知识的讲授，割裂了课程教学与实践之间的联系，更多将精力放在学生学术型研究生的基础培养。这就导致了以学术内容为主，没有突出教师教育方面的培训，与师范专业认证的“产出导向”不符，因此亟待调整。

3.2 课堂教学中存在的问题

师范专业认证的二级指标中明确提出“选用优秀教材，吸收学科前沿知识，引入课程改革和教育研究最新成果和优秀中学教育教学案例，并结合师范生学习状况及时更新、完善课程内容。”目前，复变函数教材都是以讲授学术内容为主，侧重于基础理论知识的讲解与联系，缺少了学科前沿知识、课程改革最新成果以及中学教学案例。教师在讲授过程中以教材为主，缺少相关知识内容的引入，甚至存在一份课件多年不更新的状况。同时，作为一门专业的数学课程，课程思政元素的挖掘非常少，教师在教学中只是讲授课程的相关理论。教师的教学过程形式单一，重视理论推导，缺少设计演示、试验等手段，学生是被动的参与者与接受者，加之课程难度大，学生的学习兴趣不高。与师范专业认证中的“学生中心”理念相悖。再者，由于复变函数这门课程与数学分析、微积分等课程联系密切，这就要求学生在知识体系上的连贯性。在学情分析方面，需要教师进行细致深入地了解，才能有的放矢地进行课堂教学。

3.3 课程考核与评价形式中存在的问题

在教与学的过程中及时进行总结，科学地进行教学考核与评价，对提高教学质量，提高教师的教学水平，培养学生的数学能力无疑是至关重要的。目前，复变函数论课程教学中的考核与评价形式老套，缺少行之有效的评价体系。评价方式比较单一，任课教师对学生的课堂表现、平时作业等方面关注度较低，更多的是根据期中、期末考试成绩对学生进行评价，从而使得整个考核评价偏向于一两次卷面考试，忽视了学习的过程，考核与评价体系中不注重学习过程考核评价及形式创新性考核评价，导致学生平时学习兴趣不浓，期末临时突击现象明显。再一点，复变函数虽然属于侧重讲授数学理论知识的基础性课程，但它又源于实践，是一门具有系统理论体系的学科，且作为强大的工具被广泛应用在自动化控制、理论物理、弹性力学、流体力学、空气动力学、语音识别与合成、信号分析与图像处理、地震勘测、通信与控制及电子工程等众多自然科学领域[4]。基于此，考核与评价体系中如果侧重卷面考试就会导致考核内容偏向理论知识，实践内容缺乏。这雖然能反映学生对相关理论知识的掌握，但限制了学生对理论与实践结合的思维，阻碍了学生求解复杂工程问题的好奇心，也无法与师范认证中的以“学生中心、产出导向、持续改进”的基本理念相符。

4 复变函数论课程教学内容的改革

4.1 修订课程教学目标，精选教学内容

在师范专业认证的二级指标中明确要求，要确定学生毕业后5年左右的目标，专业基础和专业核心类课程务必要为此目标服务。通过调研学校学生目前的实际水平和未来学习与工作的需要，根据学校应用型人才培养要求和专业特点，按照该课程的特点及在中学教学中的地位，需要从核心素养、综合育人、学生发展等多方面进行调整。重新修订的课程教学目标：（1）能够系统地掌握复变函数的基础知识。理解复变函数的概念和基本性质、解析函数的概念、复变函数积分的概念以及复变函数幂级数的概念，掌握复数的表示方法及其运算、复变函数可导与解析的充要条件，初等解析函数，柯西积分公式、高阶导数公式，解析函数与调和函数的关系，幂级数收敛半径的计算和泰勒级数展开。通过对本课程的学习，使学生掌握系统的函数论基础理论、知识和思维方法，为后续课程“实变函数”和“泛函分析”的学习奠定必要的数学基础。（2）通过复变函数的学习培养学生严谨的逻辑思维和推理论证能力。提高学生理解、分析和运用复分析知识思考看待问题的能力，为其他科目的学习奠定扎实的理论基础。（3）在学习过程中注重培养学生观察体会与“数学分析”等先修课程间的区别与联系。本课程是第四学期开设的专业核心课，通过提出问题引导学生发现其与后续课程的关系，达到提升学生的分析学素养的目的。

目前的教材内容涵盖了大纲规定的教学内容，但限于课时、教学大纲以及教学内容深度、广度以及学生的接受能力，故在修订教学目标基础上，进行教学内容的精选。主要内容包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、幂级数与洛朗级数等模块。其中复数与复变函数是现行高中教材中必修的内容，因此需要精讲精练；解析函数、复函数的积分对实函数积分有助于巩固提高，同时又是后续课程的基础，需要加强学生的训练。这些内容既是复变函数中最基本、最常见的内容，同时也是学生将来学习和工作的基础，符合应用型人才培养要求和专业特点。

4.2 深入挖掘课程思政元素

所谓“课程门门有思政，教师人人讲育人”[5]，围绕社会主义核心价值观、劳动教育和求真精神等充分挖掘复变函数论课程中的课程思政元素。课程思政不是空谈，要依附于教学内容。因此，将课程思政与教学内容相结合，降低课堂的抽象性，提高课堂的趣味性，使课程的内容丰富且充满活力，延伸复变函数论课程的理论价值，是深入挖掘复变函数论课程思政元素的路径之一。深入挖掘复变函数论课程思政元素能培养学生的科学精神、创新精神、辩证唯物主义世界观以及家国情怀等，引导学生树立爱国爱人民思想，树立团结协作的集体主义观念，提升其文化素养、道德修养、职业素养等。

（1）复变函数论课程思政中的文化传承元素。文化传承元素可以让学生真切感受到复变函数论课程的历代传承，引导学生树立持之以恒的精神以及对复变函数论课程的敬畏之情。这部分思政元素可以从复变函数的发展历程以及历代数学家的不懈努力中提炼。如在讲述正式课程之前，教师在绪论部分可以先简单阐述复变函数的发展历程，介绍数学大师，如法国数学家柯西、德国数学家黎曼和魏儿斯特拉斯等。通过介绍文化传承以及科学家在复变函数这一领域中做出的贡献，引导学生树立不畏艰险、勇于进取的科学精神以及追求真理的科学历史观。

（2）复变函数论课程中的人生价值观。例如在讲授柯西积分公式的过程中，首先提出问题：如果我们测得地球表面各点的温度，能否测得地心的温度？如何测？问题可归结为对于封闭区域，能否用边界值刻画内部值？从而引出要讲的内容柯西积分公式。柯西积分公式是数学中复分析的一个重要结论。例如思政元素的融入：柯西积分公式是一把钥匙，他开启了许多方法与定理。利用边界值确定内部值，体现了哲学上的局部反映整体的特性。反映了复变函数这门课程的“见微知著”的特性。人生的很多过程也是如此，可以说人的一生常常会出现“一点”决定“一线”甚至“一面”。

（3）复变函数论课程中的社会观。通过数的发展，如从自然数到整数到有理数到无理数到实数到复数，引导学生进行思考：是不是学习阶段越高，得到的结论就越完善？我们的成长阶段就像数的发展一样，一层接一层，一个阶段接着一个阶段，从这个阶段进入下一个阶段，都需要在上一个阶段有良好的积累。对于大学生来说，只有在自己所处的阶段上刻苦学习，才能在今后的学术进修以及工作上得心应手，也能为实现中华民族伟大复兴的中国梦做出应有的贡献。

深入挖掘课程思政元素，应该注意以下几点：首先，思政元素要与学生的心理相适应，能让学生真正体会其中所蕴含的思政元素；其次，思政元素的代入方式要符合学生的认知特点，要从学生本位出发，采用学生乐于接受的方式进行，有自然代入感，无形地融入课程，自然地加入课堂，在不知不觉中感化学生，而不是强行代入，否则可能适得其反。最后，教师也要根据不同的情形改变教学。教师可以把深刻的数学思想、枯燥的数学例题解答循循善诱地转化为生动的案例讲授给学生，也可以让学生自己去搜集相关数学家事迹，让学生自己讲出来。

4.3 注重与中学数学教学与数学分析之间的联系

（1）注重与中学数学教学之间的联系。高校教师在教学过程中注重的是课程本身的内容，忽视与中学之间的联系。在师范认证的背景下，高校师范专业的教学应以遵循认证标准中的“学生中心、产出导向、持续改进”的理念。这就要求高校教师在教学过程中应根据中学数学教材的调整不断修正复变函数论课程的教学内容，使之与高中教学的内容相关联。如在讲授复数的概念与计算的时候，可以类比中学的因式计算，让同学们能够快速理解复数的计算。

（2）注重与数学分析之间的联系。若复数的虚部等于零时就变为实数了，实数可以看成是复数的特例。因此在教学中要有意识地将函数在复数域与实数域内的定义、定理、公式等进行对比。事实上，不仅在实数域内的函数定义、极限、连续、导数、微分、积分以及级数等都可以类推到复数域，这些思想和方法也能类推到复数域，如复积分的参数积分法，就完全类推了第一类曲线积分中的参数积分法。当然，也要注意复数与实数之间存在的不同之处，如在实数域内成立的不等式关系在复数域却不一定成立，如复数的大小关系、正余弦函数的模不再小于等于1等等。

4.4 教学方式的调整

复变函数论课程内容的改革方面，教学方式的调整是其中重要的一个环节，笔者结合自己的实践经验，对照师范专业认证的基本理念和目标，对教学方式进行了整理。

（1）建设教学案例库。“学生中心”这一理念要在教学全程中体现。首先需要更新教学内容，丰富教学实例。结合学术前沿成果，在现有的教材内容上增加相关的科学研究内容，建设教学案例库，随时调整、增加优秀教学案例。如在讲授复数概念时指出其产生背景，其在发展过程中对科技发展的推动作用。利用MATLAB软件制作复变函数曲线、图像，并将其与实函数的图像做对比。采用类比思想、数形结合的方式对初等函数的多值性及复变函数多值性对比，展示傅里叶变换在解决实际问题中的有效应用。

（2）实施多种教学方式。教学方式多样化是师范专业认证下地方本科高校复变函数论课程教学改革的重点，作为教师来说，应该调整教学手段，增加多种教学方式，强化线上线下混合教学模式。

线上可以采用超星学习通等教学平台，充分利用这些教学平台。教师通过录制视频、上传视频及本课程相关的资料，建立立体化资源和助学模块，发布相关知识点以及主题讨论等，学生通过课前预习、观看视频、在线讨论答疑、课堂练习、提交作业等的学习过程，促进师生之间、学生之间进行资源共享、问题交流和协作学习，激发学生学习兴趣。也可以建立QQ学习群或者微信群，将相关知识点或问题转发到群里，引导学生进行自学或是讨论，教师随时可以参加，既能拉近与学生的距离，也对他们进行无形地引导。利用各种在线交流平台与学生交流，可以实时掌握学生的学习动态。

在线下教学的时采用多样的教学方法。如在讲授复变函数极限概念时，可采用“发现式”教学法，引导学生发现知识规律；讲授解析函数的判定时，采用“探究式”教学法，引导学生总结知识规律；讲授柯西积分公式的应用时，采用“讨论式”教学法，倡导学生利用知识规律；讲授复函数项级数时，采用“类比式”教学法，启发学生归纳知识规律等。教师在教学观念与风格上应注重调动学生自主学习积极性，采取“启发—探索—精讲—多练—归纳”五段式教学，让教与学形成良性的互动，体现知识传授与能力培养相结合、模仿继承与创新发展相结合的教学模式。切实改变“满堂灌，填鸭式”的教学方法，让学生学会主动听课，真正参与到教学中来。

教师可以根据教学内容，选用不同的教学方式。比如在复数这一问题上，由于中学阶段对复数的概念和计算方法已经有相关知识基础，因此可以采用线上教学资源和线上辅导的方式进行。将线上优秀资源推送给学生，学生自学之后，根据学生的反馈意见，教师再进行有针对性的讲解和辅导。

（3）有效布置课后作业。课后作业是检测学生学习层次和达标的一个重要标准，因此，在布置课后作业时要充分考虑到学生的认知能力差别和自主学习能力差别，进行分层次的课后任务布置。这一形式的作业可以采用闯关式，即设置不同关卡的任务作业，不同层次的学生可以根据自己的情况进行作业的闯关，这种形式既能因材施教，同时也能考查出学生的不同水平，另外，这种具有挑战性的作业也可以激发学生学习的兴趣以及好胜心，引导引导学生克服困难自主解决问题。

另外，小组合作式作业也是课后作业的一种很好的模式。可以选取一名组长，由组长带领组员进行交流和讨论，共同完成作业。这一作业形式能够增强学生的团队协作能力和人际交往能力，正好可以对标师范专业认证的理念和指标。其余诸如分组讨论、主题学习等等，都可以作为课后作业，作为学生进行知识巩固和启发的重要作业形式。

5 复变函数论课程考核、评价方式的调整

师范专业认证的理念和指标下，复变函数论课程考核、评价方式需要改变以往以卷面考核为主的单一考核模式，丰富考核形式和考核内容，这样才能对标师范认证相应的评价指标，检验学生的自主学习水平以及独立探索问题的能力。

首先，任课教师需要更新考核和评价观念，改变角色定位。教师不再是单纯的传授知识，更应该是做好学生的人生引路人。重视对学生的形成性评价，增加形成性评价的内容及比例，凸显教学过程的重要性，逐步改变轻形成性评价、重终结性评价的现状。其次，构建多元化考核、评价体系。教学考核评价机制可以采用形成性评价和总结性评价、线上评价与线下评价、自我评价与外部评价相结合的方式进行。可以适当提高形成性评价的比例，这样可以更加注重教学过程中的每一个环节，比如课堂交流与提问、课程汇报、小组讨论，章节测试和课后作业等，使得评价内容更加全面。可以针对学生线上自主学习与线下课堂参与度进行评价，也可以建立班级互评小组，通过学生之间互评的方式，调动班级学生对各自学习效果进行自评与互评，等等，总之，评价体系一定要多元化才能达到评价最终的目的。再者，调整考核、评价方式。多数直播平台，比如、学习通、钉钉、腾讯会议等都有签到、测试、回答问题、作业提交等数据统计功能，可以详细记录学生的学习过程，帮助教师收集数据，为教学提供参考，因此评价方式的侧重点可以由教师评价转向系统评价，这样可以更客观和精细。注重学习过程的考核，可以使学习评价机制更合理，而且有助于督促学生自主学习，有利于线上教学的实施。最后结合形成性成绩和总结性成绩按权重得到最终成绩。同时也可以采用访谈法、观察法、问卷调查法等方法，为每一位学生建立学生学习档案袋，以此，对学生进行纵向与横向的对比评价。

综上所述，在日益重视和中学的教学内容衔接以及实践类的课程背景下，将“学生中心、产出导向、持续改进”的基本理念深入到复变函数论课程教学之中，從课程设置、课程结构、课程内容、课程实施、课程考核与评价等方面进行改革与探索，从而实现培养学生的数学思维和数学意识，提升学生分析解决问题的能力，同时也为后续一些课程提供理论基础和知识储备。

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参考文献：

〔1〕中华人民共和国教育部.普通高等学校师范类专业认证实施办法（暂行）[EB/OL].http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A10/s7011/201711/t20 171106_318535.html，2017-10-26.

〔2〕中华人民共和国教育部.教育部关于实施卓越教师培养计划2.0的意见[EB/OL].http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A10/s7011/201810/t2018101 0_350998.html.

〔3〕王磊，刘娟，崔倩，等.师范专业认证背景下数学与应用数学（师范）专业教师教育课程对比研究[J].湖南师范大学自然科学学报，2020，11（06）：87-92.

〔4〕史秀波，张琼芬，林亮.复变函数与积分变换教学改革探讨[J].教育教学论坛，2012，4（57）：207-209.

〔5〕中国教育报．课程门门讲思政，教师人人讲育人[Ｎ]．2021-02-19（01）.

收稿日期：2022-10-05

基金项目：赤峰学院2021年度应用型示范课程建设项目（SFK20210905）