基于改进SEIR模型的新冠肺炎疫情分析与预测

刘聘 董庆来

摘 要：针对新型冠状病毒的潜伏期较长，基于每日发布的新冠疫情数据集，在经典SEIR （Susceptible-Exposed-Infected-Recovered）模型的基础上，考虑了隐性传播人群，并且将确诊人群分为两类（一类感染者具有传染能力；一类感染者由于处于隔离期间，其感染能力可忽略不计）， 构建了基于改进SEIR的新冠肺炎传播动力学模型。以2021年12月15日到2022年1月13日的西安市疫情数据为依据，拟合得到了改进SEIR模型的动力学参数，对西安市COVID-19疫情进行预测和评估。结果表明，基于改进SEIR传染病动力学模型对疫情的理论估计与西安市疫情的实际情况较为符合，数据可视化和医学隔离等措施对抑制疫情大面积传播有重要作用。

关键词：新冠肺炎疫情；改进SEIR模型；参数估计；预测；西安市疫情

中图分类号：O29; N945.12

文献标志码：A

在全球抗击新冠肺炎疫情的过程中，相关科研人员对疫情传播及其发展趋势的分析和预测进行了大量的研究。用于描述疫情传播的模型主要包括仓室模型、一般增长模型、概率分布模型、元胞自动机模型以及人工神经网络模型等［1］。仓室模型是描述新冠肺炎疫情传播的有效工具，主要包括SI模型、SIR模型、SEIR模型等。与SIR模型相比，SEIR模型能有效刻画潜伏状态（E）对疫情传播的影响。BONGOLAN等［2］建立了一种考虑年龄分层和隔离影响的SEIR模型。周文等［3］在经典SEIR模型基础上着重研究了现有疫情传播模型的局限性，并提出一种改进思路。WINTACHAI等［4］将疫苗接种率、预防性疫苗和治疗性疫苗的有效性作为SEIR模型的主要参数进行分析。SAIKIA等［5］建立了考虑无症状传播率、时间依赖性潜伏期和时间依赖性传播率的SEIR模型。须成杰等［6］采用经典的SEIR模型模拟疫情传播过程，合理地预测了疫情确诊人数和疫情拐点。邵俊杰等［7］使用经典SEIR模型对新冠肺炎疫情在中国山东省和韩国两地的传播动力学特征开展了回溯分析，重点探讨了在疫情早期采取严格、快速的物理疏离和保持高效的医疗救治对阻断新冠肺炎疫情传播的积极意义。除了应用经典SEIR模型外，在模型中考虑现有人群分类和引入其他人群也是刻画新冠肺炎病毒传播潜伏期的有效方法。ZHANG［8］提出了一种改进的SEIR模型，考虑当地医疗系统的能力和可能的干预技术来模拟新冠肺炎疫情。DAS等［9］分析了一个考虑无症状携带者的SEIR模型，无症状携带者被认为是在新冠肺炎疫情传播过程中具有重要作用的人群。陈兴志等［10］建立了一个将确诊人群分成已收治和未收治两类人群的SEIR流行病模型，对武汉封城前后两个阶段疫情的发展趋势进行数值模拟和比较分析。于振华等［11］提出一种新的新冠肺炎传播非线性SEIR动力学模型，考虑到疫情中采取保护措施的人群，并将其作为低危群体加入到模型中。LI等［12］分析了温州市疫情的发展特征，并采用3种离散方式修正SEIR模型。此外，CHUNG等［13］建立一个基于多重网络的SEIR模型来研究新加坡新冠肺炎疫情的爆发。KUMAR等［14］提出一个扩展的SEIR模型，基于美国和欧洲7个最大国家的新冠肺炎病例的每日数据，通过调查感染脆弱性分层的影响和预防感染传播的措施以预测可能的大流行动态。

本文基于以上背景，针对2021年年末西安市新冠肺炎疫情，在经典SEIR模型的基础上考虑隐性传播者和两类确诊人群，建立了改进SEIR模型来分析和预测新冠肺炎疫情的发展。根据每日公开发布的西安市确诊数据，模拟疫情传播过程，并合理地预测疫情发展趋势、现有确诊人数和疫情拐点，从而为疫情防控工作提供有效的参考信息，具有实际应用价值。

1 基本假设

SEIR模型是一个经典的传染病动力学模型，由于其能够有效合理地预测传染病的传播和扩散趋势，常被用于描述某一地区的传染病传播过程。本文改进SEIR模型的基本假设包括：

1）不考慮疫情区域人口的迁入、迁出、出生和死亡，即假设总人口是一个常数。

2）治愈后的个体对新冠肺炎病毒具有免疫能力，即复阳的机率可以忽略不计。

3）传播区域内所有人口分为四大类：未感染者，即易感人群，与感染者接触后就有一定概率被感染；可能感染者，分为两类，隐性人群（可能是病毒携带者但未被隔离的人群）和隔离人群（被管控隔离的人群）；已感染者，分为两类，一般感染人群和其他感染人群；移出者，因治愈或死亡退出传染病系统的人群。

4）人群分为易感人群（S）、隔离人群（E）、一般感染人群（I1）、其他感染人群（I2）、退出人群（R）和隐性人群（Y）。这几类人群在某一天的数量分别记作S（t），E（t），I1（t），I2（t），R（t），Y（t）。

5）确诊人群在核酸检测阳性后均能得到及时救治，且I1和I2的治愈率相同。

6）考虑一般感染人群的影响和严格的隔离管控措施两方面因素，假设隐性人群具有传染性，隔离人群不具有传染性。

2 模型构建

2.1 基于SEIR模型建立微分方程组

借鉴经典的SEIR模型，对封控管理后的陕西省西安市2021年年末新冠肺炎疫情传播进行分析和预测，将人群分为易感人群（S）、隔离人群（E）、感染人群（I）和退出人群（R），在此基础上，模型中加入隐性人群（Y），并且将感染人群分为一般感染人群（I1）和其他感染人群（I2），所述模型的新冠肺炎疫情传播示意图如图1所示。

其中：β1、β2分别为易感人群S与一般感染人群I1接触后，转变为隐性人群Y或隔离人群E的概率；γ1为隐性人群Y确诊为一般感染人群I1的概率；γ2为隔离人群E确诊为其他感染人群I2的概率；δ为一般感染人群I1和其他感染人群I2的治愈率。改进SEIR模型的微分方程组如下：

dS（t）dt=－β1S（t）I1（t）－β2S（t）I1（t）

dY（t）dt=β1S（t）I1（t）－γ1Y（t）

dE（t）dt=β2S（t）I1（t）－γ2E（t）

dI1（t）dt=γ1Y（t）－δI1（t）

dI2（t）dt=γ2E（t）－δI2（t）

dR（t）dt=δI1（t）+δI2（t） （1）

2.2 数据选取及可视化

2021年12月9日，陕西省西安市报告1例本土确诊新冠肺炎病例，12月23日西安市实行封控措施。假设在此期间西安市人口总数保持不变，以2020年常住人口计，约为1 300万。我国此阶段主要流行的新冠病毒为德尔塔病毒，对陕西省西安市2021年12月15日（t=1）到2022年1月13日（t=30）的疫情数据进行分析，得到西安市感染人群数量（包括累计确诊、累计治愈和累计无症状人群）趋势，如图2所示。

2.3 模型参数赋值

利用Python软件对所述模型进行数值模拟，并结合相关资料［10］，给出相关参数的具体取值。模型的初始值设定参考2021年12月15日西安市公布官方数据，对部分参数进行了合理的估值［15］，改进SEIR模型的参数设置及初始值设定见表1和表2。德尔塔病毒的平均潜伏期为4.4 d，感染者的平均治愈时间为1～2周。假设隔离人群和隐性人群每天早上8点做1次核酸检测，若核酸检测结果异常，核酸检测最快3～4 h出检测报告，隐性人群平均需要做3次核酸检测进行确诊，隔离人群平均需要做2次核酸检测进行确诊。

3 模型预测与评估

利用Python软件完成所述改进SEIR模型的构建，并对西安市现有确诊人群数量进行预测以及对相关参数进行灵敏度分析。

3.1 模型预测

由于西安市本轮疫情的无症状感染总人数为8人（可忽略不计），因此假设感染人数为本土确诊人数。改进SEIR模型对西安市现有确诊人群数量预测结果如图3所示。由图3可以看出：模型拟合曲线与实际数据的吻合程度较好，以2021年12月15日为初始时间，第10天至第20天现有确诊人数增幅较大，这是因为政府加大了核酸检测力度，更有效地筛查核酸异常人员并隔离；第20天现有确诊人数达到峰值1 891人，大致在第80天左右清零，即西安市本轮疫情现有确诊人数将在2022年1月3日达到峰值，在3月4日左右清零，这是因为德尔塔毒株的传染性较强，但西安市本轮疫情于2022年1月4日已实现社会面清零，因此实际全面清零时间早于模型预测时间。

3.2 灵敏度分析

对治愈率δ进行灵敏度分析。以2021年12月15日为初始时间，不同的δ取值下西安市现有确诊人数对比如图4所示。若取δ=0.142 857， 即平均治愈周期为7 d，则现有确诊人数将于第15日出现峰值，峰值为1 160人；若取δ=0.095 238， 即平均治愈周期为10.5 d，则现有确诊人数将于第20日出现峰值，峰值为1 891人；若取δ=0.071 429， 即平均治愈周期为14 d，则现有确诊人数将于第24日出现峰值，峰值为2 635人。这是因为δ表示感染人群的治愈率，平均治愈时间越长，治愈率就越小，所以随着平均治愈时间的增长，现有确诊人数也会不断增长，导致现有确诊人数出现峰值的时间越晚，并且全面清零时间也越晚。因此，科学有效的医疗救治对抑制新冠疫情传播具有重要作用。

此外，对确诊率γ进行灵敏度分析，以其他确诊人群的确诊率γ2为例。以2021年12月15日为初始时间，不同的γ2取值下西安市现有确诊人数对比如图5所示。若取γ2=0.370 370，则现有确诊人数将于第18日出现峰值，峰值为1 977人；若取γ2=0.212 766，则现有确诊人数将于第20日出现峰值，峰值为1 891人；若取γ2=0.149 254，则现有确诊人数将于第22日出現峰值，峰值为1 793人。这是因为γ2表示其他确诊人群的确诊率，核酸筛查等措施的力度越大，感染者能及时确诊并得到有效的治疗，从而确诊人群数量出现峰值的时间越早，并且全面清零时间也越早。

3.3 模型验证

此外，以2022年3月24日至4月22日的上海市疫情数据为例，验证所述模型的普适性，上海市感染人群数量（包括累计确诊、累计治愈和累计无症状人群）趋势见图6。其中，考虑上海市本轮疫情中的无症状感染者较多，且每天都有无症状感染病例转为本土确诊病例，因此，本文粗略假设感染人数为无症状感染人数和本土确诊人数之和，从而进行感染人数的预测；考虑参数灵敏度分析与上文类似，因此，下文仅展示模型预测结果。

改进SEIR模型对上海市现有感染人群数量进行预测的结果，如图7所示。模型拟合曲线与实际数据的吻合程度较好，结果表明：以2022年3月24日为初始时间，第10天至第30天现有感染人数增幅较大，这是因为政府在组织核酸检测的基础上，实行抗原自测措施，更有效地筛查核酸异常人员并隔离；现有感染人数在第33天达到峰值504 638人，由于奥密克戎病毒的传染性更强，上海市的人口密度高，以及各地医疗增援等影响因素，本文所设固定的参数取值具有一定的局限性，因此，实际全面清零时间应更早于模型预测时间。

4 结论与展望

4.1 结论

本文考虑隐性人群、一般感染人群和其他感染人群以及大数据筛查、医学隔离等隔离措施的效果，构建了改进的新冠肺炎传播动力学模型（改进SEIR模型）。根据2021年年末西安新冠疫情传播数据，对模型进行参数估计，并对西安疫情发展趋势进行预测。模型理论分析表明，数据可视化和医学隔离等防控措施对抑制疫情大面积传播有重要作用。基于改进SEIR传染病动力学模型可用于COVID-19传播行为分析，对于疫情防控具有实用价值。

4.2 展望

考虑疫情传播情况的复杂性会导致模型拟合度下降，因此，在未来的工作中主要考虑从参数取值、公式迭代和时滞模型3个方面对所述模型进行优化。

1）运用差分递推法［16］对模型部分参数进行优化。

2）将式（1）转化为迭代形式并表示如下：

S（t）=S（t－1）－β1S（t－1）I1（t－1）－

β2S（t－1）I1（t－1）

Y（t）=Y（t－1）+β1S（t－1）I1（t－1）－

γ1Y（t－1）

E（t）=E（t－1）+β2S（t－1）I1（t－1）－

γ2E（t－1）

I1（t）=I1（t－1）+γ1Y（t－1）－δI1（t－1）

I2（t）=I2（t－1）+γ2E（t－1）－δI2（t－1）

R（t）=R（t－1）+δI1（t－1）+δI2（t－1）

3）考虑新冠病毒具有不同的变异程度和潜伏期，在原有模型的基础上，考虑建立带有时滞的动力学模型。

参考文献：

[1]余锦芬， 宋玉凯， 费菲， 等. 基于机器学习和动力学模型的湖北省新型冠状病毒肺炎疫情分析［J］. 生物医学工程研究， 2020， 39（3）： 294-299.

［2］ BONGOLAN V P， MINOZA J M A， DE CASTRO R， et al. Age-stratified infection probabilities combined with a quarantine-modified model for COVID-19 needs assessments： model development study［J］. Journal of Medical Internet Research， 2021， 23（5）： e19544.1-e19544.6.

［3］ 周文， 范玲瑜， 吳涛， 等. 基于SEIR模型改进的疫情传播模型的研究与验证［J］. 火力与指挥控制， 2020， 45（10）： 78-82， 89.

［4］ WINTACHAI P， PRATHOM K. Stability analysis of SEIR model related to efficiency of vaccines for COVID-19 situation［J］. Heliyon， 2021， 7（4）： e06812.1-e06812.7.

［5］ SAIKIA D， BORA K， BORA M P. COVID-19 outbreak in India： an SEIR model-based analysis［J］. Nonlinear Dynamics， 2021， 104： 4727-4751.

［6］ 须成杰， 覃开舟. 基于SEIR模型的新型冠状病毒肺炎疫情分析［J］. 计算机应用与软件， 2021， 38（12）： 87-90.

［7］ 邵俊杰， 禹世雄， 高婧婧， 等. 基于SEIR模型的中国山东省与韩国COVID-19疫情早期传播特征比较分析［J］. 华中师范大学学报（自然科学版）， 2020， 54（6）： 1072-1077.

［8］ ZHANG C. Supporting decision-making for COVID-19 outbreaks with the modified SEIR model［J］. IAENG International Journal of Computer Science， 2021， 48（1）： 86-95.

［9］ DAS A， DHAR A， GOYAL S， et al. COVID-19： analytic results for a modified SEIR model and comparison of different intervention strategies［J］. Chaos， Solitons & Fractals， 2021， 144： 110595.1-110595.13.

［10］陈兴志， 田宝单， 王代文， 等. 基于SEIR模型的COVID-19疫情防控效果评估和预测［J］. 应用数学和力学， 2021， 42（2）： 199-211.

［11］于振华， 黄山阁， 杨波， 等. SLEIR新冠肺炎传播动力学模型构建与预测［J/OL］. 西安交通大学学报， （2022-01-04）［2022-03-10］. https：//kns.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20220104.1208.002.html .

［12］LI W N， GONG J H， ZHOU J P， et al. An evaluation of COVID-19 transmission control in Wenzhou using a modified SEIR model［J］. Epidemiology and Infection， 2021， 149： e2.1-e2.12.

［13］CHUNG N N， CHEW L Y. Modelling Singapore COVID-19 pandemic with a SEIR multiplex network model［J］. Scientific Reports， 2021， 11： 10122.1-10122.9.

［14］KUMAR A， CHOI T M， WAMBA S F， et al. Infection vulnerability stratification risk modelling of COVID-19 data： a deterministic SEIR epidemic model analysis［J/OL］. Annals of Operations Research， （2021-06-04）［ 2022-03-10］. https：//doi.org/10.1007/s10479-021-04091-3.

［15］曹盛力， 冯沛华， 时朋朋. 修正SEIR传染病动力学模型应用于湖北省2019冠状病毒病（COVID-19）疫情预测和评估［J］. 浙江大学学报（医学版）， 2020， 49（2）： 178-184.

［16］盛华雄， 吴琳， 肖长亮. 新冠肺炎疫情传播建模分析与预测［J］. 系统仿真学报， 2020， 32（5）： 759-766.

（责任编辑：周晓南）

Analysis and Prediction of the COVID-19 Based on

an Improved SEIR Model

LIU Pin， DONG Qinglai*

（College of Mathematics and Computer Science， Yanan University， Yanan 716000， China）

Abstract：

Considering the lengthy incubation period of the novel coronavirus， based on the COVID-19 data set released daily， this paper improves the classic SEIR （Susceptible-Exposed-Infected-Recovered） model and establishes the transmission dynamics model of COVID-19， in which the inapparent transmission population is included， and the confirmed population is divided into two categories （a class of infected persons has the infectivity， while another class of infected persons has negligible infectivity because they are in the quarantine period）. The kinetic parameters of the improved SEIR model are fitted by using the epidemic data in Xian from December 15， 2021， to January 13， 2022， and the COVID-19 epidemic in Xian is predicted and evaluated. The results show that the theoretical estimate of the epidemic based on the improved SEIR model is in line with the actual situation of the epidemic in Xian， and the measures such as data visualization and medical isolation have an important role in inhibiting the large spread of the epidemic.

Key words：

COVID-19 epidemic; improved SEIR model; parameter estimation; predict; the COVID-19 epidemic in Xian

收稿日期：2022-03-10

基金項目：国家自然科学基金资助项目（71961030）；延安大学专项资助项目（YCX2022072）

作者简介：刘 聘（1998—），女，在读硕士，研究方向：平衡系统可靠性分析，E-mail：pinliu12@163.com.

通讯作者：董庆来，E-mail：qinglaidong@163.com.