巧妙转化 化繁为简

洪钰

［摘 要］换元法是最常用的一种数学解题方法，应用换元法可以将原来的变量换为新的变量，将复杂的数学题目简单化。在应用换元法的过程中，教师应从学生的学习实际出发，引导学生转换思维。教师应设计多样化的数学教学活动，将换元法的应用融入课堂教学的各个环节中。

［关键词］换元法；解题；转化

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）05-0020-03

换元法为学生打开了全新的解题思路，应用此解题方法不仅可以锻炼学生的思维能力，而且能促进学生综合素养的提升。在初中数学教学中，教师要在各个教学环节中融入换元思想，指导学生灵活应用换元法，并学会用辩证的眼光看待数学问题。

一、换元法的应用注意点

（一）注意应用性

教师在指导学生使用换元法时，需要注意题目和题型，并非所有的数学题都适合应用换元法。换元法适用于求值问题、因式分解、不等式证明、函数问题等，在应用换元法解题时教师应引导学生正确分析题目类型，灵活换元和转换变量。在教学中，教师应有效渗透换元思想，帮助学生树立换元理念，让学生在遇到复杂的数学问题时能够学会应用换元法进行正确解答。中考数学试卷中设置了很多综合性题目，对学生的解题能力有较高的要求，换元法的灵活应用，可以让学生更好地应对考试。

（二）注重结构性

教师在指导学生应用换元法解题时，应对题目的结构予以着重关注。每一道数学题均具有独特的内在结构，在应用换元法前学生需要找到问题的解题规律，如此才能取得更好的解题效果。整体换元、均值换元以及三角换元适用于不同结构的初中数学问题，应用于不同题型时的作用也存在差异。比如可以通过三角换元将根号问题转化为三角函数的最值问题。需要注意的是，换元会将原函数的自变量改变，所以换元法不适用于定义域或奇偶性问题。在应用换元法解答数学题目时，首先是设新元，将合适的辅助元引入题目中；其次是换元，将原题中的旧元替换为新元；然后是求解新元，具体化题目中的数量关系；最后是求解原题中的未知元。有效应用换元法解决数学问题可以增强学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

（三）注重等价性

教师应引导学生掌握变量替换的方法，这是应用换元法解题的基础。教师要对学生在应用换元法解题时出现的错误进行总结，引导学生注重等价性，即保持新变量的允许值与原变量的可取值范围之间的等价性，以避免在解题过程中出现偏差。对此，教师可以围绕等价性设计习题，让学生通过自主换元和等价转换掌握换元法的应用技巧。教师在教学中也应引导学生对等价关系予以重视，使学生形成等价思想，并在解题过程中灵活运用等价思想，从而提升学生的解题能力。

二、换元法的应用策略

（一）换元——由高到低

初中数学教材中涉及的方程主要有一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组等，一些试题中会出现初中数学教材中没有的方程，如高次方程，这就需要学生应用换元法将高次方程转化为低次方程。这样，不仅可以提升学生解题的准确率，还可以活跃学生的数学思维。换元法还可应用于证明不等式。在解答求方程的根之间的关系的数学问题时，教师可以引导学生在应用换元法的同时利用韦达定理，明确题目中所有条件之间的关系。设元是换元法的关键，需要学生针对不同问题设元，将原题中的未知数替换为另一个相同的未知数，然后使用换元法计算出答案。纵观初中数学教学现状，部分学生在解题时过于依赖换元法，不管解答什么数学题，都套用相同的换元法。针对这种情况，教师应引导学生把握数学问题的关键点，以此为基础来设元，这样更容易发现题目中的隐蔽条件，从而让学生学会针对不同问题灵活应用换元法。

在以上方程中应用换元法将方程进行简化，可使得解题更简便。

（二）换元——由未知到已知

转化思想在数学解题中的应用非常普遍，要想掌握转化的技巧，达到化繁为简的目的，教师就需要指导学生在解题时将未知转化为已知，通过等价代换的方式让学生更精准地掌握题意，明確解题方向。在解题时，学生常常会面对过多的未知量，无法准确分析题意和找到解题思路，这时进行未知量转化，可让学生用自己熟悉的知识解题，让解题的难度降低。当学生掌握转化已知量的方法后，再进行系统的训练，就可做到举一反三。在审题过程中，学生首先要分析题目中相等的数量关系，然后再对问题进行转化。如果题干过长，学生需要对题目信息进行梳理。当然换元法并不是独立存在的一种解题方法，有时可以将其与分类讨论、数形结合等方法联合使用，使抽象的数量关系与直观的信息相结合。

（三）换元——由正向到逆向

如今很多初中生的解题思维仍受限于传统观念，他们在遇到新的数学问题时不懂得变通，思维过于单一。针对这一问题，教师应鼓励学生摆脱定式思维，创新思维方式，在解题时尝试运用逆向思维，同时为学生提供新的解题思路，培养他们思维的严谨性。如在解答求取值范围的数学问题时，教师便可以引导学生运用逆向思维来进行验证，促使学生在解题时懂得变通。另外，换元法还适用于求函数值域的问题，教师应引导学生从多个角度思考问题，发现题目中的隐蔽条件。

在新课标背景下，教师应注重培养学生的逆向思维，这既有助于学生理解和掌握新的数学概念，又可以锻炼学生的逻辑思维能力，帮助学生更好地解决数学问题。教师可以将换元思想和逆向思维融入练习中，引导学生转变常规思维，从反方向寻找答案，这样不仅步骤更加简单，还可以节省解题时间。

从上述解题过程中可以看出，此题是通过整体换元法来求解定义域的。根据题干信息，如果用已知的复合函数来求出函数的定义域，难度较大，学生无法有效找出函数与自变量之间的关系。用换元法进行解答，可以将原变量转化为一个整体来进行替换，能更简单快捷地找到答案。

（四）换元——由数值到图形

换元法已经成了师生常用的一种解题手段，也成为当下教师重点谈论的话题。教师应该积极研讨，通过交流讨论、线上学习等方式提高自身的教学能力，深入了解换元法，并能灵活应用。为了让学生能更好地应用换元法，教师可将学生分成学习小组，发挥小组合作学习的作用，让学生探讨应用换元法解题的方式，提高学生的学习信心。“数形题”是初中数学常见的题型，此类题目解题难度较大，要求学生具有丰富的解题经验和熟练掌握解题技巧，能够对数值与图形进行灵活转化，将抽象问题简单化。在换元的过程中，我们常采用“以形助数”和“以数辅形”的方式。

教师可以开展专题训练，给学生展示数值和图形相互转化的题型，引导学生把抽象的数学知识进行图形化处理，在这个过程中，学生能逐渐形成正确的解题观念，提高自身的思维能力。

（五）换元——由多元到一元

应用换元法解题，将题干中的信息进行转化，将空间问题转化为平面问题，可逐步启发学生的空间思维，让学生的空间思维得到有序提升。同时，培养学生的换元思维可以助推学生解题能力的发展。在实际教学中，教师需从学情入手，引导学生适当对变量进行转化，有意识地引导学生去发现问题的本质。

教师可以经典的数学题目引导学生掌握换元的技巧，最大化地挖掘出换元的价值。教师可引入有关一元一次方程、多元一次方程的经典题目，让学生在解答题目的过程中正确区分，完善学生的知识体系，培养学生的创新思维。换元法的有效应用，能降低解题难度，也能让计算过程变得更加简单，让学生的思维得到变通。

此题是较为常见的一类分式方程转化的案例，对于培养学生的转化思维有较大的作用。

综上所述，在初中数学解题中，换元法的作用是不容忽视的，应用换元法可以让复杂的数学问题变得更加简单，让学生的思维得到锻炼和创新。在应用换元法的过程中，教师必须创新教学方法，让学生学会举一反三，积累更多的学习经验。在教学时，教师可以列举经典的例题，为换元法的应用创设良好的情境，以便培养学生良好的解题习惯，提升学生的解题能力。

［   參   考   文   献   ］

［1］  李秀文. 初中数学教学中思想与方法的渗透：评《数学教育研究方法论》［J］. 中国教育学刊， 2021（12）：39.

［2］  纪载华. 分类讨论思想在初中数学解题教学中的应用要点［J］. 数理化解题研究， 2021（20）：28-29.

［3］  李元杰. 初中数学解题中换元法例题解析［J］. 数理天地（初中版）， 2022（18）：29-30.

［4］  李萍，冯进钤，范钦伟．利用换元法求一类二重积分［J］.高等数学研究，2021（2）：38-40.

（责任编辑 黄桂坚）