让图形概念的建构走向深入

代胜 朱艳

“三角形的认识”是人教版数学四年级下册第五单元的教学内容。本节课注重引导学生聚焦图形的特征及概念本质，深入认识三角形。

一、借助“说明书”，经历三角形定义的形成过程

三角形的认识分直观辨认和概念理解两个阶段。教学《三角形的认识》时，笔者设置了这样的任务：先画一个三角形，再将画三角形的过程写成说明书。学生都能画出三角形，但对画三角形的过程的描述缺乏逻辑性。笔者收集了学生有代表性的作品，并进行了如下交流。

师：下面两份说明书有什么相同点和不同点？1号说明书写明：画三条线，并将它们连在一起。2号说明书写明：画三条线段，线段的端点要连在一起。

生1：两份说明书都写明要画三条线，但1号只说“连在一起”，2号却说“端点要连在一起”。

生2：2号的说法更规范，线有线段、直线、射线，三角形的三条边都是线段。

生3：1号没说清楚“连在一起”是连线还是连点，2号强调了要连“端点”。

师：下面三个图形都是三角形吗？

生4：这三个图形都不是三角形，①号有一条线段出头了；②号只连了三条线段的一个端点，另一个端点没连；③号上面两条线段的端点没有连起来。

师：再来看看3号说明书，上面写着“画三条线段，形成三个角的图形就是三角形”，你有什么想法？

生5：3号说明书说了线段，还说了角，很全面。

生6：②号图形有三个角，但它不是三角形。这说明3号说明书有问题。

师：2号说明书可以怎样改进？

生7（指三角形的其中一条线段）：这条线段有两个头，每个头要连不同的线段。

师：教材上三角形的定义中的“围成”和“每相邻两条线段的端点相连”是什么意思？书上的说明和刚才同学们的说法有什么相似的地方？

生8：“围成”就是围一圈；“每个头要连不同的线段”就是“相邻线段的端点相连”。

学生经历了给画三角形的过程写说明书并逐步修正与完善的过程，使浅层次的经验得到提升，从而对三角形概念的理解逐渐趋向本质。

二、创设情境，体会三角形高的存在价值

底和高是对三角形的定量刻画。底在三角形中是实实在在的线段，学生容易理解，但高是虚拟的线段，学生很难体会到高存在的价值。

课堂上，笔者先创设问题情境：“某厂家要为一些三角形材料定做长方体外包装盒（三角形材料必须有一边靠着盒子的棱），如果厚度忽略不计，包装盒要怎样设计，才能将三角形材料装进去？先想一想，再画一画。”学生交流后发现：长方体包装盒的长和宽不仅与三角形三条边的长度有关，还与最高点到底边的距离有关。接着，笔者选取学生设计的有代表性的长方体包装盒（忽略厚度）贴在白板上（如下图），引导学生将三角形放上去比划并思考：怎样摆放能看出最高点与底边的距离，进而确定长方体包装盒是否能装下三角形材料。

学生操作后发现：无论以哪条边为底，都要将顶点与长方体包装盒的宽重合，再将三角形最高点到底边的垂直距离与长方体的宽作比较。笔者顺势揭示三角形的底和高的概念，引导学生在图中找出三角形的“一个顶点”“它的对边”及“垂足”的位置。

当学生对三角形的高有一定的理解之后，笔者提问：厂家为了节省材料，想将包装盒尽量做得小一些，上面的包装盒还可以怎样改进？学生小组交流后汇报：包装盒的长以AC为标准，宽就是B到AC的距离；将CB的长度作为包装盒的长，则要以A到CB的距离为宽；将BA的长度作为包装盒的长，则BA边上的高就是宽。还有学生指出：包装盒的长和宽要对应起来，三角形的一个底对应一条高，不能混淆。笔者乘机追问：你认为三角形有几条高？为什么？有的学生从底的角度来思考：三角形的每条边都可以作底，三角形有三条边，就有三条对应的高；有的学生从顶点的角度解释：三角形有三个顶点，每个顶点都能摆到最高点的位置，对应三个不同的高度，所以三角形有三条高。笔者追问：每个三角形都有三条高吗？你能找出下面两个三角形（出示一个直角三角形和一个钝角三角形）的底对应的高吗？学生兴奋地分享自己的发现：直角三角形中，直角可以直接靠着长方体包装盒的一组长与宽摆放，组成直角的两条边以一条边为底，另一条边就是高。对于钝角三角形高的研究，学生出现了困惑：三角形的高应该在三角形的内部，而钝角三角形有两个顶点到底边的距离不在三角形内部，能称之为高吗？笔者引导学生利用三角形底与高的定义进行辨析，让学生体会到“不管这条线段在什么位置，只要是从顶点到对边的距离，都是三角形的高”。

三、在找高过程中击破三角形高的画法难点

画三角形高的过程与过直线外一点作已知直线的垂线段本质相同，难度却大大增加。教学中，笔者引导学生将画高的过程与找高的过程进行联结，逐个击破画高难点。

师：如下图，某厂家设计的包装盒（忽略厚度）被损毁了一部分，你认为下面这三个包装盒能帮我们找到三角形ABC的高吗？

生1：①号左边的宽没有破损，将三角形ABC的一条边贴着包装盒的下边放，最高点到下边的距离就是高。

生2：将①号盒的上边转到最下面，包装盒的长和宽都没有损毁，将三角形的最高点靠上去，底与长重合就可以了。

生3：②号和③号也可以，只要还有一个直角没破损，就能找到高。

师：怎么转？旋转到什么位置能顺利画出高？

生4：以③号包装盒为例，如下图所示，破损的包装盒有一条直角边要作底，必须靠着三角形的底，另一条直角边要转到三角形的顶点位置。

师：生活中有时候找不到这样的包装盒，我们还可以借助哪些工具找三角形的高？

生5：三角尺、書、作业本都可以画高。只要是有直角的工具，都可以画高。

师：给三角形画高跟以前学习的哪个知识点类似？

生6：过直线外一点作已知直线的垂线。

师：“直线外一点”是一个点，“已知直线”是一条直线，三角形有三条边，三个顶点，如果指定三角形的一条边为底，怎么找到“目标点”和“目标线”？

生7：可以想象将三角形的底转到最下面，再找最高点。

生8：不转也可以，“目标线”就是三角形的底，“目标点”就是底对着的顶点。

生9：三角形的底有两个端点，这两个点可以排除，剩下一个点就是目标点。

在这样的活动中，学生对三角形高的概念有了更清晰的认识，对画高工具的工作原理也有了本质理解。

（作者单位：代胜，宜城市教研室；朱艳，宜城市南街小学）

责任编辑  张敏