让思维可视的小学数学探究性作业设计

刘善娜

当前，学科核心素养培养成为课程教学改革实践与研究的热点。作业设计作为教学的重要环节，对促进学生核心素养的发展有重要作用。这也对作业设计提出了新要求。如何通过作业实现学生学科核心素养的发展呢？本期，我们探讨学科核心素养导向下的作业设计。

促进思维发展是数学学科的重要使命，也是落实数学学科核心素养的关键。“画数学、说数学、做数学、联数学”等形式的探究性作业，能让学生的思维过程显性化、思维结果深刻化，促进学生思维不断向分析、评价、综合和创造的高阶思维进阶，达到“做一得十”、提升素养的效果。

画数学：让思维在数形结合中生成

“画数学”是学生用简单的符号、图示把数学问题的含义或者自己的思考过程直观形象地表达出来的作业形式。“画数学”作业能让学生有意识地用画的方式解决问题。

1.画流程图，发展综合思维和分析思维

画流程图指学生从题目的已知信息或问题出发，借助其中的数量关系，通过画流程图的方式梳理思路，把隐藏在大脑中的一个个“算法”或问题解决的步骤画出来，以发展综合思维和分析思维的解决问题过程。根据小学数学的特点，笔者将画流程图解题的方法分为两种类型：一是综合法，即从信息到问题，在圈画题目关键信息中综合思考；二是分析法，即从问题到信息，在推导题目数量关系中分析、理解。如，笔者采用分析法设计的如下探究性作业：

炼钢厂第一车间原计划在30天内完成279万吨的生产任务。实际每天比原计划多生产0.7万吨，实际可以提前几天完成任务？

你能从问题出发进行分析吗？请把过程写出来。

学生借助分析法所画的解题流程图如右图：

推导过程中，学生需要理解题目中的等量关系、数量关系，并清晰地呈现。这是学生后续学习的必备能力。这样的作业把重点放在培养学生的思维和能力上，有助于学生形成良好的思维品质。

2.画模型图，培养归纳思维和演绎思维

画模型图解题旨在引导学生找到多个问题的共性，并用线段图、关系式等模型图呈现，然后将归纳出来的模型运用到具体问题的解决中。依托画模型图解题形式设计的探究性作业能体现思维过程，使学生在归纳思维与演绎思维之间来回穿行，从而提升学生思维的灵活性。笔者以培养学生归纳思维的探究性作业为例。这类作业题多出现在购物问题、工作问题和相遇问题中，其共性是体现“两积之和”。如：

题目1：

题目2：有一份5700字的文件，由于时间紧迫，安排小林与小云同时录入，小林每分钟打100个字，小云每分钟打90个字，录完这份文件一共需要多少时间？

题目3：甲、乙两艘小船同时从一个码头向相反的方向驶去，5小时后两船相距450千米，乙船每小时行43千米，甲船每小时行多少千米？

请你归纳上面3道题的共同点：__________________。

解题时，笔者先引导学生画线段图理清题目中的数量关系，分别用方程“2×120+3x=435；100x+90x=5700；43×5+5x=450”表示，再归纳题目的共性特点“部分量+部分量=总量”，并用数学模型“ac+bc=x”表示。学生就此看到了问题的本质，发展了归纳思维。

3.画辅助图，发展几何直观和空间想象力

画辅助图是在面对含有大量信息的高难度作业时通过辅助图示，使复杂信息变得清晰有序、隐形条件得以显现、解题思路得以理清的解题形式。基于画辅助图设计的探究性作业，有利于发展学生的几何直观能力和空间想象力。

如笔者设计的“长方体和正方体”单元作业：“一个长方体，沿着垂直于它的长、宽、高的方向各切一刀，新增表面积共100平方厘米，求原来长方体的表面积。”这是一道比较复杂的表面积问题，如果教师引导学生借助草图（如下图）解题，学生就可以直观地看清楚截面与长方体表面积的关系，便捷地得出“原来长方体的表面积就是100平方厘米”的结论。

说数学：让思维在语言表达中提升

“说数学”重在引导学生说过程、说证据，即回答“你怎么想”“为什么可以这样”，从而提升学生的思维品质。

1.概念解说，争当概念代言人

当数学概念的代言人，指教师引导学生基于已有经验和知识水平，选择合适的媒介（实物、图示、符号、故事等），通过举例描述，呈现概念的生成过程，把概念的内涵与外延用容易理解的方式表达出来。这样做能发展学生的逻辑思维，强化学生的言语表达能力，提升学生思维的深刻性。例如，学习“平均数”后，笔者设计了“做平均数的代言人”作业，引导学生从“平均数怎么来→平均数有什么用（举例）→平均数的特点”三个方面阐述他们对平均数的理解。

2.自主说题，把题目想清楚、说明白

自主说题是引导学生把无声的内部思考转化为有声的外部语言，剖析题目的内在逻辑，锻炼学生抓住关键问题分析的能力的作业形式。基于自主说题作业形式设计的作业，能引导学生审视与调整思维过程。实践中，笔者围绕“说题目的‘前世今生’、说题目所需调动的知识、说题目的‘坑’”等设计自主说题作业。

3.阅读分享，以故事情境拓展思维

阅读数学课外读物能让学生感受数学的生动与神奇，拓展思维。在数学阅读的基础上，教师可设计阅读分享作业，引导学生按照数学历史、数学绘本和数学历险记（用幽默、易懂的语言分享基于数学内容的脑力冒险经历）三个类别展开阅读分享。

做数学：让思维在动手探究中发展

“做数学”就是让学生在操作中体验数学。以“做数学”的形式设计的探究性作业指向学科实践活动，具有激发探究兴趣、促进合作探究和致力问题解决的特征。

1.激发探究兴趣

教师可聚焦数学与生活的关联，从教材内容和校内外资源中挖掘学生感兴趣的问题，亲自设计或引导学生自主设计“做数学”作业：基于教材内容设计模仿迁移类、改编应用类、创作提升类作业；基于校园资源设计日常计数类、数据测量类、信息统计类、生活数学类作业；基于校外资源设计生活数学类、生活体验类、解决问题类作业。例如，“运动会中的数学”就是学生基于校园资源自主设计的作业。学生通过观察、思考，发掘出“预赛第一名为什么排在决赛的第四道”“跑道起点如何设置”等实际问题，并通过课内外的合作探究和交流獲得了对这些问题所蕴含的数学道理的理解。

2.鼓励合作探究

设计需要合作探究才能完成的作业，有助于学生突破思维困境，提升思维的灵活性。例如，学习“体积”时，笔者设计了“估算大石头有多重”的探究性作业。笔者先把学生分成体积测量组、密度测量组、综合协调组三个组。组内学生（一般是5人）分别负责台秤、石块、烧杯、水等工具的准备，密度相关知识等知识准备，称量石块重量、测量石块体积等实验操作，以及相关数据、流程的记录。学生通过实践估算出石头的体积，计算出石头的质量，并合作制作了包括“探究的问题、确定研究方法、估算大石头的体积、计算大石头的质量、总结与反思”5个板块的探究报告。报告中，学生写道：“每一步我们都群策群力，互相启发。在计算大石头的质量时，我们非常有默契，一人用电子秤称出小石头的质量为134克，一人用排水法测出小石头的体积为50立方厘米，一人计算出小石头的密度为2.68克/立方厘米。最后，组长用来之不易的2.68乘大石头的体积，得出大石头的质量约4.05吨。”

3.致力问题解决

“做数学”的探究性作业，强调针对生活中的数学问题，通过实践、调查、分析得出结论，提出策略、建议，以解决生活问题。这样的作业有利于培养学生的动手实践能力、团队协作能力和数学思维能力。例如，教学估算问题时，笔者设计了“估算树叶的数量”作业，引导学生利用发散性思维和身边的工具、材料解决真实问题，帮助学生建立基于真实情境的数感。学生反复拟订方案、论证，最终确定了借助渔网或者球网等工具测算的方案。另外，教师引导学生关注并尝试解决如调查电瓶车头盔佩戴情况、垃圾桶设置等社会问题，有助于提升学生的应用意识和社会责任意识。

联数学：让思维在融合贯通中进阶

现实中的问题往往是复杂的，需要学生融合具体学科中的多个主题内容以及不同学科的知识加以解决。笔者立足数学学科，从学科内融合、学科间融合、数学与生活融合三个维度设计“联数学”作业，引导学生用联系的观点看数学。

1.提纲挈领，学科内融合

不同专题的数学知识有内在的联系，教师将其融合起來设计作业，引导学生找一找新知识的“老朋友”，有利于培养学生的系统性思维。如针对“三位数乘两位数”相关知识，笔者设计了“（  ）×（  ）的n种模样”作业，引导学生举一个乘法算式的例子（可自由设计，最低要求是三位数乘两位数），并给式子“开花”，让一片片“花瓣”链接表示算理的点子图、乘法问题的基本模型（如面积问题、倍数问题、“每份数、份数和总数”问题）及多种算法（笔算、口算、“格子”算法、划线法），帮助学生系统建构乘法相关知识，达到触类旁通的目的。

2.融会贯通，学科间融合

教师要打破学科界限，尝试设计融合数学知识与其他学科知识的作业，使各学科之间相互补充、相互促进，以实现复杂数学问题的解决。以数学与美术融合为例，笔者先梳理出生活中既包括数学知识又包括美术知识的问题，如数学中的黄金比和美术中的造型、审美相关知识联系紧密；再基于此设计作业“黄金比与高跟鞋”，引导学生根据黄金比的知识设计不同身高女士的高跟鞋合适高度，并让学生将研究过程和结果制成手抄报。这样的作业很好地提升了学生的数学素养。

3.举一反三，数学与生活融合

教师要运用知识的迁移规律设计探究性作业，启发学生用数学的眼光看待生活中的问题，将生活经验与数学知识贯通起来，在解决问题中培养具象思维能力、发展创造性思维。例如，在完成“为制造小木屋做设计”作业时，学生发现需要运用最大公约数、最小公倍数、密铺等知识使木板合理拼接，以完成搭建；需要运用表面积、体积等知识测算出各部分建筑材料的大小；需要根据材料使用量推算价格；等等。诸多数学知识在他们的构想中自然地和生活应用结合起来。

（作者单位：浙江省宁波市奉化区新城实验小学）