优化复习策略 提高解题能力

浦丽敏

[摘  要] 在高三数学复习中，大多數教师会根据学生的实际学情采用不同的教学模式和教学手段来激发学生的潜能，提升学生的解题能力. 但无论教师采用何种教学手段，应用何种教学模式，都应将“双基”的巩固和“三维目标”的实现放在首位，教学中应通过巧妙引导和深度挖掘让学生掌握问题的本质，以此提升解题质量，实现“减负增效”“稳步提升”的效果.

[关键词] 数学复习;减负增效;稳步提升

大多数教师和学生认为高三数学复习就是“练习—考试—评讲—再练习……”这样一个周而复始、循环往复的过程，“刷题”就是高三数学复习的主旋律，但学生即使刷了很多题，其收获仍然甚微. 原因是什么呢？多数情况下，教师会从学生身上找原因，但是客观来说，教师自身也存在一些策略运用不当的情形，这归结于教师对学生在复习过程中所表现出来的学习心理理解不透. 当教师认为复习就是“练习—考试—评讲—再练习……”的时候，实际上就陷入了认知上的一个误区，尽管复习以练习和考试为主要活动，但是学生在复习过程中的心理，本质上应当指向知识的理解、认知体系的建立与完善、数学概念与规律之间联系的再探究，以及问题解决能力的形成. 这是一个高度系统的过程，也是一个需要教师在复习的过程中不断摸索的过程. 这个过程中一方面需要教师积累经验，另一方面需要教师从学生学习心理的角度去了解学生，形成更加智慧的认识.

站在教师的角度来看，高三复习阶段更为重要的应是吃透考纲，夯实基础，把握命题方向，引导学生及时进行反思和总结，理解并掌握数学的本质与精髓，只有这样才能真正地实现“减负增效”. 值得一提的是，在核心素养的背景下，高三数学复习也需要关注核心素养以及数学学科核心素养的落地，要将学生的解题能力视作关键能力的一部分，要在组织数学复习素材的时候，能够站在数学学科核心素养组成要素的角度，去思考这些组成要素如何落地. 如果说这个目的达到了，那么数学复习的目的也就达到了. 对于高三数学复习，笔者结合个人的教学经验，谈几点心得体会，以期共鉴.

夯实基础，优化认知

海市蜃楼虽美，然因没有根基决定其只能是“昙花一现”，数学学习亦是如此，若没有扎实的基础，很难获得长远的发展，为此在高三复习的各个阶段都应关注“双基”的巩固. 这里要防止一个认识误区，即只谈“双基”就是落后——毕竟这是一个数十年前就已经提出的概念，在当下的课程改革的深水期，在核心素养落实的当下，只强调“双基”似乎不够与时俱进. 但实际上，基础知识与基本技能永远是数学教学的重要基础，自然应当是高三复习的重中之重. 在高三数学复习的进程中，尤其在复习之初，一定要帮助学生夯实基础，帮助学生优化认知. 结合当下的考试评价要求，在高三复习阶段，教师要结合考纲和实际学情，精讲一些重难点内容，带领学生探究知识形成的过程，让学生在参与的过程中建构认知体系，完善认知体系，优化认知体系. 要知道，高考数学题往往会呈现一定的综合性，只有在扎实的基础和完善的认知体系下，解题时才能实现知识的灵活调用和迁移.

例1 椭圆+=1的左、右焦点分别为F，F，椭圆的一条弦AB过F，若△ABF的内切圆I的周长为π，A，B两点的纵坐标分别为y，y，则

y

-y的值为________.

题目解析 部分学生尝试利用椭圆、直线AB和圆I的方程联立求解，结果一头雾水，毫无头绪，因此解决此题需要另辟蹊径. 由已知“△ABF的内切圆I的周长为π”，可得其半径r=. 由椭圆的第一定义可知△ABF的周长为20，而△ABF的面积S=（BF+FA+AB）r=5. 另一方面，△ABF的面积S=3

y

-y，所以

y

-y的值为.

解后反思 回顾以上解题步骤不难发现，这道精彩纷呈的数学题由椭圆的第一定义以及公式S=（a+b+c）r等几个简单的知识点构成，所考查的并不是奇思妙想，而是学生对基础知识的掌握情况. 在高三复习尤其在第一轮复习时，切勿好高骛远，一定要把基本概念、公式、定理吃透，掌握好解题的通性通法，同时挖掘出知识点间的关键节点，通过对各知识点的有效拓展和延伸，将零散的知识点编织成一个巨大的知识网，这样在应用时才能得心应手、游刃有余. 与此同时，还要进一步强化对第一轮复习的认识. 第一轮复习在重视“双基”的基础上，强调知识与技能的结合——这里所说的技能更多指向学生的解题技巧与能力. 这不仅应当成为教师的意识，而且应当成为学生的意识，教师的意识最终也要转化为学生的意识，只有当学生在复习的过程中，认识到自己的认知体系与高考的解题要求之间总存在差距的时候，才有可能形成知识体系建构的动机;只有当知识体系建构动机形成的时候，学生的认知体系才有可能转化为解题能力.

精挑细选，深挖内涵

在高三复习教学中，部分教师喜欢追求“难”和“新”，将大部分讲评时间都放在“大题”上，而这些“大题”容易使一些基础薄弱的学生产生不适，进而影响听课效率和解题信心. 其实，在复习教学中，教师不要盲目地求“大”，可以精挑细选一些绝大部分学生都够得着的小问题，通过“小”变化，发现其中蕴含的“大”道理，实现“小中见大”，拓展学生的数学思维，促进学生的能力提升. 这是一个很重要的教学思路，尤其在复习的过程中，这一思路更加重要. 教师有必要让学生认识到在复习的过程中所做的题目，不是面前的拦路虎，而是提升自己解题能力的重要载体. 教师通过精挑细选，给学生呈现最好的题目——所谓的“好”就是能够签上学生的知识缺陷，能够命中学生的解题能力缺陷. 要判断出这个“好”并不容易，需要教师在研究题目的时候深挖其内涵，只有将题目的形式与实质结合在一起，才是这些题目充分发挥作用的时候.

例2 如图2所示，设非零向量=a，=b，在平面AOB内，直线l为线段AB的垂直平分线，点P为直线l上的动点，若非零向量=p，a=3，b=2，则p·（a-b）=________.

题目解析 本题为填空题，因此可尝试应用特殊的方法求解，如建立如图3所示的坐标系，分别设A（0，3），B（-2，0），P（x，y），则由PA=PB可得=，化简可得4x+6y-5=0，因此p·（a-b）=（x，y）·（2，3）=2x+3y=.

解后反思 例2是一道“小题”，可以借助特殊的方法来求解，但这个特殊的方法中是否蕴含着一般的规律呢？为了充分发挥“小题”的价值，引导学生体验由特殊到一般的数学研究方法，在本题顺利求解的基础上，教师可以借助一些拓展问题引导学生探究解题通法，进而提升学生的解题能力.

拓展问题 条件不变，将问题“求p·（a-b）的值”改为“求证：无论点P在l上如何移动，p·（a-b）均为定值”.

变式拓展后，特殊的方法已经难以满足“大题”的解答要求，虽然特殊的方法失效了，不过其解题思路和结论在解“大题”时依然具有较大的参考价值，有了前面问题的铺垫，学生解“大题”时不再束手无策，这样“由小见大”符合学生的认识水平，适合学生发展.

对于拓展问题，教师可以带领学生沿着例2求解的轨迹进行探究：先建系，再设点A（acosα，asinα），B（bcosβ，bsinβ），P（x，y）（其中正数a，b为定值），由PA=PB建立等量关系，通过化简转化可得p·（a-b）=，因为正数a，b为定值，故p·（a-b）为定值.

当然，求解此题不局限于这一种解法，教师还可以引导学生利用“构建向量回路法”进行求解，这里就不再详解阐述了. 其实很多“小题”的求解思路灵活，若在平时教学时能够仔细地推敲、巧妙地拓展，会使“小题”变得更加丰富多彩;很多“难题”“新题”都是“简单题”和“旧题”的变形，因此教学时要重点培养学生扎实的基本功，让学生拥有“以不变应万变”的能力. 另外，教学中教师不能简单地就题论题进行讲解，应重视问题的挖掘和拓展，揭示问题的本质，将一些特殊的解题方法逐步提升至通性通法，让学生既能应用“特殊法”去解决一些“小题”，又能快速地切换“通法”解决一些“大题”，有效提升学生的解题能力.

合理安排，减负增效

高三数学复习时间有限，若想在有限的时间内做更多的事情就需要教师合理安排教学内容，充分调动学生的学习积极性，让学生能够精神饱满地融入课堂教学. 在实际教学中，很多教师感觉时间紧，常想利用“多讲”“多做”“多考”来提升教学效率，但讲得过多、做得过多、考得过多容易造成学生思维疲劳，出现厌学情绪，影响复习效果. 在解题时，不要过多地追求“量”，应该更多地关注“质”，只有“量”没有“质”注定是徒劳的，不仅会浪费宝贵的高三复习时间，还会增加学生的课业负担，影响教学效率的提升. 一个有趣又让人感到尴尬的现实是，尽管绝大多数教师都认识到了这一点，但是在实际的复习过程中，还是忍不住充分利用所有的时间，让学生去做更多的题. 这一现实反映了教师的教学期待与教学行为之间的矛盾：教师期待的是学生的高效复习，但又给学生提供了足够多的题，心里所想的是广种薄收. 说到底还是教师不相信减负能够增效. 事实上，减负增效的关键在于教师对学生学习进程的合理安排，这里既涉及复习内容的选择，也涉及复习方式的优化，还涉及教师结合学生的实际学习情况，对复习过程做出动态调整. 这实际上是一个预设与生成的过程. 复习固然需要有计划的安排，这实际上是在预设学生的复习过程;同时复习过程中又不可避免地存在着生成，教师要基于自身的教学经验，尤其是复习经验，根据学生在复习过程中的表现，去判断他们在知识上有哪些欠缺，在能力上有哪些不足. 事实证明，只要做到了这些，那么就真正做到了合理安排，自然也就能够达到减负增效的复习效果. 因此，在具体的实践中，可以通过“多思”来提升学习质量，实现减负增效的效果.

例3 若椭圆+=1（a>b>0）上存在一点P，使PA⊥PO，其中O为原点，点A是椭圆长轴的端点，求椭圆离心率e的取值范围.

题目解析 根据椭圆的对称性，不妨设点P为第一象限的点. 仔细探究发现坐标的设法和PA⊥PO的表示方法不唯一，因此解题时教师可以鼓励学生从不同角度去思考，以此发展学生的数学思维，优化解题过程.

解法1 设P（x，y），代入椭圆方程并化简得b2x+a2y=a2b2，由A（a，0），PA⊥PO，得·=-1，两式联立并化简得（a2-b2）x-a3x+a2b2=0，此方程的根除了x0=a外，还有另一个根x0=，则<a，即a2>2b2，得a2<2c2，所以离心率e的取值范围为

，1

.

解法2 设P（acosθ，bsinθ），θ∈

0，

，由⊥可知·=0，则（acosθ，bsinθ）·（a（cosθ-1），bsinθ）=0，化简得=>，下略.

解法3 以OA为直径的圆为x（x-a）+y2=0，然后联立椭圆方程，应用解法1的思路继续求解.

解后反思 不同学生有不同的认知水平，对知识点的掌握情况也有所不同，因此教师应引导学生利用不同的方法去解题，这样不仅能够拓展学生的数学思维，而且通过“多解”可以让学生全面认识问题. 借助“多解”，学生容易联想到其他关于椭圆离心率取值范围的问题. 有效串联这些问题，让学生整体认识它们，有利于学生内化和迁移知识，最终提升解题能力和解题信心.

循序渐进，稳步提升

在高三复习時，大多数教师感觉任务重，因此教学显得过于浮躁，常常追求“大容量”“快节奏”，忽视了学生的思维发展水平，使得学生因为跟不上教师的节奏而影响到了学习信心. 其实，人的思维能力的发展具有梯度性，教师切勿盲目地追求快而忽视了思维发展的客观规律，进而影响到教学效果. 教学中教师要充分了解学生，借助符合学生认知的梯度问题稳步提高学生的综合能力.

例如研究“耐克函数”问题时，可以从学生熟悉的函数y=x，y=出发，让学生逐渐探究y=x+，y=x+（a>0），y=ax+（a>0，b>0）的图象和性质. 这样由浅入深逐层推进，让学生的认知不断深入，不仅可以优化学生的意志品质，还可以培养学生良好的思维习惯，有利于学生的学习能力螺旋上升.

总之，在高三数学复习中，教师要以学生的认知为出发点，关注“基础”，坚持“稳扎稳打，循序渐进”的理念，通过巧妙设计和恰当引导，螺旋提升学生的思维，以及综合能力和数学素养.