探疑解惑，培养无理数的数感

陈晨　李婧

一线数学教师普遍有这样的感觉，无理数的概念（无限不循环小数叫作无理数）很简单，但学生理解起来却很不轻松，有时甚至囫囵吞枣；无理数概念的教学浅表化现象普遍存在，导致初中生对无理数的认识大都比较狭隘。为了尝试改变这一尴尬现状，笔者认为，教师在教学过程中，应该从知识细节入手，让学生提出关于无理数的疑惑，然后和学生一起解决，在解决问题的过程中，培养学生的无理数的数感，这样更利于找到高效的无理数教学路径，使学生真正理解和运用无理数。

谈及数感，貌似给人一种神秘的感觉，其实它属于人类对数及其运算的常规理解与感受，它能够帮助我们处理烦琐的问题并提出有效的措施。但是初中生对无理数的数感普遍不如对自然数和有理数的数感，究其原因，自然数是“数”出来的，有理数是“量”出来的，而无理数则是用数学的方式“想”出来的。能“数”能“量”的事物往往有具象性，但“想”出来的数则往往是形而上的，如果缺少直观或经验的支持，就会非常抽象、难以理解。

近日，笔者在一次公开教学活动中，尝试和学生一起探究了几个关于无理数的问题，以帮助学生解决无理数学习过程的疑惑，体验探究无理数的快乐，更好地培养无理数数感。

一、无理数的由来

据记载，无理数最早由毕达哥拉斯学派的希伯索斯首先提出：边长为1的正方形，它的对角线长是多少呢？借助勾股定理，不难发现，对角线的长度可以表示为[2]。无理数[2]的发现引发了数学史上的第一次危机，对以后2000多年的数学发展产生了深远影响。那么，[2]到底有多大呢？根据宋代数学家刘徽的做法，只能“求其微数”。

其实，我们可以尝试用二分法，无限逼近 [2]来说明它的大小。∵12<（[2]）2<22，∴1<[2]<2。∵12<（[2]）2<1.52，∴1<[2]<1.5。∵1.252<（[2]）2<1.52，∴1.25<[2]<1.5……类似的，我们可以一直计算下去，最終发现[2]是一个无限不循环的小数。但这种数学验证是不够严谨的，因为借助逼近法不能最终确定[2]的值，所以它的无限不循环性就无法验证。

如何用更加严谨的数学说理来证明[2]是无理数呢？还有一种方法，那就是反证法。即假设[2]不是无理数，则[2]是有理数，令[2]=[pq] （p、q为互质的两个整数，且pq≠0），可以证明出p、q都是偶数，这与p、q为互质的两个整数矛盾，从而证明假设不成立。

二、常见的无理数

初中无理数的教学源于求平方根（立方根等），源于勾股定理与三角形斜边的计算、黄金比例与审美、圆周率与精确度的提高等问题情境。教师在教学过程中，可以给学生介绍一些常见的无理数，以加深学生对无理数的认识。

比如，（1）开方开不尽的数。在计算平方根（或多次方根）、利用勾股定理进行计算时，有时会得到开方开不尽的数。借助阿基米德螺线的数学之美，我们还可以得到像[2]、[43]、[84]、[2]+1等数。我们可以类比证明[2]是无理数的方法，证明这些数是无理数。这类数可以充分体现无理数是通过数学方式“想”出来的。（2）含[π]的一类数。[π]源于圆周率与精确度，所以[π]是一个确实存在的数。在小学阶段，学生已经对它非常熟悉了。据记载，[π]是通过割圆术、闰周算法计算出来的，现在用超级计算机已经可以计算到62.8万亿位，这点充分说明[π]是一个无限不循环的小数。但关于[π]是无理数的证明涉及微积分的知识，初中阶段暂时不需要掌握。（3）构造数。人们根据无理数的定义构造出了一些数，如3.101101110…（两个0之间依次增加一个1）、0.129034880…（小数点后的数字是计算机随机产生的0-9中的某一数字）。很显然，对于这些构造出来的数，虽然在生活中很难找到对应的事或物与之匹配，但这些构造数无一例外都符合无限不循环的小数这一定义，所以这些构造数也都是无理数。（4）其他数。特殊三角函数值如sin45[°]、cos30[°]、tan60[°]和黄金分割比[5-12]都是利用初中特殊的数学知识计算得到的无理数，利用一个等腰直角三角形、有一个内角为30°的直角三角形和一个正五边形，可以轻松得到这些无理数。

三、关于无理数的其他研究

1. 无理数与有理数之间的关系。“有理数”与“无理数”的英文分别是rational number和irrational number。翻译过来就是“可比数”和“不可比数”，即有理数可以写成两个整数的比值，而无理数则不能。这种差别可以使得学生快速辨别有理数和无理数，这样对数的研究也会更加高效。

2. 无理数的个数。我们知道，非零有理数乘无理数结果是无理数；无理数加无理数结果是无理数或有理数；有理数加无理数结果是无理数，考虑到有理数有无数个，所以对应的无理数肯定也是无数个。无理数的这种无限性可以帮助学生更好地认识初中阶段对数系扩充的必要性和可行性，为进一步研究数的运算等做好铺垫。

3. 无理数的相关运算。根据规定，无理数和有理数统称为实数，所以对无理数的研究可以引导学生类比有理数进行，主要可以研究它的运算等。此外，还有一些重要的数学知识与无理数有关：比如圆周率、黄金分割、勾股定理、平方根（立方根）运算、二次根式计算等。

总而言之，无理数的教学内容应当是多重的、有层次的，不仅仅包括无理数的概念，还应该包括无理数概念创生背后的数学学科思维、方法和价值。在教学过程中，教师可以转换个人角色，让学生先自行预习，再提出自己的疑惑，教师则是课堂的参与者，与学生一起答疑，这样的教学会更有针对性，也会更加高效。

（作者单位：江苏省太仓市第一中学）

本文系江苏省教育学会“十四五”教育科研规划课题“基于初中视角下初高中数学衔接知识点的深度教学”（编号：21A06SXSZ173）阶段性研究成果。