坐标系中图形变换的解题策略和方法

文／张 丽

图形的变换主要包括轴对称、旋转、平移等几个方面。其中，对称常见的考查形式多以折叠为主，有时也会与特殊图形结合在一起出现；旋转的考查面比较广，常见的考查形式为与特殊三角形或特殊四边形结合出现在综合题中。

知识点一、轴对称

例1 如图1，在平面直角坐标系中，矩形OBCD的顶点O、B、C的坐标分别为（0，0）、（20，0）、（20，10），在线段OC、OB上各有一动点M、N，则当BM+MN取最小值时，点M的坐标是。

图1

【解析】由于BM+MN不在同一直线上，所以我们要想办法把它们转化到同一直线上。作点B关于OC的对称点B′，连接B′N，交OC于点M，如图2。这时，根据“两点之间线段最短”可以得到BM+MN的最小值为B′M+MN=B′N。

图2

图3

因为N是x轴上的一个动点，B′是x轴外的一个定点，根据“直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”，可以得到当B′N⊥x轴时（如图3），BM+MN的值最小。根据条件，计算得BB′=8。又因为△BB′N与△COB相似，可得BN=8，所以得到ON=12，MN=6，点M的坐标是（12，6）。

【点评】本题属于动点背景下的轴对称变换问题。我们应注意折叠前后所对应的图形，抓住它们之间的不变关系及其性质来寻找相等的量。同时，本题还综合利用了“两点之间线段最短”“垂线段最短”等知识点来解决问题。

知识点二、旋转

例2 如图4，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（-2，5）的对应点A′的坐标是。

图4

【解析】∵线段AB绕点O顺时针旋转90°后得到线段A′B′，∴△ABO≌△A′B′O，∠AOA′=90°，AO=A′O。

作AC⊥y轴于点C，A′C′⊥x轴于点C′，如图4，则∠ACO=∠A′C′O=90°。

∵∠COC′=90°，∴∠AOC=∠A′OC′。

∴△ACO≌△A′C′O（AAS）。

∴AC=A′C′，CO=C′O。

∵A（-2，5），∴A′（5，2）。

【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质的运用、点的坐标的运用等知识，构造三角形全等是解决本题的关键。

变式 将含有30°角的直角三角板OAB放置在平面直角坐标系中，如图5，OB在x轴上，若OA=2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为。

图5

【解析】如图6，过点A′作A′C⊥OB于点C。

图6

∵将三角板绕原点O顺时针旋转75°，

∴∠COA′=45°，OA′=OA。

【点评】解题的关键是首先根据题意找到点A′的位置，然后依据旋转的定义和性质得到OA′的长和∠COA′的度数，再利用特殊锐角三角函数值求解。其中，∠COA′=45°是解题的重要突破口。

知识点三、平移

例3 如图7，已知A、B的坐标为（2，0）、（0，1），如果把线段AB平移至A1B1，那么a+b的值为（）。

A.2B.3C.4D.5

图7

【解析】根据点B平移后的纵坐标变化、点A平移后的横坐标变化，可以得到线段AB的平移规律：向上平移1 个单位，再向右平移1 个单位（或先向右移，再向上移）。由此，我们可以知道线段上每一个点均按此规律平移，可得a=0+1=1，b=0+1=1，所以a+b=2。故选A。

【点评】本题主要考查了坐标系中点、线段的平移规律：在平面直角坐标系中，整个图形的平移情况和图形中某一点的平移情况是相同的。平移中点的变化规律是：图像向右移动，点的横坐标则加；图像向左移动，点的横坐标则减。图像向上移动，点的纵坐标则加；图像向下移动，点的纵坐标则减。