注重关联，提升素养

胡维汉

【摘要】解答几何题要注意对习题之间的联系，联想已解决的数学问题，联想图形结构，作出合适的辅助线，再进行推理、运算、解答.同时应进一步挖掘题目的变式，将数学思想方法与基本经验合理应用.这样有利于培养学生的发散思维，加深对所学知识的理解，提高学生对数学思想和方法的运用能力，发展学生的探究能力和创新意识.

【关键词】初中数学；几何填空题；解题

1题目呈现

例如图1，BD平分∠ABC交AC于点D，延长BD至E，若DE＝AD，∠ABC＝82°，∠BAC＝79°，则∠BEC的度数为 .

2试题解答

分析利用角平分线和60°及DE＝AD，将△ABC沿BD翻折得到△HBD，进一步得到∠HDC＝60°＝∠CDE，再证△CDH≌△CDE.

解析截长法

如图2，在BC上截取BH＝AB，连接DH.

在△ABD和△HBD中，BH＝AB，∠ABD＝∠HBD，BD＝BD，

所以△ABD≌△HBD（SAS），

则∠BHD＝∠BAC＝79°，DH＝DA＝DE，∠BDH＝∠BDA＝60°，

所以∠HDC＝60°＝∠CDE，

因为CD是公共边，得△CDH≌△CDE（SAS），

所以∠BEC＝∠CHD＝180°－∠BHD＝180°－79°＝101°.

3变式探究

训练1如图3-①，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，点P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别为∠BAC，∠ABC的角平分线.求证：BQ＋AQ＝AB＋BP.

法1如图3-①，设BQ和AP相交于点M，易知BM＝BP.分析结论需证AB＋BP＝BQ＋AQ，即证AB＝AQ＋MQ，这是常见题型.在AB上截取AD＝AQ，易证△ADM≌△AQM，所以AQ＝AD，故需再证MQ＝BD.而MQ＝MD，所以只需证BD＝DM，即证∠DBM＝∠DMB＝40°，这是不难的.

法2如图3-②，易证BQ＝QC，所以需证AB＋BP＝AC.延长AB到点D，使BP＝BD.连接DP，再证△DAP≌△CAP即可.

法3如图3-③，因需证AB＋BP＝AC，故延长CB到点D，使DB＝BA，连接DA，故需证DP＝AC.事实上，DP＝DA且DA＝AC.

读者不妨自己试试写出具体证明过程.

训练2如图4-①，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线B从交AC于点M，∠BCA的邻补角的平分线CP交AB的延长线于点P，连接MP交BC于点K，求∠AKM的度数.

分析本题图形复杂，隐藏有多个角平分线的结论，由条件逐一分解图形.

如图4-②，延长MB得到射线MQ，由∠ABC＝120°可得∠ABM＝∠MBC＝∠CBP＝∠QBP＝60°.

可知BP、CP是△BMC的两外角平分线，交点是P，又“三角形的两外角的平分线与第三个内角平分线交于一点”，连接PM，在图4-③中∠BMP＝∠CMP.

观察图4-④，△ABM的两外角平分线交于点K，得∠BAK＝∠KAM.

观察图4-⑤隐藏有“一内角与一外角平分线的夹角等于第三个内角的一半”结构图，易知∠AKM＝12∠ABM ＝30°.

解如图4-⑥，过点P作PD⊥BM于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F.

因为∠DBP＝∠ABM＝120°×12＝60°，

∠PBC＝180°－120°＝60°.

所以∠DBP＝∠PBC，所以DP＝PE.

因为∠BCP＝∠FCP，

所以PE＝PF，

所以∠BMK＝∠CMK.

又过点K作KG⊥AB于点G，KH⊥BM于点H，KI⊥AC于点I，

所以KH＝KI.

因为∠MBC＝∠CBP＝60°，

所以KH＝KG，

所以KI＝KG，

所以∠BAK＝∠KAM.

因为∠BMC＝∠ABM＋∠BAM，

所以2∠KMI＝∠ABM＋2∠KAM.

所以∠ABM＝2（∠KMI－∠KAM）.

而∠AKM＝∠KMI－∠KAM，

所以∠AKM＝12∠ABM＝12×60°＝30°.

4結语

在平时的课堂教学中，教师要善于利用解题经验引导学生学会思考，恰当地引入“辅助问题”，通过一个简单问题的解答，对涉及的知识和方法进行归纳和提炼，并与当前问题进行对比，这些基本图形以何种形式对接，有效接洽，某条线段或某个角是哪些图形的公共元素，用什么方法解出，这样不断比较类比，直至问题解决.这样，在解答问题中，学生经历分析过程、思考过程、运算过程、推理过程，积累经验，感悟数学思想和解题策略.让学生在知识与技能的实际环境中加以应用，交流共享，进而形成能力，为学生培养创新意识、提升学生的数学素养奠定坚实基础.