基于结构化视角的小学数学单元复习教学探索——以苏教版数学五年级下册“圆的整理与练习”为例

江苏省南京市东山小学 李一婷

江苏省南京市江宁区教研室 戴厚祥

单元复习课是数学教学的一种重要课型，是在一个单元教学结束之后，对这一单元知识进行系统的回顾与整理，并为之后的学习奠定基础，在整个教学活动中发挥着承前启后的作用。教材中的“整理与练习”就是一种单元复习课，数学教师普遍按照“知识回顾—练习应用”的教学模式带领学生展开复习。这样的单元复习往往存在着“知识零散”“练习孤立”“方法封闭”等诸多问题，而结构化教学正是解决这一现实困难的有效途径。结构化视角下的单元复习应打破传统复习课罗列知识、逐题练习的固有模式，解决以往“零散”“孤立”“封闭”的问题，帮助学生学会用“整体的、联系的、发展的眼光”看问题，实现数学内容结构化、数学方法结构化和数学思维结构化，发展学生核心素养。本文以苏教版数学五年级下册“圆的整理与练习”为例进行具体分析。

一、串联数学知内容：从“零散”走向“整体”

苏教版数学教材“整理与练习”中编排了“回顾与整理”的环节，帮助学生全面回忆已学内容。例如，在五年级下册“圆的整理与练习”这一课时的“回顾与整理”教学中，教师往往带领学生经历两个学习过程：一是学生自主回顾单元学习内容，通过学生个体或集体的回答对本单元内容进行再现；二是聚焦问题突出重难点，组织学生围绕教材上的问题展开讨论，如：“圆有哪些特征？你是怎样发现的？举例说说什么是圆的周长，什么是圆的面积。我们是怎样推导圆的周长和面积公式的？”强化学生对重难点的认识。这样的复习看似面面俱到又彰显了重难点，实则仅仅对圆的相关概念进行了浅层次的回忆和再认，是一种知识“散点式”的“无序”罗列（如图1），并未让学生在原有认知经验的基础上形成深层次的、系统的整体认知，因而往往耗时耗力，效果甚微。

图1 “圆”的知识整理点状图

认知心理学家勒温认为“学习是认知结构的改变”，表现为“分化”“概括”和“再组织”这三种方式。在单元复习中，教师可以借助这三种方式帮助学生再现所学知识，厘清知识间的内在联系和逻辑关系，并重组自身的知识结构。因此，在组织“圆的整理与练习”的“回顾与整理”环节时，教师可以引领学生经历“分化知识—概括（即泛化）知识—重组知识”的过程。

1.发散回忆，分化知识

所谓“分化”，即“从一般到特殊”，这种学习原则尤其适用于学生的复习阶段。课始，教师启发学生对“圆”整个单元的内容进行发散性回忆，尽可能多地再现所学内容，并根据学生的回忆记录关键词，形成如图1所示的“点状”知识图。在此阶段，学生通过集体分享、吸纳补充等活动“扩充”学习内容，个体知识结构在量上发生变化。

2.联想关系，泛化知识

所谓“泛化”，即“由具体的、个别的扩大为一般的”。在如此多的与“圆”相关的知识中，学生可以通过寻找关键知识之间的内在联系将多个知识串联起来，并概括成相关的核心概念。例如，“圆心”“半径”“直径”“圆是轴对称图形”以及“画圆”等关键知识都是对“图形的特征”的基本认识；与“周长”相关的知识则是通过“滚圆法”“绕线法”猜想出“圆周长是直径的π倍”，进而认识“圆周率”，推导出周长计算公式；同样，与“面积”相关的知识则包含了通过“方格法”和“转化法”猜想出“圆面积是半径的平方的π倍”以及面积计算公式的推导；半圆、圆环、扇形以及其他组合图形面积及周长的计算则是对圆“周长”和“面积”的具体应用。由此，学生将相关的知识点串联成了四个“知识链”，其知识结构得以“系统化”，从无序走向了有序。

3.图示呈现，重组知识

结构化“是‘形式’‘关系’‘逻辑’等的集合”，并“通过‘符号’表征的方式表现出来”。图示呈现就是结构化学习的重要表征方式。研究表明，画图是“有益于学龄儿童”的“理解和整合”的策略。因此，教师可以引导学生将零散的知识点按前述的四个“知识链”用图画的方式呈现，并用箭头、色块、标注等将知识点与知识点之间的共性、区别以及关系详细表征出来，形成如图2所示的“网状”知识图。如在探究“圆的周长”时使用了“化曲为直”的方法，而探究“圆的面积”则使用了“化圆为方”的方法，这两者体现了“转化”的数学思想；再如，“圆心”即为“定点”，“半径”即为“定长”，这不仅是圆的特征，从中也能得到画圆的方法。诸如此类，皆可让学生以自己的理解赋予其“意义”，从而重组自己的认知结构，形成知识体系。

图2 圆的知识整理网状图

在这个过程中，学生不仅经历了再现知识的过程，而且经历了知识的二次理解与意义建构的过程，使无序的零散“知识点”串联成“知识链”，重组成“知识网”，从已有知识的简单再现走向知识结构的主动建构，建构成为一个有序的整体，让自己的知识结构得以更新和深化。

二、迁移数学方法：从“孤立”走向“联系”

结构化学习是实现深度学习的有效方式。“深度学习”从某种意义上来说是“为了迁移而学习”，亦即“个体能够将在一种情境中所学的知识应用于新情境”。结构化学习同样如此，学习不能停留在知识的本身，重在领会和理解数学知识，重在迁移和运用数学知识及其方法，达到举一反三、触类旁通的效果，这在单元复习课中尤其重要。因此，在复习课中，教师应提供具有层次性、关联性的“习题群”，让学生在“结构化”的习题探究活动中经历数学方法的建构过程，实现数学方法的有效迁移。

如苏教版数学五年级下册“圆的整理与练习”第一课时的“练习与应用”环节一共编排了13道习题，其中，第1～2题考查学生对圆特征的认识，第3～8题考查学生对“半径”“直径”“周长”和“面积”间关系的掌握及应用情况，第10～13题则考查学生综合运用图形的知识解决组合图形面积与周长的实际问题。各练习题虽然情境不同，但在考查知识点方面存在相似或重复现象。教师倘若遵循“按次序练习”“逐一讲解”的方式展开教学，难免让学生获得“只见树木，不见森林”的碎片感，耗时耗力且低效无趣。在教学中，教师可关注习题与习题之间的关联，按主要考查的知识点重组习题，打破习题之间的壁垒，将这12道习题分成如下三大组块开展教学活动。

组块一：圆及组合图形的特征练习，相关原题为第1、2题。教师按顺序动态呈现下列四个图形，让学生分别判断这四个图形是否是轴对称图形，各有几条对称轴，然后让学生观察、比较四个图形的轴对称情况，讨论圆对称轴数量变化的特点及原因。（如图3）

图3 圆及组合图形的特征习题图

组块二：圆的周长和面积练习，相关原题为第3、4、5、6、7、8题。首先，教师可安排学生独立完成第3题的表格，初步体会半径、直径、周长及面积之间的互逆关系，感悟并抽象此类实际问题的模型，如“半径→周长”型、“半径→面积”型、“直径→周长”型、“直径→面积”型、“周长→面积”型等。其次，教师同时呈现第4～8题，让学生依据第3题抽象出的模型对这5道习题进行归类整理，说出解题思路及注意要点即可。

组块三：组合图形的周长和面积练习，相关原题为第10、11、12、13题。在此环节中，教师可引导学生自主发散联想，紧扣圆的“变形”与其他图形的“组合”导致图形特征、周长、面积的变化情况而提出解决某一类问题的“一般”方法，回归到“特殊”，去解决教材中呈现的实际问题。如图4，学生可从形状的变式入手，由圆联想到“半圆”“四分之一圆”，探索它们的特征以及周长、面积的计算方法；也可从解题方法的视角加以联想，从“组合面积＝部分面积＋部分面积”和“部分面积＝总面积－部分面积”两个维度去拓展延伸；还可从“图形间关系”入手，探索组合图形中其他图形与圆形的关系从而使问题得以解决。

图4 组合图形的周长与面积习题结构图

通过习题的分组，学生在直观感受圆、正方形、长方形及三角形特征的基础上，感悟各种几何图形的共性与区别，经历分类、对比、抽象、概括的过程，建构某一类数学问题的直观模型，从而在解决实际问题时能快速地提取数学信息和解决方法，省时又高效。在这个过程中，学生的几何直观、模型意识和推理意识等数学核心素养也得以形成和发展。

三、优化学科思维：从“封闭”走向“发展”

学科思维是一种学科认识世界时所运用到的学科独有的思想观念、分析系统和研究工具，具体表现为灵活运用学科知识，以特定的学科思维方式分析和解决问题。新课标明确提出，数学不仅是一门研究数量关系和空间形式的科学，还为人们提供了一种认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律的思考方式。因此，在数学教学中，教师不仅要让学生记住“我们学习的内容”和“如何运用我们学习的内容”，还要促使学生理解“我们是如何开展学习的”，通过经历独立的数学思维过程，养成讲道理、有条理的思维品质和思维习惯，培养良好的科学态度和理性精神。

例如，在“圆的整理与练习”单元复习中，教师不仅要引导学生关注相关知识的梳理和归纳，还要让学生掌握图形学习的思维路径。首先，厘清并概括平面图形学习的过程和路径。教师可以启发学生思考“我们是如何认识圆的”，帮助学生从整体上明晰图形学习可以从“图形的特征”和“图形大小的度量”两方面展开探索。其次，借助思维路径尝试独立探索其他图形。学生自主地从这两个维度出发去认识半圆、扇形、圆环或其他组合图形，包括这些图形的组成要素、各要素的特点、轴对称情况、周长和面积计算等。最后，拓展延伸至立体图形的探究。圆是学生在小学阶段认识的最后一个平面图形，之后，他们还将学习长方体、正方体和圆柱等立体图形。平面图形的学习路径同样适用于立体图形的学习，带着这样的图形学习的思维路径，学生将顺利地展开后续立体图形的学习和探索。

再如，在“周长和面积”的复习中，教师还应引导学生比较周长计算公式和面积计算公式推导过程的共性，进而凸显“转化”的数学思想。圆的周长公式推导是利用“滚圆法”或“绕线法”将曲线转化为线段，体现了“化曲为直”的数学思想；圆的面积公式推导则是利用“分割法”将圆转化为一个近似的长方形，体现了“化圆为方”的数学思想。在这个过程中，学生都是将未知转化为已知，借助已有的知识经验解决新的数学问题。学生在今后的数学学习或解决问题中也可以运用这样的学科思维，使数学学习从“封闭”走向“发展”。

总之，数学单元复习应着眼于学科知识、学科方法和学科内容的结构化。这样，教师不仅能有效促进学生整体把握数学的基础知识和基本方法，还能更好地促使学生形成从已知向未知迁移的数学思维，真正发展学生的数学核心素养。