基于核心素养理念的立体几何概念教学探究——以《平面》教学为例

林 洁

（杭州市余杭高级中学，浙江 杭州 311100）

《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》提出，学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力。[1]核心素养指的是学生的全面发展，具体体现在：学生在进行学习的过程中主动学习，并且掌握一定的学习方法且具备自我学习的意识；学生具有良好的生活习惯，进而达到一种自律的状态；能进行良好的沟通和交流；一定的实践能力和动手能力；面对新事物需要具有创新精神；在团队合作过程中，能够勇于承担自己的责任，具备团队合作意识等等。学生数学核心素养的提升的主要途径之一是课堂教学。教师要抓住课堂教学的一切契机，培养学生的数学核心素养，促进学生数学能力和数学核心素养的提高。现以立体几何概念教学为例谈谈培养学生数学核心素养的几点认识。

1 高中数学概念教学的实践

1.1 注重概念的获得，突出数学抽象素养

数学抽象是数学六大核心素养之一，《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》提出数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。

在概念课教学中，概念的归纳概括是教学活动的一个重要环节。教师可让学生先观察周围事物，直观感受平面的本质属性，再让学生回顾直线的概念与特性，从而抽象出平面的概念与特征。学生在学习的过程中，积累从具体到抽象的活动经验，体会从直观到抽象的学习方法，养成一般性的研究数学问题的习惯，抽象素养得到发展。

图(1)

图(2)

教学目标：理解平面的概念，能归纳出平面的特征。

教学策略：平面是立体几何的基本元素，是立体几何的基础。在教学活动之中，教师首先确定本节内容在整个立体几何学习中的作用，让学生了解到本节课学习的重要性。让学生在观察生活中的实物图的过程中了解平面的概念，通过与直线概念的回顾加深对概念的理解。类比直线的表示方法介绍平面的表示方法，进而探索其性质。考察学生的观察能力，培养学生认识我们所处的世界是一个三维立体的空间，培养学生的观察素养和空间想象素养，从而增强学生的学习兴趣。通过与直线的对比，让学生学会从已知问题出发，用类比的思想学习新的知识。

教学内容:通过观察课桌、直尺等实物图，探索平面的概念和特征。教师将直线与平面进行对比进行教学。教师让学生观察实物中的直线，然后抛出问题：同学们，请你们回顾直线的特征。直线的特征包括了三个方面：直的，可以进行无限延伸，直线没有粗细。在回答了直线的特征后，教师再让学生观察实物图中的平面，让学生对比直线的特征讨论平面的特征。类比直线特征归纳平面的特征也包括三个方面：平的，可以无限延展，没有厚度。这样学生不仅复习了直线的概念也明确了平面的概念。长期下来，学生掌握了研究问题的一种方法——类比。这跟培养学生的逻辑推理这一数学核心素养的观点是一致的。

教学反思：通过观察事物了解平面以及归纳平面的特征，培养学生的观察能力和空间想象能力；通过与直线的对比来学习平面，学生学会了用类比思想研究问题的方法；通过对本节所学的知识进行了归纳和整理，使学生对平面有了更加深入的认识。

1.2 关注概念的几何特征，培养直观想象素养

理解概念，归纳概念的特征是应用概念解决问题的基础。平面是空间的基本几何元素，也是学生第一次接触的几何元素。平面的概念是描述性的概念，对学生来说比较抽象。三个基本事实实际上是对平面的概念的剖析，是概念的基本性质。教师从文字语言，图像语言与符号语言三个角度进行描述，数学符号，体现数学问题的严谨性，表达的简洁性，通过图形语言，将抽象问题直观化。

在学习的过程中，学生通过直观想象发现问题，再根据发现的问题提出相应的数学问题；应用图形的直观性寻找解决问题的方法，找到解决问题的突破口；学生在应用图形“发现问题，提出问题，再解决问题”的过程中，形成用几何方法研究问题的习惯，形成数形结合的思想，体会几何直观的作用和意义，提升直观形象素养。

图(3)

教学目标：掌握三种数学语言的转换和翻译，熟练点线面关系符号语言的书写，掌握平面的画法。培养学生的空间想象的能力和实事求是的科学品质。

教学策略：介绍空间图形对直线是实线还是虚线的要求。通过回顾直线以及两条相交直线的画法，掌握平面的画法，并明确平面的表示方法。明确“线动成面”，通过画直线进而画出平面，培养学生的动手能力和空间想象能力。

教学内容:让学生观察平面的画法，并进行总结、发现：在立体几何中，经常用平行四边形表示平面。在平面水平放置的过程中，借助斜二测画法将平行四边形的锐角画成45 度角，将横边画成邻边的二倍。画两个平面相交的时候，当一个平面的一部分被另一个平面遮挡的时候，应该被遮住的部分画成虚线或者是不画。一般情况下用希腊字母表示平面。教师在进行教学的过程中，可以让学生首先明确立体几何之中的基本元素，即点、线和面。从图形运动的观点看，点动呈线、线动呈面，进而可以将直线和平面看成是点的集合体，因而他们的关系不仅可以用文字或者是图形进行表示，还可以结合集合中的符号语言进行表示。

教学反思：明确平面的画法，通过观察图形明确空间点、线和面的位置关系，并会用符号语言表示这一些位置关系。培养学生的实践素养以及实事求是的科学探索素养。

1.3 注重数学符号的应用，培养逻辑推理素养

史宁中教授说要让学生学会用数学的语言表达世界。教学中，我们要培养学生会用数学语言表达的能力。借助于数学符号，通过一定的数学推理过程，将思维外化，让思维可见，从而提高学生的逻辑推理能力。数学推理是用数学方法解决问题的关键步骤。

立体几何实际上是用符号语言来描述空间的基本元素点线面的位置关系与数量关系。表达的基础是熟悉相应的符号语言，在三个基本事实的教学中，教师要注重三种语言的转化，尤其要重视符号语言的应用。在用数学符号语言表达数学问题的过程中，不断提升学生的逻辑推理能力，促进逻辑推理素养的发展。

必修第二册中阐述了三个基本事实，本节课要介绍的三个基本事实比较抽象，学生不易理解，有时候就算理解了，也不会实际应用。所以在对基本事实1，基本事实2，基本事实3 的教学中，跟学生一起探讨归纳三个基本事实作用成了本节课的一个难点。

基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

图形语言：（如图4）

图(4)

基本事实1 的推论：

推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面

推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面

推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面

基本事实1 以及它的三个推论的作用：

（1）怎样确定平面；（2）判断一个图形是否为平面图形；（3）证明四点共面。

高考对立体几何的考查中，常常会考查求证四点共面的问题，基本事实1 及其推论常常作为这一证明的理论依据，如果我们在教学中能及时发现归纳和总结，这一类问题就迎刃而解了。

基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。

图形语言：（如图5）

图(5)

符号语言：

A∈l,B∈l且A∈α,B∈α⇒l⊂α

基本事实2 的作用：1.确定直线在平面内理论依据；2.确定点在面内的理论依据：只要直线上有两个点在一个面内，则直线上有无数个点在这一个面内,实现了有限向无限的转化，与线面垂直的判定定理有异曲同工之妙。

基本事实2 的第一个作用学生比较容易想到，而作用二难以想到，需要教师引导学生一起发现并归纳总结。

基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

图形语言：（如图6）

图(6)

符号语言：

P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,P∈l

基本事实3 的作用是：1.证明三点（多点也是一样）共线；2.证明三线共点。

下面举2009 年辽宁省的一个高考题和一个练习来介绍基本事实3 的应用。

例题1：(2009 年辽宁高考理科)如图7，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一个平面内，M,N分别为AB、DF的 中点，用反证法证明：直线ME与BN不在同一个平面内。

图(7)

证明：假设ME∈α,BN∈α,设EN∩CD=K,则K∈α,K∈平面ABCD,所以点K是平面ABCD与平面α的一个交点。

因为α∩平面ABCD=AB,由基本事实3 得K∈直线AB.所以CD∩AB=K，与AB//CD矛盾，所以直线ME与BN不在同一个平面内。

练习：如图8 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：B1D与平面A1B1C1D1的交点H是△A1C1B的重心。

证明：连接BD,B1D1,B1D1∩A1C1=E，平面A1BC1∩平面B1D1DB=BO。因为H∈B1D，所以H∈平面A1BC1又因为平面A1BC1所以点H是平面A1BC1与平面B1D1DB的一个交点，根据基本事实3，点H在△A1C1B的中线BE上。

连接B1C,A1D记B1C∩BC1=F。

同理可证点H在△A1C1B的中线A1F上。

图(8)

基本事实的作用的探讨与归纳化抽象为具体，激发学生的空间想象能力，检验了学生的基础知识同时发散了学生的思维。在思考和解决问题中完善这部分的知识。教师首先让学生独立思考，学会利用辅助线进行解题，培养学生对思考的习惯和空间想象的能力。接下来让学生明确立体几何证明的步骤，每一步需要具备什么条件，如何推导，步步紧扣证明培养学生的逆向思维。

2 概念高中数学教学的反思

2.1 初高中概念学习的差异

初高中概念学习存在以下差异，教师要做好初高中教学的衔接。

一是初中的数学概念都是直接给出，或者直接给出具体的问题，高中需要从具体的问题中抽象出一般的概念与本质属性。高中数学需要让学生经历归纳、概括事物本质的过程，提升数学抽象素养。

二是学生在初中接触的是平面几何，遇到空间图形时缺乏相应的空间想象能力，有些甚至将空间图形看成是平面图形，这对学习立体几何知识体系是十分不利的；高一的学生了解数形结合思想，但应用意识相对薄弱，应用的能力还有待提高，因此学生的直观想象素养需要提升。

三是高中数学与初中数学对比，高中数学抽象，初中数学具体。高中数学引入了很多符号，表达简洁，推理严密。符号的应用与推理的严谨性是教学中的难点也是重点，因此学生的逻辑推理素养需要培养。

2.2 教学中应注意的几个问题

2.2.1 注重学生基本知识和基本技能的落实

新课标提出“四基”，即数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。也提出了“四能”，即用数学的眼光来发现问题，提出问题，分析问题，并解决问题的能力。在我们教学过程中，要把这“四基、四能”落到实处，注重学生对基本概念的理解和掌握，同时培养他们能用所学的知识来解决一些简单的实际问题，为他们以后的求学铺好“大道”。如果我们在平时的教学中脱离“四基、四能”，那么培养学生的数学核心素养只会是纸上谈兵。

2.2.2 整体把握教材以问题为驱动

对于教师来说，自身要有教科研的精神，在教学中会发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，起到为人师的榜样作用。在立体几何概念教学中，初学者要学好、掌握了其实是一件困难的事情，教师要积极引导，在教学中创设一个情境，能更直观地表达平面这一概念，并且能分析清楚本堂中的几个重要的基本事实的作用，从知识层面、认知层面再到实际应用层面逐步提升，充分调动学生学习知识的内驱力，提高学生发现问题、提出问题和分析、解决问题的能力，提升了学生的数学核心素养。在日常教学中教师要整体把握单元内容，切记孤立地教学，同时也引导学生能够将知识与知识间串联起来学习，对知识的理解也会更加深刻，在实际应用中能够更加得心应手。

总之，在立体几何概念教学中，教师不仅要将概念讲清楚、讲明白，同时也要注重概念教学中学生数学核心素养的培养，使学生独立思考问题、解决问题的能力得到有效提高。