全Fock 空间中生成子的谱研究*

耿德文，闫 成

(新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017)

0 引言

1932 年, 物理学家Fock 给出了Fock 空间, 用来解决全同粒子系统中玻色子的表示问题[1].随着算子代数理论的发展, Fock 空间被推广为全Fock 空间(参阅文献[2] , 当时不称为全Fock 空间).二十世纪九十年代Voiculescu 等[3]提出了自由概率理论, 半圆元(见文献[4], 29页) 是自由概率理论中用于计算的核心工具, 恰好Fock 空间中生成子与湮灭子的和是半圆元.这使得全Fock 空间成为自由概率理论中的一个重要例子.近年来,q-Fock 空间是全Fock 空间的最新进展[5].此外, Zhu[6]指出Fock 空间在量子物理学、海森堡群调和分析以及偏微分方程中有广泛的应用.

半圆元生成的von Neumann 代数被称为自由von Neumann 代数, 自由von Neumann 代数给出了一个非交换概率空间.自由概率理论给出了非交换概率空间中的中心极限定理等一系列重要定理[3].Cuntz 代数[7]是C*-代数的一个基本例子, 由全Fock 空间中的生成子生成的C*-代数是Cuntz 代数[3].这意味着单独研究生成子的性质也是有必要的.

Voiculescu 等[3]利用半圆元的谱及概率分布给出了由全Fock 空间中的半圆元生成的非交换概率空间高阶矩的表示.但对于生成子的谱研究还没有相应的结果.因此, 本文主要对全Fock 空间中的生成子的近似点谱进行研究.

1 预备知识

设H 是一个实Hilbert 空间的复化, 即H=HR+iHR[8], B(H)是H 上的有界线性算子.对任意的X ∈B(H),X:=ReX+iImX, 其中ReX:=(X+X*)/2 称为X 的实部, ImX:=(X-X*)/2i 称为X 的虚部.对算子X 的谱集分类如下: σp(X)表示算子X 的点谱的全体, σc(X)表示算子X 的连续谱的全体, σr(X)表示算子X 的剩余谱的全体.特别的, σp(X),σc(X),σr(X)是互不相交的集合, 并且σ(X)=σp(X)∪σc(X)∪σr(X).进一步, 在文献[9]中, 算子X 的联合点谱是满足如下条件的λ 的全体, 记为σjp(X): 若存在一个ReX 和ImX 的非零公共特征向量f ∈H, 使得

算子X 的近似点谱是满足如下条件的λ 的全体, 记为σa(X): 若存在一个单位向量序列{fn}⊂H, 使得

算子X 的联合近似点谱是满足如下条件的λ 的全体, 记为σja(X): 若存在一个单位向量序列{fn}⊂H, 使得

在文献[3]中, H 上的全Fock 空间定义如下:

F(H) 是Hilbert 空间, 其中H⊗0:= C1 是一个一维的Hilbert 空间, 这里1 := 1 ⊕0 ⊕0 ⊕···是一个单位向量, 称为真空向量.任意的η ∈F(H), 在全Fock 空间中对应的向量形式如下: η = (c,ξ11,ξ21⊗ξ22,···), 其中c ∈C,{ξij}i,j∈I⊂H, I 是指标集.对任意的ξ ∈H, 有关系式ξ(0,ξ,¯0⊗¯0,···), 因此H 可以嵌入到F(H)中.B(F(H))上的迹态τH(X)由F(H)上的真空向量和内积定义, 即τH(X):=〈X1,1〉,X ∈B(F(H)), 我们称之为真空期望态.

对于ξ ∈H, 其对应的左生成算子(后面简称为生成子) l(ξ):F(H)→F(H) 定义为

其中: {ξij}i,j∈I⊂H.l(ξ)的共轭算子l(ξ)*满足以下条件

2 生成子谱的性质

首先给定ξ ∈H, 已知l(ξ)∈B(F(H)).为了方便, 我们简记l(ξ)为l.

定理1 生成子是hyponormal 算子.

证明对任意的ξ1,···,ξn∈H 有

由此可得, l*l-ll*≥0, 结论得证.

对生成子的研究我们需要借助文献[9]中的以下性质.

性质2[9]令T 是semi-hyponormal 算子, 则

性质3[9]设T ∈H, 则z ∈σjp(T)当且仅当存在一个非零向量f, 使得

定理2 当ξ 是H 中的单位向量时, σjp(l(ξ))=σp(l(ξ))⊂{z||z|2=1}.

证明由定理1 知, 生成子l 是hyponormal 算子, 则由性质1 和2 得σjp(l)=σp(l).设z ∈σjp(l), 则由性质3 知, 存在f ∈F(H), 有lf=zf, l*f=¯zf.又l(ξ)*l(ξ)=〈ξ,ξ〉I=I, 这里I 是恒等映射.由l(ξ)*l(ξ)f=z¯zf=f知, |z|2=1.所以σjp(l)⊂{z||z|2=1}, 结论得证.

记πx,πy分别表示从复平面到x 轴与y 轴的投影，即对任意的复数z=x+iy, 有

性质4[9]令X+iY 是hyponormal 算子, 其中X, Y 是自共轭的, 则有

令l(ξ)=X+iY 是生成子, 其中X:=Rel=(l+l*)/2, Y :=Iml=(l-l*)/2i, ξ 是H 中的单位向量.由文献[4,168页]知σ(X)=[-1,1].下面是我们的主要定理.

定理3 令l=X+iY 是生成子, 其中X=(l+l*)/2, Y =(l-l*)/2i, 则有

证明根据性质4 我们直接得到πx(σa(l))=σ(X), πy(σa(l))=σ(Y).下面我们借助文献[10,定理6.6.3]中的方法来计算Y 的谱.因为H 中的基向量可以看成HR中的基向量,所以我们可以在HR中考虑这一问题.对任意的ξ1,···,ξn∈HR, 我们给出类似Wick 积的定义,

取ξ 为H 中的任意一个标准正交基, W′(ξ⊗n)是关于2Y 的n 阶多项式:

由W′的定义及l*l=I 可以得到

这就说明{W′(ξ⊗n)}n≥0是L2(Γ(HR))的正交系.

由Y 是自伴的, 可知对任意的λ ∈σ(Y)有|λ|≤‖Y‖.又‖Y‖≤1, 所以σ(Y)⊂[-1,1].又由Riesz 表示定理,存在唯一的σ(Y)上的测度μ 使以下等式成立,