具有高危易感年龄和潜伏期年龄的HIV 传播模型研究*

王雅萍，王生福，聂麟飞

(新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017)

0 引言

艾滋病医学全名为获得性免疫缺陷综合征(Acquired Immune Deficiency Syndrome,AIDS),是一种危害性极大的传染性疾病.自1981 年世界上发现第一例艾滋病病毒(Human Immunodeficiency Virus, HIV)感染者以来,AIDS 便以惊人的速度向全球蔓延,现已成为全球最大的公共卫生问题之一.据联合国艾滋病规划署和世界卫生组织2018 年公布的数据, 全球约有3 950 多万人感染艾滋病病毒, 因艾滋病死亡人数达290 多万[1].

近年来各国都在加大力度预防和控制艾滋病的传播,诸多学者也从不同角度出发建立了各类动力学模型,利用数学模型刻画HIV/AIDS 的流行规律和流行趋势.例如,文献[2-3]提出了具有治疗的HIV/AIDS 模型,用下一代矩阵方法定义了基本再生数并刻画了HIV 传播的全局动力学行为.文献[4]利用随机常微分方程建立了HIV 传播模型, 证明了模型全局正解的存在唯一性, 给出了疾病灭绝和持续存在的充分条件.然而, 上述HIV 传播动力学模型在数学建模时都对易感人群采用了同质性假设,忽略了一些高危易感人群(如,血友病患者,吸毒者等)比普通易感人群更容易感染HIV, 这会导致所得到的结果可能会跟实际情况有一定的偏差.因此, 将易感人群分为普通易感人群和高危易感人群, 考虑具有不同感染率的HIV 传播模型更具有现实意义.

此外, 在传染病的传播过程中, 仓室年龄, 如感染年龄、疫苗年龄等因素对疾病的传播有着重要的影响.例如, 病原体在宿主之间的传播率与其入侵宿主的时间长短密切相关.目前, 已有学者关注了这一问题, 如,Mccluskey[5]提出了具有潜伏年龄和感染年龄的传染病模型, 证明了该模型解的渐近光滑性和一致持久性, 并通过构造Lyapunov函数研究了地方病平衡态的全局稳定性, 其建模思想和研究方法被广泛引用[6－8].

基于上述讨论, 为更精准地描述HIV/AIDS 的传播规律, 本文将易感人群分为高危易感人群和普通易感人群, 提出一类具有高危易感年龄和潜伏期年龄的HIV 传播模型, 讨论该模型无病平衡态和地方病平衡态的存在性和稳定性以及疾病的持久性.

1 模型的建立和预备知识

将某个特定地区的人群分为五类: 普通易感类、高危易感类、潜伏类、感染类、治疗类, 并分别用S1(t),S2(t,a), E(t,b), I(t), J(t)表示, 这里a, b 分别表示高危易感类和潜伏类的仓室年龄.基于艾滋病在不同人群间的传播规律, 建立如下具有类年龄结构的HIV 传播模型, 该模型由微分方程组

和

组成.这里, 参数Λh为人群的补充率; β1, β2(a)分别是艾滋病感染者对普通易感者和高危易感者的感染率系数;p 是普通易感者由于沾染不良行为转变成高危易感者的速率; ω(a)是高危易感者由于接受教育或改变自身行为等因素变为普通易感者的比率; θ(b)是HIV 潜伏者发展为艾滋病感染者的速率; κ 为因病死亡率; μ 为人口的自然死亡率.由于个体感染艾滋病后无法治愈, 所以γ 表示感染个体的治疗率.

定理1 对任意的u0∈X0+, 模型(1)存在唯一的积分形式的连续解u(t).此外, 由Φ(t,u0)=u(t,u0)定义的映射Φ:[0,+∞)×XX 是一个连续的半流,即,映射Φ 是连续的且满足Φ(0,·)=I(I是单位映射)和Φ(t,Φ(z,·))=Φ(t+z,·).

定理2 对任意t ≥0, 具有非负初始条件的模型(1)的解都是非负且最终有界的.

是模型(1)的正向不变集.

2 无病平衡态的存在性及稳定性

利用下一代算子方法定义模型(1)的基本再生数为

关于模型(1)无病平衡态E0的稳定性, 有下面的结论.

定理3 若R0＜1, 则E0是局部渐近稳定的; 若R0＞1, 则E0是不稳定的.

证明令S1(t)=S01+x1(t), S2(t,a)=S02(a)+x2(t,a), E(t,b)=x3(t,b), I(t)=x4(t), 在无病平衡态E0处对模型(1)进行线性化可得

这是矛盾的, 因此当R0＜1 时G(λ)=1 的所有根都具有负实部, 故E0是局部渐近稳定的.

为讨论无病平衡态的全局稳定性, 我们需要以下引理.

引理1[10]若B : R+→R 是有界连续可微函数, B∞= liminft→∞B(t), B∞= limsupt→∞B(t), 则存在序列{sn}和{tn}, 使得当n →∞时, 有sn→∞, tn→∞, 且B(sn)→B∞, B′(sn)→0, B(tn)→B∞, B′(tn)→0 几乎处处.

3 地方病平衡态的存在性及稳定性

若R0＞1, 则有F(0)＞0, 由连续函数零点存在定理可知, 至少存在一个I*＞0 使得F(I*)=0, 即当R0＞1 时存在地方病平衡态.

综合上述讨论, 关于模型(1)地方病平衡态的存在性, 有下面的结论.

定理5 若R0＞1, 模型(1)存在地方病平衡态E*=(S*1,S*2(a),E*(b),I*).

为研究模型(1)地方病平衡态的全局性质, 需要证明疾病的一致持久性.为此, 定义

根据文献[12], Y 和∂Y 都是模型(1)的解半流Φ(t,x0)的正向不变集.

定理6 若R0＞1, 则模型(1)的解半流{Φ(t,x0)}t≥0关于(Y,∂Y) 是一致持久的.即, 存在一个不依赖于初值的常数∈＞0, 使得对任意的x0∈Y, 有limt→∞‖Φ(t,x0)‖X≥∈.

证明首先证明E0在∂～Y 上是全局渐近稳定的.设(S10,S20(·),E0(·),I0) ∈∂Y, 则(E0(·),I0) ∈∂～Y.考虑模型(1)的子系统

由于limsupt→∞S1(t)≤Λh/μ, limsupt→∞S2(t,a)≤Λh/μ, 由微分方程比较原理, 对任意t ≥0, 有E(t,b)≤～E(t,b),I(t)≤～I(t), 其中(～E(t,b),～I(t))是下面系统的解

4 结论与展望

基于HIV 的传播规律, 建立了一类具有高危易感年龄和潜伏期年龄的HIV 传播模型, 利用下一代算子方法得到了基本再生数R0的精确表达式,并通过线性近似方法得到了当R0＜1 时无病平衡态是局部渐近稳定的.进一步, 利用波动引理证明了当R0＜1 时无病平衡态是全局渐近稳定的.最后, 证明了当R0＞1 时模型解的一致持久性, 并通过构造合适的Lyapunov函数证明了地方病平衡态是全局渐近稳定的, 这也保证了地方病平衡态是唯一的.

临床数据表明, HIV 感染者的传染性与其病毒载量有关.病毒载量在感染HIV 后和艾滋病发展期这两个时期被认为是较高的, 而在感染的潜伏期通常较低[14].本文为了进行必要的理论分析, 忽略了潜伏期HIV 感染者的传染性, 这可能会造成一些误差.因此, 建立并讨论潜伏期具有感染能力的HIV 传播模型是一个值得深入讨论的问题.