强调数学思想 提升数学素养

陈冠峰

[摘  要] 数学思想是解决数学问题的基本策略，是提高学生解题能力的关键. 在教学中，教师要引导学生用数学思想方法去分析和解决问题，以此形成数学能力，提升数学素养. 文章以转化思想为例，阐述转化思想在提高解题能力中的重要意义，以期在教学中关注学生转化意识的培养，从而将抽象的、复杂的问题向具体、简单转化，有效提高学生的解题效率.

[关键词] 数学思想;解题能力;数学素养

人们常说“得数学者得天下”，由此可见数学学科的价值与地位. 高考数学题目灵活多变，解題方式多种多样，对学生的学习能力和思维能力要求较高，因此教学中教师应关注学生解题能力的训练. 值得注意的是，训练学生的解题能力不是搞“题海战术”，而是通过数学思想方法的渗透让学生认清问题的本质，掌握解决问题的方法，继而通过对典型问题的探究提高学生举一反三的能力.

在传统教学中，教师将教学目标定位在知识的讲授上，忽视了数学思想方法的渗透和提炼. 数学思想方法作为解决问题的基本策略，其在解题中是无处不在的，关系着思维发展和能力提升，因此教学中教师应重视学生掌握这些数学思想，并灵活运用数学思想解决问题，以此提高解题效率.

笔者以转化思想为例，结合具体案例呈现“转化”在解题中的重要意义，以期在解题时能够灵活运用数学思想方法，巧妙地解决问题，提高解题能力.

数形转化，简洁直观

许多数学题目比较抽象，乍看上去很难找到解题的突破口. 为了解决这些抽象的问题，解题时可以尝试数形转化，从而借助“形”的直观将抽象的数字、公式等内容具体化、形象化，让学生结合生动的图形信息找到解题的突破口.

例1 已知关于x的方程=x+m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.

解题时学生容易想到=x+m可转化成m=-x，但转化后很难将其与“方程有两个实数根”建立联系，故此路不通. 接下来学生又想到两边平方，去除根号，从而将其转化为关于x的一元二次方程，根据已知可得“Δ>0”，求出实数m的取值范围. 不过，通过该方法运算，过程比较复杂，为了化繁为简，提高解题效率，解题时不妨引导学生应用数形结合，将等式两边转化为两个函数“y=”与“y=x+m”. 结合图象易发现，直线y=x+m随着m值的不断增大，它与曲线y=由“无交点”到“一个交点”到“两个交点”到“一个交点”再到“无交点”进行着变化，易求m的临界值. 由此借助“形”的直观，降低了问题的难度，优化了运算过程，可以提高学生的解题能力.

数形结合是重要的解题方法，当面对一些抽象的代数问题时，若能够合理地转化往往可以给人心旷神怡的感觉，让那些原本复杂的、摸不着头脑的问题变得简单，有助于增加学生的解题信心，提高学生的解题能力.

正反转化，豁然开朗

对于一些数学问题，有时候若从已知出发——直接正面求解可能走许多弯路，而若从结论出发——反向入手可能使问题求解容易得多. 因此，解题时教师可以鼓励学生从不同角度去思考和解决问题，这样往往会收到一些意想不到的结果，让解题思路变得豁然开朗，大大提升解题效率.

例2 已知在区间[-1，1]内，至少存在一个实数x，使得函数f（x）=6x2-3（m-2）x-2m2-m+1为正，求实数m的取值范围.

解题时大多数学生习惯从正面（即f（x）>0恒成立）出发，尝试应用数形结合法来求解，但m的取值范围需要分多种情况进行讨论，显然过程复杂，不是最优的解决方法. 为了优化解决方法，解题时教师不妨引导学生反向出发，也就是在区间[-1，1]内，f（x）≤0恒成立. 二次函数的二次项系数为6，故函数图象开口向上. 在区间[-1，1]内，函数图象可能是先减后增的，也可能是单调递减或单调递增的，因此只要确保f（-1）和f（1）都不大于零，那么在区间[-1，1]内的函数值自然也就不大于零. 这样反向出发，得到m的取值范围后取其补集，问题即可获解.

显然，反向思考可以有效避免复杂分类所带来的错解风险，从而有效提高解题准确率和解题效率. 解题时，若遇到障碍则要考虑变换思考方向，或许就可以化“一筹莫展”为“豁然开朗”.

一般与特殊的转化，迎刃而解

一般与特殊是重要的数学思想方法，其不仅应用在概念、公式、定理等内容的推导上，在解题中也有着重要作用. 当遇到一些较为复杂的问题时，可以从特殊的角度出发，先找到解决特殊情况的方法，然后通过扩展条件向一般化转化，以此探究一般方法，掌握一般规律，提高解题效率. 当然，探究一般问题时，也可以通过添加限制条件，将其转化为特殊问题，运用一些巧妙的方法解决. 不过无论是一般转化为特殊，还是特殊转化为一般，都需要寻找共性，对共性进行深度剖析，得出答案.

例3 已知函数f（x）=，那么f（-2017）+f（-2016）+…+f（0）+…+f（2016）+f（2017）+f（2018）=______.

显然例3是无法直接计算的，必须探寻其中蕴含的规律，从而利用巧妙的方式求解. 由于结论为偶数项，因此容易想到两两相加会得到一个特殊结果. 为了探究这个特殊结果，可以从特殊情况入手，选取最简单的两项f（0）和f（1），得f（0）+f（1）=+=，接着继续验证f（-1）+f（2），代值化简得f（-1）+f（2）=.由此可以推断，两两相加均为. 由于这个式子共有4036项，故其结果为1009.

例3是填空题，利用以上方法求解简洁、高效. 解题后有学生提出了这样一个问题：若例3是一道大题该如何求解呢？对于大题，每步都要做到有理有据，若利用特殊化进行验证显然有些牵强，因此解题时需要借助特殊情况探究一般性结论. 对于以上发现，可以转化为探究f（x）+f（1-x）的结果，即若f（x）+f（1-x）=，问题便可迎刃而解.

解答一般性问题时，如果题目内容较复杂，不妨从特殊情况出发，寻找特殊情况的解决方法，然后将其迁移至一般情况中进行思考，合理推论题目的一般情况，探寻解决问题的一般方法. 若解题时能处理好一般与特殊的关系，则可以大大提升解题效率.

建模转化，融会贯通

数学与生活紧密相连，因此可以根据生活实际来建立数学模型，然后根据数学模型得到的结果去解决实际问题. 通过实际问题与数学模型的相互转化，可以提高实际问题的解决效率，彰显学以致用的本质. 为了考查学生解决实际问题的能力，常将实际问题精炼成数学问题，以此让学生在解决问题的过程中感悟数学的应用价值，提高学生数学学习的积极性.

例4 6个人站成一排，小明和小刚不能挨着，有多少种站法？

例5 餐桌上原有7道菜，现增加3道菜，在原有菜品顺序不变的情况下，有多少种排法？

教学排列组合知识后，教师给出了以上两道类似的问题，让学生运用已学数学模型解决它们. 问题给出后，学生很快分辨出它们都是“相离问题”，解决的方法相同，都用插空法，不同的是例4中小明和小刚两人不能相鄰，而例5中的3道菜可以相邻. 对比分析后，解题思路便形成：对于例4，除去小明和小刚，其他4人有A种站法，这4人形成了5个空位，将小明和小刚分开插入空位有A种站法，所以共有AA=480种站法. 对于例5，需要一个个先后将3道菜插入空位，即有7道菜时有8个空位，故第一道菜插入空位有A种排法;第一道菜插入空位后，形成了9个空位，故第二道菜插入空位有A种排法，以此类推，共有AAA=720种排法.

排列组合问题较复杂，若解题时不进行建模转化而直接求解，不仅会消耗大量的时间，而且最终可能失败. 为了让学生更好地解决此类问题，应对常见题型与解决办法进行汇总，引导学生利用数学模型来解答，这样可以有效提高解题效率. 同时，教学中教师要引导学生进行对比分析，找到各问题间的区别与联系，以此让学生认清问题的本质，找到实际问题所对应的数学模型，从而利用数学建模的方式解答问题.

有些题目看似相同却有着本质的区别，而有些题目看似不同却有着相同的解答思路，因此教师要教导学生解题前应认真审题，理清问题的来龙去脉，以便通过合理的转化高效地解决问题，实现知识的融会贯通.

可以说转化在解题中无处不在，因此教学中教师应重视学生转化思想的培养，打破传统教学模式的束缚，让学生站在更高的角度思考问题，以此提高学生的解题效率.