前有“蕴蓄” 后有“突破”——单元整体视角下《平行与垂直》教学与思考

文|徐晓良 黄陈辰

一、剖析：直面现状，寻图形教学的症结点

在日常教学中，虽然学生掌握了相关的概念，但是并不能应用概念来识别图形，对图形本质特征以及图形之间的区别与联系的理解还不到位。以2019年嘉兴市五年级上册期末检测卷中的一道题为例：下图中两个正方形的边长分别是5 厘米和4 厘米，图中的四边形ABCD 是（ ）形。全市学生的正确率仅为38.9%。

进一步对城区学校五年级某班进行第二次测试，改编问题为填空加论述：有一大一小两个正方形，图中的四边形ABCD 是（ ）形，你的判断依据是什么？学生填空的正确率为36.6%。进一步访谈发现学生错误的原因是：第一感觉看着不像梯形，63.4%的学生觉得看着是平行四边形。

可见，学生在系统学习了单元内容后仍依赖于“直观感知”区分图形，没有从概念本质出发。而在日常学习中，标准图形刺激远大于变式图形刺激，学生凭表象感知来识别图形，在变式图形的计数与判断上容易导致错误的发生。

二、调查：学情分析，探知识生长的初始点

基于生活经验，学生对生活中的平行与垂直现象有一定的感知。为深入了解学生关于两条直线的位置关系以及本单元最难掌握的梯形的已有认识，随机抽取了本校40 名学生进行了前测（如表1）。

表1 《平行与垂直》教学前测

根据前测结果，结合对学生的访谈可知，对于第1 题，仅有两名学生正确作答；对于第2 题，学生对平行有直观感知，但对何为“垂直”基本没有概念；对于第3题，大多数学生对非标准式的，或者旋转后位置发生改变的梯形判断有难度，学生基本是凭直觉大致看一眼判断，误认为①②④不是梯形。

可见，学生对于有一定生活经验的“平行”能正确识别，而对于抽象性较强的“垂直”，以及与生活经验匹配度不高的特殊四边形，会因为思维固化，或者缺乏同化经验而不能灵活迁移。因此在建构概念时要根据学生的认知能力和思维水平从低起点出发。

三、解读：前延后伸，定单元学习的核心点

作为从一维的线向二维的面过渡的两个重要概念，“平行与垂直”以线段、射线、直线和角的学习为认知基础，也是后续平行四边形、梯形、三角形的概念及面积计算，长方体、正方体知识学习的重要根基。《义务教育数学课程标准（2022年版）》对此要求能辨认同一平面内两条直线是否平行或垂直。对比人教版、苏教版、浙教版、北师大版教材（如表2），可以发现各版本教学中都以问题为先导，引领学生开展探索交流。虽然各版本呈现方式有所不同，对两个核心概念的认识顺序各异，但都重视学习素材的直观呈现，借助动态演示或具体操作，帮助学生内化概念本质。

表2 各版本《平行与垂直》教学内容对比

聚焦本单元重点内容平行四边形和梯形，作为二维图形的再认识内容，要求进一步从图形的要素、名称及关系来描述其特征，既是从边和角的要素进行图形认知，也是从高和底的角度对“面”感知。如何引导学生对平行四边形和梯形形成结构化的认识，并能运用猜想验证、类比迁移、特征分类等加深对图形本质特征和图形之间关系的深度理解，实现从直观感受图形特征到探索图形本质属性的成长与跨越，是我们本单元教学中的核心点和思考点。

四、统整：蕴蓄突破，架“表象———本质”的着力点

基于以上分析与思考，尝试将“认识平行和垂直”和“认识梯形”进行重组，将本单元最难认识的梯形在“平行和垂直”的教学中进行渗透，将四边形教学贯穿单元教学的始终。第一课时从探究图形出发，到特殊图形中寻找平行、相交、垂直不同的位置关系，再回到对图形的再认识，通过系列化的学习任务，引导学生认识图形与要素、图形与概念之间的关系，明确数学知识之间的联结方式，促进学科关键能力的提升。

（一）图形解构，直观化中理解概念

从直角梯形引入，依托直观化的素材，通过“梯形解构——共性寻找——趣味命名——深入辨析”四个环节，凸显核心概念。在这一环节中学生在理解平行和垂直概念的同时，对梯形的特征有了第一次初步的感知。从梯形分解引入，为后面进一步“还原”梯形研究其本质特征做铺垫。

首先，将梯形进行解构，分解出两组对边、四组邻边。将每一组邻边所在的直线向两端无限延长，引导学生先想象延长后形成的图形，再PPT 演示验证直线延长过程，以此提升学生的空间想象能力。

结合延长后所形成的图形，引导学生从四组相交的情况中找共同点，根据学生多样化的回答，如从“角”（有的图形形成了两个锐角和两个钝角，有的图形形成了四个直角；这些图形的对角都相等），从这些图形都有一个交叉点（即两条直线的交点）等多角度的思考中培养学生的发散思维。

以“趣味命名”方式凸显核心概念。先让学生童趣化“命名”，然后揭示数学家的定义，形成“相交、交点、垂直”等概念，进一步获得邻边所在的直线都相交的结论。特别地，对于“垂直”这个新名词，抓住“两条直线相交成直角”的本质特征，经历垂直的验证过程，积累活动经验。

借鉴学习邻边的经验，适时抛出问题“对边中是否也有这样的相交现象”，借助《学习单》探究对边所在直线的两种不同情况，经历自主思考、作品交流、深入辨析的过程，通过延长的方法得到左、右对边所在的直线都相交的结论，完善学生对相交的认知。针对上、下底所在直线的这一组对边，让学生解释一定不相交的理由，发现“永不相交———平行”的现象，也让学生对平行线间的距离处处相等有一定的感知。

（二）联结重组，结构化中突出本质

在学生知晓了平行和垂直的概念之后，让学生在生活中寻找举例，引导学生用数学的眼光观察世界。对于“互相平行、互相垂直、垂足”等概念的学习，让学生以自学释疑的方式，在自学课本内容圈一圈、画一画的基础上，说一说学到了什么，再聚焦核心问题解析重点，突破难点，让新知的习得顺理成章。

练习的设计从线到面，层层递进。练习一是对平行与垂直的巩固，涵盖了延长后是否属于平行或垂直的情况，也涉及两条曲线的情况。针对学生易错的④号图形，让学生展开辨析，抓住垂直本质特征进行判断。

练习二是对梯形特征的梳理，尤其是非标准式的梯形和旋转后位置发生改变的梯形的抽象，突出梯形“只有一组对边平行的四边形”这一本质属性。学生认识了梯形的各种表现形式，留在脑中的梯形表象将更加鲜明，对梯形特征的理解也更加深刻。

练习的设计不仅指向学生深度理解平行和垂直的概念，还进一步运用概念抽象感悟梯形本质特征。这样的结构打破了原来先认识平行和垂直，再研究平行四边形和梯形的教学方式。在研究图形时，发现一组对边平行，一组不平行的四边形是梯形，将表象感知与本质特征结合起来，使学生对图形的识别不仅仅依赖于表象，更能从图形本质特征进行理性判断，实现从图形本质意义上对梯形特征的第二次认识。

（三）多维建构，模块化中贯通关联

延伸第一课时重组教学路径，从单元视角出发，站在结构化整合视角，关注知识间的关联度，以板块化的形式进行重组，形成更具有结构化、模块化的“边”“角”“高”“解决问题”“图形变换”五大系列，让知识的发生发展更贴近学情，有助于核心知识点的提炼与研究，促进学生思维的发展。（如表3）

表3 《平行四边形和梯形》单元整合

其中，第二课时以“角”为切入点，猜想并验证平行四边形与梯形的特征，对梯形进行分类，完善对四边形的认知。第三课时以“高”为主线，基于画垂线与在平行四边形和梯形中画高在本质上的共通性，从画垂线出发，将垂线段放置于图形中，沟通高的定义，让学生的学习融会贯通。第四课时从解决问题的角度出发，基于对画垂线的掌握，用画垂线的方式建构画长方形的过程，将垂线段的性质应用于解决生活中的实际问题。第五课时以趣味化的内容，在图形变换中寻找平行四边形与梯形间的联系与区别，在变换中体会四边形容易变形的特征，让学生的学习更具体验感与挑战性。

在后续深入学习平行四边形后，再结合学生的生活实际，借助图形转换，类比分析，进一步认识梯形的特征并实现对它们的分类，通过研究图形之间的联系与区别，关注图形与图形之间的内在逻辑关系，多维度构建对梯形的全方位认识，完成对梯形特征的真正理解与应用，在三次认知中实现学生几何思维能力的真正提升。