“深度教学”视域下的高中数学精准教学研究*——以椭圆及其标准方程为例

广东省广州大同中学(510545) 袁 安

1 “深度教学”视域下的高中数学精准教学模式

图1

“深度教学”视域下的高中数学精准教学模式要求教师根据所学数学知识的属性及课型进行科学分析,通过变易图式在课前、课中、课后针对性的进行深度的学习,通过大数据进行精准的教学设计和教学实施,充分发挥学生的自主性、能动性和创造性,让学生成为学习的主人,教学模式如图1.

2 “深度教学”视域下的高中数学精准教学模式的教材深度理解

理解教材意图既要从宏观上把握教材体系的结构、主线,从中观上要明晰教材内容呈现的方式、逻辑思路等,从微观上把握知识点的具体表征方式、内容,以及所涉及的思想方法.“椭圆及其标准方程”是一节数学概念课,是本章圆锥曲线的第一节课,是承接“直线与圆的方程”的学习基础上,用坐标法研究其他几何问题的第一个重要内容.从教材编排上讲,现行教材中把三种圆锥曲线独编一章,更突出了椭圆的重要地位,在研究过程中,数形结合思想和坐标法统领全局.从方法、基本模式和理论基础上讲,三种圆锥曲线的研究内容、过程和方法都是“同构”的,按照“曲线的定义——曲线的标准方程——通过方程研究曲线的性质——应用”的过程展开,在展开过程中,教科书把椭圆作为重点,突出它的典型示范作用.这也是大单元教学设计的典型做法,希望通过类比、同化的方式进行融合教学,以便重点突出的同时,也让学生掌握重要的数学研究方法和数学研究思路,为后期更深入的学习打下基础,提升学生的数学核心素养.

3 课前精准推送预习内容,深度了解学生最近发展区

为了课堂中让所有学生都能够在相同的最近发展区进行教学,在“椭圆及其标准方程”第一课时的课前推送3份课前预习资料和1份测试题:1、推送中学阿波罗尼圆的求解方法,让学生温习解析法求轨迹方程的“建、设、限、代、化、检验”六个步骤.2、推送化简根式和绝对值的等价条件,反思有哪些方法?特别是双根式和双绝对值使用什么方法可以更加简洁的化简.3、通过微课和翻转课堂形式推送求圆方程的4种常用方法,并得到了测试成绩如图2

图2

从后台数据看,学生都学习了推荐的相关知识和微课,从测试的结果看,基本掌握相关数学知识与方法,在灵活的应用过程中还有待提升.针对检测不及格的2位学生通过及时的反馈交流,了解出现问题的原因,并进行针对性的辅导,同时在课中要特别观注他们的反应.帮助全体学生达到课堂需要的最近发展区水平,保证课堂教学的精准性和针对性.

4 课堂深度教学过程的“精准”实施

4.1 借章节图,创设情景

为激发和维持学习动机,借教材章节引言,通过“用一个垂直于圆锥主轴的平面截圆锥得到的截面是圆的事件进行展开拓展思考.

若改变截面与圆锥主轴所成的角大小,截面会是怎样的曲线?使用GeoGebra软件,现场转动平面,用平面截双圆锥,再展现出他们的交线,从而得到图3.

图3

4.2 深度了解圆锥曲线发展史,渗透数学文化

以短视频的形式讲解圆锥曲线发展的三个阶段,第一阶段最初发现是公元前5世纪—公元前4世纪,数学家梅内缪斯用平面截不同的圆锥,发现了圆锥曲线.阿波罗尼奥斯在总结了欧几里得等前人的成果基础上,归纳提炼后系统化的写出了《圆锥曲线》一书,全书8篇,共487个命题,将圆锥曲线的性质网罗殆尽,以致后来2000多年的历史长河中,几乎没有任何一人能写出更多的性质.

第二阶段直到16世纪,开普勒发现了行星按椭圆的轨道围绕太阳运行,物理学上伽利略提出来“斜抛运动”时,物体运行轨迹是抛物线,人们才恍然大悟,“圆锥曲线”是自然界物体运动的普遍形式,需要利用数学工具来研究圆锥曲线的规律和性质,让我们更好的认知和理解圆锥曲线.

第三阶段是17世纪,随着笛卡尔发明了坐标系,创立的“解析几何”面世,使得人们可以通过代数方法来解决圆锥曲线问题,从而使人们对圆锥曲线的认识进入了新的阶段.

通过视频让学生了解圆锥曲线产生的历史背景,及其不同阶段的发展史,了解圆锥曲线的发展及应用.从而达到注重利用数学史料,渗透数学文化,激励学生敢于思考、勇于创新,向先辈学习.

4.3 深度体验,质疑探究,生生互动,归纳椭圆定义

4.3.1 深度体验、精准引导、变易探究、探究椭圆定义

表1 三种器材画出的图形

实验材料:纸板,图钉,无弹性的棉线,橡皮筋,钢丝,GeoGebra软件及PPT制做说明.

实验过程:在纸板上隔开一定距离的两点F1,F2扎上图钉;

实验1:选择比两点间距离稍长无弹性的棉线一根,将其两端打结固定在图钉上;

实验2:选择一根橡皮筋,将其两端打结固定在图钉上;

实验3:选择钢丝将其两端打结固定在图钉上,并且保证钢丝没有弯曲;

在三种器材上套好笔,拉紧器材,移动笔尖画图,作出的图形,归纳得到表1.

4.3.2 质疑探究、生生互动、变易区分、辨析概念内涵

为促进学生对椭圆概念的理解,选择用变易图式“区分”功能列举概念主要特殊的正、反例进行研究,对定值2a与|F1F2|=2c的大小进行研究.利用平板推送问题,同屏进行探究,并通过变易图式的“对比”功能引导学生进行互动辨析,形成表2.

表2 变易图式区分功能

学生自己归纳出不完备的椭圆定义:动点P到两定点F1与F2的距离之和为一定值2a,且(2a>|F1F2|=2c)时,动点p的轨迹是椭圆.

4.3.3 引申拓展、师生互动、变易类合、辨析概念外延

对比平面与空间:我们试验作图时都是在同一个平面内的,类比圆的定义:在平面内动点P到定点O的距离等于定长的点的集合.能否去掉在平面内?如果没有限制条件就应是空间动点P到定点O的距离等于定长的点的集合就是球.那么椭圆定义是否应加上平面内?引导学生对空间进行研究,让学生用剪刀剪下相同的椭圆,组成立体图形是椭球体,并用GeoGebra软件现场生成椭球,拓展学生的空间想象能力.让学生对定义进行辨析,并让学生对自己小组的作品投屏展示,相互讲解交流,统一椭圆定义的认知,得到表3.

表3 变易图式类合功能

最后让学生重新归纳总结出规范准确的椭圆的定义:平面内动点P到两定点F1与F2的距离之和为一定值2a,且(2a>|F1F2|=2c)时,动点P的轨迹是椭圆.

4.3.4 归纳总结、精准反馈、变易融合、深度理解概念

为了更进一步的完整理解概念,对应在空间中2a>2c变为2a=2c或2a<2c有什么结论?引导学生进行研究得到以下变易图式.通过老师的引导,同学们的相互沟通、交流和补充,完成对空间中动点到两定点距离之和为定值的图形的归纳总结,分别得到椭球、线段和无图形三类问题.得到表4.

表4 变易图式融合功能

为促进高中数学陈述性知识的巩固,我们通常选择思维导图、定期推送知识重组,列表比较;精致性讲述和举例等教学策略,从而得到图4.

图4

4.4 用坐标法(建、设、限、代、化、验证),求椭圆标准方程

遵循解析几何研究几何图形的逻辑,研究了椭圆的定义及椭圆的画法,如何求解椭圆的标准方程,引导学生回忆前一章直线与圆的学习,用坐标法的6个步骤(建、设、限、代、化、验证)引导学生进行类比探究教学.我们能否建立适当的坐标系求出椭圆的方程呢?

为调动学生的学习积极性,课中老师引导学生类比求圆的标准方程建系方法,通过抢答功能让学生投屏来展示自己的建系方法,教师及时的反馈,并收集归纳学生如下图的3类想法,引导学生相互交流,得到表5.

表5 三种常见的建系方法

从学生选择方法进行统计数据(如右图5)可以看出63%的学生选择以两定点所在直线为x轴,以两定点的中点为坐标原点建系,但还是47%学生没有进一步的分析和思考,直接以两定点所在直线为x轴,在两定点中选取一个点作为坐标原点建系.教师根据每一种情况进行点评,在点评时要肯定学生的每一种方法都是可行,各有优点和不足,并引导学生类比圆的标准方程,根据椭圆图形的对称性及化简过程的简洁化和后期的方程的标准化,以两定点的中点为坐标原点的建系方法更优.

图5

在建坐标系后,设动点P(x,y),通过|MF1|+|MF2|=2a,转化为代数式后,要求学生进行独立思考建立等式并进行化简,这时可以通过小组比赛的形式发布课堂测试,让学生们用自己的方法来书写化简过程,化简后再拍照上传,同学互相讨论学习.

上传的方法有直接平方法和移项平方两种情况,统计是否完成化简结果是(a2−c2)x2+a2y2=a2(a2−c2)情况统计结果如图6.

图6

从学生相互的评价中大家都能感受到对称式通过移项平方,可以相互抵消,化简时计算量更小一些,没有出现4次的情况,但直接平方的同学因为出现了4次式,计算量太大,学生心中有畏难情绪,所以难以化简出最后的结果.

为了突破本节课的难点,结合图形7,根据勾股定理,找出a与的几何意义.2a>2c,即a>c,a2−c2>0两边同除以a2(a2−c2)得到=1由图可知|OF2|=c,|OP|=|PF2|=a,勾股定理变形有b2=a2−c2,设b2=a2−c2(b>0).两边同除以a2b2得:=1(a>b>0)再用换元的思想得到标准方程,从而感受数学的简洁、对称、和谐之美.

图7

4.5 课堂精练,突出知识的综合应用

利用图式,把椭圆的文字、几何、代数表达书写出来,有目的地让学生深入探究并进行系统和全面的理解,全面掌握相关知识.明确他们之间相互联系,构建知识网络.同时为强化学生对标准方程的理解,可以适当加强用定义法和待定系数法求解椭圆的标准方程.归纳总结如下表6.

表6 三种语言表达相关定义

5 课后精准干预,推送个性化作业、学生翻转课堂自主学

根据课堂测试及课堂表现情况,对学生的复习进行精准的干预,推送针对性的课后测试,学生根据测试情况,推送错题解答和针对性的教学内容,学生进行反思和利用翻转课堂进行自主学习.并针对测试内容精准推送个性化的辅助作业和拓展性作业,根据学生的实际情况分层布置作业.从当天推送小测题得分率如表7.

6 “深度教学”视域下的高中数学精准教学模式教学成效分析

通过表7的数据第1题与第2题的得分率达到了96.7%,说明学生对椭圆定义及方程掌握较理想,但第3题得分率只有46.7%,本题较为综合,考查了新定义,过椭圆焦点三角形的几何性质,这类题型学生十分的不适应,解题还是停留在刚学习的内容或教师完全教过的内容,对类比及拓展性知识的学习还有待加强.另外焦点三角形的性质为第二节课几何性质讲解的内容,在这最主要是为下节课做准备同时起到承上启下的作用.

表7 高二(1)班课后测得分率

7 教学启示

7.1 教学过程避免形式主义,应重数学教学的本质

现在很多公开课的教学中,教师为了迎合学校的评价指标,大家都是按评价的条条框框来组建课堂,教师平时却从来不用,整个过程观赏性、作秀的成分太浓,花费大量时间在形式上.PPT设计的动画十分精美,视频录像很热闹,但与教学内容关系不大;答案展示十分完备,但黑板上没有任何的板书过程;课堂热闹在游戏之中,而不在数学思维的形成过程中,教学中没有体现出数学教学的核心思想.

7.2 教学内容避免浅层展示,应多维度体验感悟

教师在处理教材和内容时,对整体的教学框架不清晰,教学前后没有联系,只是把概念、公式、定理、性质读给学生听,没有充分的实例引导学生从概念的抽象生成及概念的内涵和外延进行剖析,学生只是进行了浅层次的记忆,没有理解其本质,不会分析解决,更不会灵活应用.

7.3 大数据应用避免喧宾夺主,应为精准教学服务

在使用信息技术和大数据时教师一定注意一个原则,信息技术只是教学工具,并不是万能的.大数据为我们提供了丰富的信息,我们要利用数据精准了解学情,并根据学情进行适当调整教学过程,让学生与教师的思维进行充分的交流与碰撞,让教学一直保持在学生的最近发展区进行,实施真正的精准教学.

8 结语

“深度教学”视域下的高中数学精准教学模式根据大数据伴随式的实时掌握学情,对教学理论、教学目标、操作程序、实现条件和评价方式进行充分融合后,把课前、课中、课后的教学进行了精细的分解,并对教学内容进行深度的体验式学习.解决了教师精准、科学地教,学生精准、高效地学,提升课堂教学效率,也提升学生的数学核心素养.