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基于现代数学视角看高中数学
——以二元一次函数求最值为例

2023-05-05贵州师范大学数学科学学院550025曾九龙

中学数学研究(广东) 2023年4期
关键词:中学数学最值函数

贵州师范大学数学科学学院(550025) 高 健 曾九龙 谢 徽

1 引言

数学,作为一门解决现实问题和培养人类逻辑思维的科学,从古至今不断发展,已成为人类与世界沟通交流的重要工具.在教育改革的新时代背景下,我国正从传统的应试教育逐渐向素质教育的新轨道转变,数学教育发展亦如此.教育方法的创新、教育理念的更新、问题解决方法的多样无疑是新时代数学教育发展为教师提出的新要求和新标准,如何将现代数学渗透到高中数学教学中,已成为当今数学教育界关注的热点问题[1].本篇论文主要从两者的区别和联系、渗透现代数学的必要性、函数习题案例及思考等方面进行阐述,旨在帮助教师更好地进行高中数学教学,促进学生更好地进行数学思考,培养学生用现代数学的眼光看待问题、解决问题.

2 关于现代数学与高中数学

现代数学兴起于20世纪30年代,其快速的发展速度为数学教育界带来了新的生机和活力,人类所熟知的集合论、非欧几何、泛函分析、拓扑学等知识都归属于现代数学的范畴[2].现代数学注重研究“数”和“量”的关系,以崭新的数学思想和观点诞生于世,成为人类世界极为珍贵的数学财富;而高中数学以其知识的抽象性、逻辑性和应用的广泛性存在于人类生活的方方面面,不仅是中学阶段学生需要探究和学习的科学知识,而且也是学生学习现代数学的基础和前提.

3 现代数学与高中数学之间的联系和区别

3.1 两者之间的联系

首先,两者在知识上的联系.高中数学倾向于对常量和特例进行探究,而现代数学侧重于对变量的研究,因此可以形象地概括为高中数学是现代数学的基础和特例.例如:在高中数学中,学习二元一次函数求最值时,倾向于采用“化归”的方法,建立两个变量之间的恒等关系,进而将二元一次函数转化为一元函数进行求解;但在现代数学中则注重利用拉格朗日乘数法进行求解.因此,二者正是知识上的联系,促进了两者之间的深度融合.

其次,两者在思想上的一致性.数学教育不单单是传授数学知识,更重要的是培养学生的数学思维和逻辑推理能力.高中数学知识体系中,涉及有方程与函数思想、数形结合思想、转化与化归思想、特殊与一般思想等等,而现代数学是对高中数学中所蕴含的数学思想进行进一步地深化.例如:高中数学知识中定积分的计算,解题思路一般是先求出原函数,再利用公式法进行求解;而现代数学倾向于向学生渗透数形结合思想,引导学生观察所围区域的面积进行求解,更加直观简便、易操作.虽然二者在知识深度上存在很大的差异,但是所渗透的数学思想却是同宗同源.

最后,两者的层层递进关系.高中数学是现代数学学习的基础,而现代数学又是高中数学知识学习的进一步深化和巩固,现代数学是基于更高的视角思维解决高中数学问题.例如,对于二元一次方程组或多元方程组求解问题,高中数学倾向于从代数角度进行探究和解决,而现代数学侧重于利用线性方程组行列式解的判定方法进行求解.因此,二者之间是互为基础和前提的,是低层次到高层次的飞跃.

3.2 两者之间的区别

图1

首先,数学思想的区别.高中数学知识中蕴含有数形结合思想、方程与函数思想、转化与化归思想等;而现代数学侧重从同构观点、公理化思想、集合论思想等方面进行数学知识的渗透[3].

其次,探究对象的不同.高中数学主要探究二维平面和三维空间的图形,而现代数学则侧重于从任意集合和公理化视角进行知识的探究,两者探究对象的不同,为数学问题解决提供了多维度的解决方法.

最后,数学语言使用的区别.高中数学中,知识的学习更多通过数学符号和图形符号进行呈现,而现代数学侧重于采用集合论符号或者数理逻辑语言进行表示,使数学更加科学化、形式化、规范化.

4 现代数学视角下研究高中数学的必要性

4.1 国家教育改革的推动

国家的繁荣与富强离不开教育的发展与进步,近几十年来,国家极为重视对教育的深化和改革,普及素质教育、改变传统“填鸭式”的应试教育.中学数学的学习集中于初、高中阶段,现代数学的学习更多汇聚于大学、研究生、甚至博士生阶段.因此,国家提倡学生能够不断扩大自己的知识储存容量,经历中考、高考进入大学阶段,大学毕业之后再继续读研、读博,甚至读博士后,通过现代数学知识的学习和深化,提高自身数学思维能力和问题解决能力.特别是现阶段提倡的“四基”,数学中蕴含的基本知识和技能已不能适应现阶段学生的发展需求,需要更多的数学思想和数学活动经验作支撑.这些思想和活动经验在高中数学中已涉及一部分,还需要现代数学进行进一步地扩展和渗透.

4.2 学生能力发展的需要

无论是理论学习还是实践操作,教育教学中参与的主角是学生,一切活动和经验的学习都应从学生角度出发.由于考学、就业等相关因素的制约,高中数学除了渗透相关的数学思想方法以外,更多地还是以知识的巩固和应用为导向,以考学为目标进行学习,研究的内容仅是学生处于某一阶段所要学习的知识体系,只限于浅层的角度思考问题和解决问题[4].因此,在高中数学教学中引入现代数学已成为当今数学教育的发展趋势和必要手段,以现代数学的视角纵观高中数学,具备一定的科学性、必要性和合理性.

4.3 教师水平提升的需要

教育的改革和深化无疑对教师队伍提出了新的要求和挑战,高中数学与现代数学的有机结合,激励着现代教师需要不断提高自己,运用“现代数学的眼光”进行教学.立足于现代数学视角提高教师自身专业水平和数学素养,既有利于教师创造性地运用数学,又有利于教师科学性地讲授数学[5].比如,当今数学教师在进行课堂教学时,习惯于借助多媒体,利用数学操作软件进行数学图象的展现和代数的运算,这种教学操作模式一方面有助于学生直观地学习数学,另一方面也便于教师将现代科学技术融入日常数学教学中,减少无效时间、提高课堂效率.

4.4 数学教育价值的实现

无论是高中数学的学习,还是大学数学的探究,很多学生都象征性地认为“数学是枯燥的”、“学习数学没用”,无形中对数学课产生一种厌恶感和失落感,导致数学的学习一落千丈.这种广泛存在的现象,违背了数学教育的初衷和宗旨,已经引起了当今许多学者的重视和研究.因此,为确保数学教育能够充分发挥它的育人价值,成为“大众所爱”的学科,将现代数学渗透到中学数学中,既是学生学习的应有之义,又是教师教学的必然要求.

5 立足于现代数学视角探究高中数学的函数问题

5.1 以二元一次函数求最值为例

在数学知识体系中,函数既是贯穿中学数学的主线,又是现代数学中最为基础的概念,函数中蕴含非常显著的数学思想——数形结合思想,在二维直角坐标系下利用函数特点和相关的函数表达式画出图象,利用图象探究实数和变量之间的关系,进而提升学生的数学核心素养,增强学生利用函数模型解决现实问题的能力.如果能够将现代数学有机地融合到高中函数教学中,那么师生对高中数学的理解和应用会更加深刻、更为全面[6].特别是高中知识的学习,会遇到许多难以解决的函数问题,仅凭借中学数学的技巧和方法难以快速解决,但运用现代数学的思想和观点进行解决则非常简便实用.

函数是一个非常广泛的知识体系,除了概念和表达式内容之外,还涉及到各类具体函数的性质及应用,如:单调性、奇偶性、周期性、最值等,经常用解析法、列表法、图象法等方法进行分析和探究.下面列举二元一次函数最值问题,渗透现代数学在高中数学中的应用价值和实际意义,帮助读者更好地理解两者之间的关系.

例1已知实数x>0,y>0满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是多少?

对于大部分高中生来说,可能首先想到的就是利用均值不等式进行求解.如:

从中学数学角度进行观察,大多数同学凭借日常积累和认知经验,可能都会采用上述方法进行解答,但利用现代数学维度同样也可以解决,而且操作非常简便,有利于简化解题操作、提高解题效率.如:

高中函数最值问题解决方法涉及求导法、线性规划求解法、一元二次方程求根公式法等,但这些方法并不适用于所有函数求最值问题.针对一些实际应用题,可能会涉及到两个变量甚至多个变量,导致学生无从下手,陷入思维混乱的解题探究中,出现事倍功半的效果.然而,将现代数学的思维观点引入高中数学学习中,得到的收获和效果正好相反.就如上述的二元一次函数求最值问题,从中学数学角度可以通过重要不等式方法进行求解,但这种方法过于常规,缺乏一定的创新性和新颖性.基于现代数学观点,利用拉格朗日乘数法进行求解,则更为简单和便捷.对于数学实际应用题,当涉及两个变量或多个变量时也可以运用拉格朗日乘数法进行求解.

5.2 案例思考

5.2.1 立足学生已有认知,渗透现代数学思想

现代数学强调数学的抽象性与结构性,教师不能将现代数学内容直接移入中学数学中,而应当立足于学生的知识基础、认知经验、思维水平,从学生的“最近发展区”出发,引导学生从现代数学的视角和方法探究问题、解决问题,促进学生领悟现代数学的知识本质、思想方法,顺利完成数学知识的迁移,提高学生的知识发展水平和问题探究能力.上述所举二元一次函数求最值案例,教师应当首先向学生传授拉格朗日乘数法、多元函数求偏导等内容,确保学生对此知识的理解和掌握,然后再有针对性地进行引导,启发学生聚焦于现代数学的视角思考函数问题.

5.2.2 提升教师专业水平,彰显现代数学价值

现代数学代表了当代数学的发展方向和特点,具有一定的前沿性和渗透性,是一般科学所不能比拟的[7].因此,基于现代数学这种特性,也在一定程度上强调数学教师除了掌握中学数学知识之外,还应当具备现代数学的思想和素养,不断提升现代数学专业发展水平,对现代数学知识既要适当地挖掘、延伸与拓展,又要逻辑严谨、条理清晰地传授给学生,更好地落实现代数学的教育价值.上述所举二元一次函数求最值案例,如果教师对拉格朗日乘数法的本质理解不清、方法运用不当,那么教师难以将现代数学的价值落实到学生的发展上,学生也难以运用现代数学的眼光看待问题.

5.2.3 联系中学数学教学,适当融合现代数学

20世纪60年代美国兴起的新数学运动,将很多大学的知识放到中学课程中进行学习,由于步子迈地过大,最终以失败告终[6].这也给数学教师一些启示:现代数学与中学数学的联系与融合,既不能太过,又不能止步不前,除了要顺应数学教育改革的时代潮流之外,还要注重现代数学知识与某些中学数学知识融合是否科学、现代数学解题方法是否简便等问题,确保两者融合的科学性、合理性、可操作性.上述所举二元一次函数求最值问题,显然利用现代数学方法更为简便,但并不代表所有习题中现代数学解题方法都比中学数学解题方法简便.因此,教师应当具备甄别功能,在对习题进行选取时,要注重两种数学体系解法的简洁性、操作性和应用性,有的放矢地引导学生选取最佳解题方法,进而帮助学生数学地思考问题、分析问题和解决问题.

总之,立足于现代数学视角看待高中数学体系,以现代数学思维学习高中数学知识,不仅是师生共同发展的需要,而且也是新时代高中数学教育改革与发展的重要趋势,需要教师在理论中不断丰富自己的知识储备,在实践中不断进行探索研究,以培养学生的核心素养为目标,真正落实数学教育的价值和意义,帮助学生感悟数学思想、体验数学之美.

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