似“糖水”一样有味的一个教学案例

黄仁寿

摘  要：“函数的单调性”一课的教学展示，以“一碗水中加入一定量的糖，糖水浓度的变化规律”引入课题，最后用函数单调性的定义探究了在“未饱和状态下，糖加得越多，糖水越甜”这一生活常识进行呼应. 教学设计从整体高度确定教学目标，遵从了概念课教学的一般规律，始终坚持聚焦于学的基本原则，以问题串为抓手推进教学过程，是恰似“糖水”一样有味的一个教学案例.

关键词：函数的单调性；整体立意；教学目标；一般规律；预设和生成

“函数的单调性”一课的教学展示，以“一碗水中加入一定量的糖，糖水浓度的变化规律”引入课题，最后用函数单调性的定义探究了在“未饱和状态下，糖加得越多，糖水越甜”这一生活常识进行呼应. 整个教学过程流畅自然、精彩纷呈、引人入胜，堪称似“糖水”一样有味的一个教学案例.

“函数的单调性”是高中数学函数主题的一个核心概念，当然也是一个十分传统的内容. 执教教师将传统的内容教出了新意. 具体表现在如下几个方面.

一、从整体高度确定课时教学目标

大单元整体立意是近年来关于教学设计的热门话题. 从单元教学的层序性来看，函数的单调性的学习分为四个层次. 第一层次，从图形语言到符号语言的过渡，理解函数的单调性的概念，体会常用逻辑用语的重要意义，会用定义证明简单函数的单调性；第二层次，研究几种初等函数的单调性，理解用代数方法研究函数的单调性的基本思路；第三层次，利用導数研究函数的单调性，感悟导数是研究函数的单调性的有力工具；第四层次，利用函数的单调性研究数列、不等式、方程等问题，理解研究函数的单调性既是数学本身的需要，更是表达现实世界的需要，是构建数学模型的有效语言. 本节课的教学位于第一层次.

本节课在给函数的单调性下定义时，以[fx=x2]为例，引导学生对函数的单调性定义中“[?x1，x2∈D]（[D]为定义域的子集）”中[x1，x2]的任意性进行了深度辨析，从而理解无论是取两个值[x1，x2]或是取三个值[x1，x2，x3，] 甚至取无数多个值[x1，x2，x3，…]，均不能保证“[?x1，x2∈0，+∞，] 当[x1

这是近年来高中数学教学立意的最明显改变，是值得高度肯定的一种变化.

二、遵从概念课教学的一般规律

近年来，得到普遍认同的概念课教学的一般规律是：先为概念的引入创建一个适切的情境，再在特定的情境中抽象出数学概念，接着对概念进行辨析和变式训练，最后进行归纳总结和作业布置.

本节课以“糖水中不断加糖，糖水越来越甜”创建了函数单调性的问题情境，在学生熟悉并喜欢的背景中提出了函数单调性的概念，并以“糖水浓度问题”为例诠释了函数单调性定义的具体应用，以及运用过程中的一般程序，同时呼应了引入课题的情境，可谓匠心独运. 本节课教学所遵从的正是概念课教学的一般规律.

三、始终坚持聚焦于学的基本原则

数学教学的植根基点在于学生的学. 本节课坚持了以“四基”为抓手，以“四能”为指向，以学生发展为中心的素养立意的教学观. 教学中能充分地让学生展示，并通过展示过程中的反馈调节，使教学的预设和生成成为一个相得益彰的有机统一体.

本节课的教学预设是符合课时教学目标和学生实际的. 执教教师没有将任何一个问题的结论强加给学生. 每个结论都是在执教教师的引导下，学生自主思考、合作交流后得出的. 与此同时，执教教师给予了学生充分的展示空间. 展示中还有许多精彩的生成，执教教师恰时恰点地因势利导，放大了生成的正效应，也让学生体验了发现的快乐，从而发展了学生的情感、态度.

例如，在师生良性的双边活动中得出来的刻画单调性的差商模型（如图1），就是一个很好的生成.

再如，执教教师布置的作业中包含一道必做题和一道选做题，具体如下.

作业1（必做题）：证明函数[y=x+2x]在区间[0， 2]上单调递减，在区间[2，+∞]上单调递增.

作业2（选做题）：利用画板工具探究[fx1-fx2x1-x2]的大小与某区间内函数值增长快慢的关系.

这两道作业题不是简单的“拿来主义”，而是课堂教学内容的进一步深化和新的生成，也是数学探究活动的进一步延伸. 这是本节课的教学设计的一个出彩之处.

四、以问题串为抓手推进教学过程

本节课的教学过程分为六个环节，通过由九个问题构成的问题串紧密相连、顺次相依，让学生经历和体验了函数单调性概念的抽象过程. 这个过程具有数学思想方法和数学思维活动的启迪功能. 以问题串为抓手，以提问和追问为手段，在特定的问题情境中抽象出数学概念，在不断的问题解决中发展数学能力，培育数学核心素养，已经成为教学过程的一般规律. 执教教师遵从并发展了这个规律.

值得商榷的是，本节课的课题引入用了三个情境，分别是糖水问题、李白《将进酒》诗句、嘉峪关温度曲线，费时较多. 虽然《将进酒》诗句具有浓郁的文化味，也确可以作为函数单调性概念的“先行组织者”，但笔者认为要忍痛割爱，因为两个引入情境已经足够了，多了反而会冲淡情境的作用. 而且《将进酒》相关内容在课堂教学中没有呼应，如果不用它，就做到了“所有的情境都有呼应了”，这不是更好吗？

本节课过程流畅、回味良多，是恰似“糖水”一样有味的一个教学案例.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］. 上海：华东师范大学出版社，2021.