勾股定理证明方法探究

张岩

本文探究了勾股定理的证明和思想。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理”。勾股定理，描述的是直角三角形三边的数量关系。勾股定理是数学中发现最早的一个定理。勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力。

一、勾股定理

勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。数学公式中常写作：a2+b2=c2 （直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c）。这个定理在中国又称为“商高定理”， 在外国称为“毕达哥拉斯定理”、“百牛定理”或 “驴桥定理”。

二、勾股定理的证明

勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力。千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，反复论证。目前勾股定理的证明方法已有很多种，基本上每种证明方法大都把几何知识与代数知识相结合，充分体现了数形结合思想的魅力，转化思想的巧妙。本文就讨论几种具有代表性的证明方法以及一些具有探究性的证明方法，探究勾股定理的奥妙。

大家熟知的有毕达哥拉斯的证法、赵爽弦图的证法，刘徽的证法三种比较著名的证明方法、下面讨论一下其他的一些证明方法，非常值得我们探究学习。

（一）欧几里德证明方法

在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。 设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

做三个边长分别为[a]、[b]、[c]的正方形，把它们拼成如图一所示形状，使[H]、[C]、[B]三点在一条直线上，连结[BF，CD]。 过[C]作[CL⊥DE]，交[AB]于点[M]，交[DE]于点[L]。

因为[AF=AC，AB=AD]

[∠FAB=∠GAD]

所以 [ΔFAB?ΔGAD]

因为 [ΔFAB]的面积等于[12a2]

[ΔGAD]的面积等于矩形ADLM的面积的一半

所以矩形ADLM的面积 等于[a2]

同理可证，矩形MLEB的面积等于[b2]

因为正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

所以[c2=a2+b2]，即[a2+b2=c2]。

这种方法简单易懂，灵活运用了几何和代数方法的结合。

（二）利用相似三角形的性质证明

如图二，在直角[ΔABC]中，设直角边[AC、BC]的长度分别为[a，b]，斜边[AB]的长为[c]，过点[C]作[CD⊥AB]，垂足是[D]。

[在ΔADC和ΔACB中]，

因为[∠ADC =∠ACB = 90?]

[∠CAD =∠BAC]

所以  [ΔADC∽ΔACB]

[AD：AC=AC：AB]

即  [AC2=AD×AB]

同理可证， [ΔCDB∽ΔACB]，从而有[BC2=BD×AB]

所以[AC2+BC2=（AD+DB）×AB=AB2]，即[a2+b2=c2]。

（三）利用切割线定理证明

在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c。 如图三，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD=BE=BC=a。 因为∠BCA=90?，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线。 由切割线定理，得

AC2=AE·AD

=（AB+BE）（AB-BD）

=（c+a）（c-a）

=c2-a2，

即b2=c2-a2，

∴a2+b2=c2。

（四）利用多列米定理证明

在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c（如图四）。 过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆。 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

AB·DC=AD·BC+AC·BD，

∵ AB =DC=c，AD=BC=a，

AC=BD= b，

∴AB2=BC2+AC2，即c2=a2+b2，

∴a2+b2=c2。

（五）作直角三角形的内切圆证明

在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB= c。 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图五），设⊙O的半径为r。

∵ AE=AF，BF=BD，CD=CE，

∴ AC+BC-AB=（AE+CE）+（BD+CD）-（AF+BF）

=CE+CD=r+r=2r，

即a+b-c=2r，

∴a+b=2r+c。

∴（a+b）2=（2r+c）2，

即a2+b2+2ab=4（r2+rc）+c2，

∵S△ABC=[12]ab，

∴2ab=4S△ABC，

又∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=[12]cr+[12]ar+[12]br=[12]（a+b+c）r =[12]（2r+c+c）r=r2+rc，

∴4（r2+rc）=4S△ABC，

∴4（r2+rc）=2ab，

∴a2+b2+2ab=2ab+c2，

∴a2+b2=c2。

（六）利用反证法证明

如图六，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D。

假设a2+b2≠c2，即假设AC2+BC2≠AB2 ，则由

AB2=AB·AB=AB（AD+BD）=AB·AD+AB·BD

可知AC2 ≠AB·AD，或者BC2≠AB·BD 。 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB。

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠A=∠A，

∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则

∠ADC≠∠ACB。

在ΔCDB和ΔACB中，

∵ ∠B=∠B，

∴ 若BD：BC≠BC：AB，则

∠CDB≠∠ACB。

又∵ ∠ACB=90?，

∴ ∠ADC≠90?，∠CDB≠90?。

这与作法CD⊥AB矛盾。所以，AC2+BC2≠AB2的假设不能成立。

∴a2+b2=c2。

勾股定理是中学数学中解决问题的基本定理之一。本文探究了几种有关勾股定理的证明方法，以几种经典的证明方法为引子，从不同角度思考来证明勾股定理的方法，可以让大家更深入地理解勾股定理的结构，对勾股定理的证明可以从不同角度去思考，启迪学生面对同一问题要从不同的角度来思考和看待问题。