高中数学建模教学的必要性与教学策略

[摘要]数学建模是连接现实世界和数学世界的关键桥梁，是把数学工具引入到实际问题的重要步骤。培养学生的数学建模能力是社会发展的实际需要，并且高中数学知识自身带有建模的属性，由此可见，高中数学建模教学十分必要。高中数学建模教学的教学策略包括：充分应用往年的数学建模竞赛试题；教会学生熟悉数学建模的流程；培养学生数学建模能力。

[关键词]核心素养；数学建模；教学策略

[中图分类号]G521 [文献标识码]A

[DOI]：10.20122/j.cnki.2097-0536.2023.07.043

随着近代数学的发展，数学建模作为数学科学技术转化的主要途径越来越受到人们的重视。再随之我国进入新发展阶段，应用型、复合型、创新型人才需求稳健增长[1]，数学建模在工程、医学、经济、能源等其他领域发挥着重要作用，数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。数学建模能力已然成为当代科技创新工作者的一项必备技能。数学建模是连接现实世界和数学世界的关键桥梁，是把数学工具引入到实际问题的重要步骤。

一、高中数学建模教学的必要性

（一）高中数学建模教学的社会背景

教育必须满足社会发展的需要，培养学生的数学建模能力是社会发展的实际需要。西方的部分大学从二十世纪六七十年代就开始推出数学建模课，我国在二十世纪八十年代初也开始在大学中引入数学建模课。目前大多数的数学专业本科生都会必修数学建模课程，很多其他专业的本科生也会选修数学建模课程。随着最新的《普通高中数学课程标准》将数学建模作为核心素养提出后，各地的中学也逐渐开始开设数学建模课，使学生能够有意识地用数学语言描述现实问题，发现和提出问题，学会用数学知识解决实际问题。

除了各校开展的建模课程，数学建模竞赛亦在向学生们推广普及数学建模。竞赛以另一种形式促进学生进一步体会数学在现实生活中的作用，增强学生对数学知识的理解，提高学生用数学解决实际问题的能力。从1997年起，北京数学会举办了北京高中数学知识应用竞赛，每年一次，每年大概有1万人参赛，该活动一直持续了23年，受益的学生非常多。从2020年起，北京师范大学数学科学学院数学建模教育中心将该活动推广到全国，更名为数学建模（应用）能力展示活动，活动分两个阶段：第一阶段以闭卷考试的形式，学生需要在两个半小时内完成数学建模（应用）能力测试题；第二阶段，需要学生提交一篇完整的建模论文，并开展数学建模论文评比与答辩展示活动，但这两个阶段互相独立，分开评奖。第一阶段的试题不是简单的数学应用题，都是来自于现实生活，有实际背景的原创问题，需要学生掌握一定的数学建模思想和方法。学生需要先读懂题目中已经完成的部分建模环节，在这个研究思路的基础上继续解决问题。

（二）高中数学知识自身带有建模的属性

如何有效地开展建模课程，培养学生的建模能力一直是广大中小学教师的研究重点。教材中的实际问题经过很好的抽象，基本建立了成熟的模型，而且大多数实际问题都是为了引入新的知识点而介绍的，很多教师自然会把重心放到具体的知识讲解中，而忽略了分析其中的建模环节。中学的建模课程大多还处于校本课程阶段，全国没有统一的教学参考资料，目前流行的很多中学教学参考书和大学建模课中的问题重合度很高，而大部分参与到数学建模课程的同学以高一、高二年级为主，这些学生往往都还没有完整系统地学习过基本初等函数、导数、数列、向量、解析几何、概率等模块的内容，对这些学生来说每接触一个新的模型时，这个模型中涉及到的数学工具对他们来说基本都是陌生的，基于学生往常的数学学习经验，他们又会习惯成自然地将重心放到数学知识的学习理解上，而忽略了重要的对整个模型构建的分析过程，学生们学到的大部分是模型中涉及到的数学工具而不是建模的方法，这不免有些舍本逐末。我们知道，数学建模是打通现实世界和数学世界的桥梁，数学建模过程就是帮助学生们学会如何打通这两个世界，而不是让学生见识数学世界中有多么厉害多么高深的数学知识。学会“用数学”而不仅仅是“数学”，学生要学会的是如何从实际问题中抽象出数学问题，用数学的语言加以量化，给出合理的假设，分析出研究问题的目标，找到合适的数学工具解决问题，并能解释模型的合理性，这是一个综合的数学运用过程。我们希望通过数学建模过程达到的目标和义务教育阶段数学学习的总目标是一致的，在这个过程中，学生逐步学会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。我们希望学生在整个建模过程中获得一部分数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，我们也希望学生在探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识和方法分析问题和解决问题，更希望在整个建模过程中让学生对数学有好奇心和求知欲，了解数学的价值，欣赏数学的美，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心，养成良好的学习习惯，形成质疑问题、自我反思和勇于探索的科学精神[2]。综上分析，找到符合学生们知识背景且符合现实意义的建模例子是所有中小学老师备课过程中一直要思考的关键问题。

二、高中数学建模教学的教学策略

（一）充分应用往年的数学建模竞赛试题

用好往年的数学建模（应用）能力展示活动中的测试题有助于学生理解什么是数学建模。刚接触数学建模的同学都会有这样的疑问，到底什么是数学建模，平时练习中的数学应用题不是数学建模吗？数学建模竞赛就是解应用题吗？显然，数学建模不同于数学应用题，数学应用题大多是将纯数学题附加了实际背景，它是有标准解答的，但数学建模要解决的问题叙述往往是模糊的，答案具有不确定性、不唯一性。《课标》是这样解读的，数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型、最终解决问题[3]。也就是说数学建模不仅包括建立模型、求解模型环节，还包括之前的发现和提出问题环节，以及后续的检验和完善模型环节，是一个更为综合的解决问题的过程，或者说发现和提出问题的环节是更重要的环节。学生们对数学建模的陌生主要来自于课本中的大部分问题的背景简单，模型清晰明了，非常容易忽略其中的建模要素。往年的数学建模（应用）能力展示活动中的测试题目往往有以下特点：来源于生活，背景广泛；阅读量大，综合性强；关注建模要素。测试题目全都来自于现实问题，取材领域广泛，问题新颖，注重考验学生们分析问题的能力，而不仅仅是简单地对已经掌握的知识的照搬套用。测试问题表述带有现实背景，阅读量较大，需要学生适当抽象、简化、变通，给出合理假设以适当简化复杂的现实环境。整个过程中，如果学生不能完成对背景知识的充分解读，缺乏创造力和洞察力，不清楚基本的建模步骤，这样建立的模型必然是不好的。

（二）教会学生熟悉数学建模的流程

数学建模（应用）能力展示活动中第一阶段的测试题可以理解为一种初步的数学建模活动。完整的建模活动包括发现问题、分析问题、模型建立与求解、模型的检验与改进几个大步骤[4]，其中分析问题环节是建立模型的关键，问题分析清楚就相当于靠近了问题的本质，问题自然会迎刃而解。问题分析步骤考验学生的逻辑分析能力，学生需要明确量化目标、分析影响因素、提出恰当假设、查阅文献了解相关领域知识、进而确定模型，是一个有章可循的综合分析过程。完成上述完整的分析流程对于建模初学者而言，难度不言而喻。基于此学情，对比于大学生的数学建模竞赛，高中生的数学建模（应用）能力展示活动专门增加了第一阶段的笔试活动，笔试的题目就是建模的雏形，命题人已经初步给学生们搭设了部分台阶，需要学生们按照数学建模的研究方法，顺着研究问题的思路继续解决问题。第一阶段的活动既能有效降低建模难度，又在一定程度上向学生介绍数学建模的研究方法，让学生在实践探索中加深对数学建模的认识。另外，测试题对数学基础知识和理论的要求不高，全部在高中知识范围内，不会超过高中的基本教学内容。数学建模课程最重要的是让学生们学会问题分析的过程，而不应把重点放在数学知识的解析上，相比于其他的高中生建模科普书中涉及的案例，测试题的难度会更适合在建模课堂，帮助学生熟悉建模的整个流程和体会建模的意义。

（三）培养学生数学建模能力

学生掌握了一定的建模技巧后，教师可以改变问题的提出方式，适当增加难度，让建模测试题回归到原始的建模问题。原始的建模问题叙述往往是复杂的、模糊的、不规范的、粗糙的，题目中没有清晰的逻辑关系、确定的假设、明确的目标，而需要研究者逐步分析，确定条件，给出假设和影响因素，确定量化目标，完成整个建模过程。比如2021年的数学建模（应用）能力展示活动测试题中的第4题，问题展示了希腊天文学家埃拉托斯特尼估算地球半径的方法，题目中给出了“地球的北回归线几乎穿过这里”、“每年‘夏至的中午，太阳光几乎直射到深井井底的水面”、“认为亚历山大港位于塞恩市正北”、“地球是一个圆球的形状”、“太阳离地球非常远，以至于从太阳射在亚历山大港和塞恩市的光线是平行的”等一系列基本假设帮助同学们分析问题，而且还给出了利用物体影子的长度变化估计两城市与地心连线夹角的模型，题目设置为要找出影响误差的因素，以及引导学生作灵敏度分析。基本上还原了从提出问题到、分析问题、模型建立与求解、模型的检验与改进的整个过程，是一个非常适合高中生的建模实例。在学生已经基本了解了数学建模的研究思路后，就应继续增加难度，隐掉题目中的相关假设和模型，将题目放宽为：亚历山大港（北纬31°12′，东经29°15′）位于埃及北部沿海的尼罗河口，阿斯旺（北纬23°35′，东经32°31′）是埃及南方的一个重要城市，位于尼罗河东岸，亚历山大港和阿斯旺之间有一条直路，长度大约为5000“体育场”（“体育场”是古希腊的距离度量单位，约为631英尺），请你利用以上信息，查阅相关资料，设计一种估算地球半径的方案。学生需要自己使用数学符号，分析数量关系，建立数学模型，求解并检验模型，体验完整的建模过程，从而提升数学建模的能力。

三、结语

数学建模是一种能力，实践是数学建模最好的课堂。教师与学生一起共同经历运用数学解决实际问题的过程可以有效提升学生的数学建模（应用）能力。限于中学生所学数学知识还比较初等，对教师而言，挖掘适合中学生实操的建模训练是个不小的挑战。二十多年来的数学建模竞赛试题给我们提供了丰富的建模实例，教师可以根据学生水平，适当增加或者减少“台阶”，于实际问题着手，从问题解决中得到锻炼，让学生在整个实践过程中更好地品味和理解数学，从而提升学生运用数学解决问题的能力。

参考文献：

[1]许绍锋.应用型本科高校大学生工匠精神培养现状及其培养路径[J].秦智，2023（5）：104-106.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2020

[4]王颖喆.关于中学数学建模教与学的思考[J].数学通报，2020，59（11）：1-3+30.

作者简介：张子平（1995.7-），女，汉族，河北廊坊人，中学教师/二级，硕士，研究方向：中学数学教育。