例析条件概率问题的四种解法

■广东省汕头市澄海凤翔中学 徐春生

在很多的实际问题中,都存在条件概率问题。要求条件概率,必须先了解条件概率的定义与相关的计算公式,将问题转化为条件概率问题,分清谁是条件谁是结论,掌握对应的性质,然后根据实际问题,结合相关的方法来求解。

一、定义法

根据条件概率的定义,也就是条件概率的计算公式,先求P(A)(P(A)＞0)和P(AB),再由定义,即可求解P(B|A)。

例1甲、乙、丙、丁4名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A为“4 名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则P(A|B)=( )。

点评:要解决条件概率问题,要分清事件A、B及其条件的构成,要厘清相关的定义与对应的计算公式,结合对应的概率计算公式加以分析与处理。解决条件概率问题时,关键是抓住条件概率的定义,把问题加以转化再分析与处理。

二、古典概型的基本事件法

当基本事件适合有限性和等可能性时,可借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB),得。这是条件概率的定义在古典概型条件下的特殊模型。

例2(多选题)为庆祝中国共产党建党100周年,讴歌中华民族伟大复兴的百年奋斗历程,增进全体党员干部职工对党史知识的了解,某地开展党史知识竞赛活动,以党支部为单位参加比赛。某党支部在5道党史题中(包含3 道选择题和2 道填空题),不放回地依次随机抽取2道题作答,设事件A为“第1次抽到选择题”,事件B为“第2次抽到选择题”,则下列结论中正确的是( )。

点评:本例的事件为古典概型,利用基本事件数来解决相应的条件概率问题,方法巧妙。

三、缩减样本空间法

在事件A发生的前提之下,进而确定事件B的缩减样本空间ΩA=Ω∩A,并在ΩA中计算事件B发生的概率,从而得到条件概率P(B|A)。这是条件概率与实际操作过程中产生的有效的等价转化方式。

例3在100 件产品中有95 件合格品,5 件不合格品,现从中不放回地取两次,每次任取一件,则在第一次取到不合格品后,第二次取到不合格品的概率为____。

解析：第一次取到不合格品后,也就是在第二次取之前,还有99 件产品,其中有4 件不合格品。

点评:利用缩减样本空间法求条件概率的步骤:(1)缩——将原来的基本事件全体Ω缩减为事件A,原来的事件B缩减为AB;(2)数——数出事件A中所包含的基本事件AB;(3)算——利用求得结果。

四、性质法

由条件概率和对立事件的定义,可得条件概率的性质:P(|A)=1-P(B|A),利用该性质可以解决一些相关的条件概率问题。这是针对一些复杂的条件概率的求解而采用的逆向思维所产生的特殊模型。

例4如图1,三行三列的方阵有9个数aij(i=1,2,3,j=1,2,3),从中任取3 个数,则在取到a22的条件下,至少有2个数位于同行或同列的概率为_____。

图1

点评:解决本题时,直接求解可能会没有头绪,由于“在取到a22的条件下,至少有2个数位于同行或同列”无法直接来解决,而通过条件概率的性质法,从对立面去分析,即利用对立事件的概率来转化,巧妙有效。