探讨离散型随机变量的两种“分布”

■河南省商丘市第一高级中学 王 威

离散型随机变量及其分布是高中数学的重要知识,上承必修课程中的概率内容,以排列组合为工具进行分析与运算,该部分内容是发展和提升学生的数学建模、数学运算、数据分析等核心素养的良好素材。教材中对离散型随机变量,主要研究其分布列及数字特征,并对二项分布和超几何分布进行重点研究。通过用随机变量描述和分析随机试验,让同学们学会解决一些简单的实际问题,进一步体会概率模型的作用及概率思想和方法的特点。下面着重探讨二项分布和超几何分布的相关知识。

一、n 重伯努利试验

1.n重伯努利试验:将一个伯努利试验独立重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。

2.n重伯努利试验的共同特征:

(1)同一个伯努利试验重复做n次;

(2)各次试验的结果相互独立。

二、二项分布

1.二项分布:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为p)n-k,k=0,1,2,…,n。

如果随机变量X的分布列具有上述的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X～B(n,p)。

注意两点:

(1)由二项式定理可知,二项分布的所有概率之和为1;

(2)由两点分布与二项分布的关系知,两点分布是只进行一次的二项分布。

2.有关二项分布的实际应用类问题的求解步骤。

(1)根据题意设出随机变量;

(2)分析随机变量服从二项分布;

(3)求出参数n和p的值;

(4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解。

解决此类问题首先要判断随机变量X是否服从二项分布,若服从二项分布,方可代入相应的公式求解。若随机变量不服从二项分布,看能否找出与之相关联的、并且服从二项分布的另一个随机变量,进而求解。

3.二项分布的均值与方差。

(1)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p)。

(2)若X～B(n,p),则E(X)=np,

D(x)=np(1-p)。

三、超几何分布

1.超几何分布:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品,从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=

其中,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}。

如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布。

(1)在超几何分布的模型中,“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件,连续取件”。

(2)超几何分布的特点:①不放回抽样;②考察对象分两类;③实质是古典概型。

2.超几何分布的分布列。

求超几何分布的分布列的步骤:

(1)验证随机变量服从超几何分布,并确定N,M,n的值;

(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时对应的概率;

(3)写出分布列。

四、二项分布与超几何分布的区别与联系

由伯努利试验得出二项分布,由古典概型得出超几何分布,这两个分布的区别与联系如下。

(1)若采取有放回抽样,则随机变量服从二项分布;若采用不放回抽样,则随机变量服从超几何分布。

(2)二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律,并且二者的均值相同,但超几何分布的方差较小,说明超几何分布中随机变量的取值更集中在均值附近。

(3)对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,此时,超几何分布可以用二项分布近似代替。

考点一 二项分布

例1若随机变量,则E(2X+1)=( )。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：因为,所以E(X)=2,E(2X+1)=2E(X)+1=5。

选D。

考点二 超几何分布

例2现对某高校64名篮球运动员在多次训练比赛中的得分情况进行统计,将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示,如图1。(如:落在区间[10,15)内的频率/组距为0.012 5)规定分数在[10,20)、[20,30)、[30,40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员,现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16 名运动员作为该校的篮球运动员代表。

图1

(1)求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数;

(2)若从该校篮球运动员代表中一次选出3人,求其中含有一级运动员人数X的分布列;

(3)若从该校篮球运动员代表中有放回地选3人,求其中含有一级运动员人数Y的期望。

解析：(1)由频率分布直方图知,(0.062 5+0.050 0+0.037 5+a+2×0.012 5)×5=1,解得a=0.025 0。

其中选出的篮球运动员代表为一级运动员的概率为(0.012 5+0.037 5)×5=0.25,故选出篮球运动员代表中一级运动员有0.25×16=4(人)。

(2)由已知可得X的可能取值分别为0,1,2,3。

X的分布列如表1。

表1

考点三 二项分布与超几何分布综合运用

例3春节期间,某大型商场举办有奖促销活动,消费每超过600 元(含600 元)均可抽奖一次,抽奖方案有两种,顾客只能选择其中的一种。方案一:从装有10 个形状、大小完全相同的小球(其中红球2 个,白球1个,黑球7个)的抽奖盒中,一次性摸出3 个球,其中奖规则为,若摸到2个红球和1个白球,享受免单优惠;若摸出2个红球和1个黑球,则享受5折优惠;若摸出1个白球和2个黑球,则享受7折优惠;其余情况不打折。

方案二:从装有10 个形状、大小完全相同的小球(其中红球3 个,黑球7 个)的抽奖盒中,有放回地每次摸取1 个球,连摸3 次,每摸到1次红球,立减200元。

(1)若两个顾客均分别消费了600元,且均选择抽奖方案一,试求两位顾客均享受免单优惠的概率;

(2)若某顾客消费恰好满1 000元,试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算。

解析：(1)设顾客享受到免单优惠为事件A,则

(2)若选择方案一,设付款金额为X元,则X可能的取值为0,500,700,1 000。

X的分布列如表2。

表2

若选择方案二,设摸到红球的个数为Y,付款金额为Z,则Z=1 000-200Y。

所以E(Z)=E(1 000-200Y)=1 000-200E(Y)=820(元)。

因为E(X)＞E(Z),所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算。