数学能力月月赛（4）

■本刊编辑部

参赛须知：＊解答请独立完成,不抄题目只写题号及答案。＊写清学校班级、接收获奖资料的其他固定地址及联系方式,有辅导教师的请注明。＊来信在信封左下角注上“数学能力月月赛(4)”。也可将答案、联系方式等发E-mail至zxsslh_gy@163.com 邮箱。＊截止日期为5 月30 日。＊了解获奖情况请关注编辑部官微“高中数学解题反思”,对获奖者编辑部将颁发获奖证书并有精美礼品赠送。期待同学们的积极参与。

1.如图1所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为( )。

图1

2.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑。如图2所示,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )。

图2

3.如图3,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则在下列结论中,错误的是( )。

图3

A.AC⊥BD

B.AC//截面PQMN

C.AC=BD

D.异面直线PM与BD所成的角为45°

4.(多选题)如图4 所示,在棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列命题正确的是( )。

图4

A.平 面ACB1//平面A1C1D,且两平面间的距离为

B.若点P在线段AB上运动,则四面体PA1B1C1的体积不变

C.与所有12条棱都相切的球的体积为

D.M是正方体的内切球的球面上任意一点,N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点,则MN的最小值是