以透明体为载体的几何光学问题赏析

■湖北省巴东县第三高级中学 胡 松

纵观历年来的高考试卷可以发现,高考对几何光学的考查多以不同形状的透明体为载体,考查光的反射、折射或全反射。求解涉及光的反射和折射的问题时,准确画出光路图并确定入射角、反射角、折射角是前提,熟练运用反射定律、折射定律和几何关系列式是关键;求解涉及“最大”“最小”“恰好”等关键词的临界问题时,确定光束是从光密介质射入光疏介质还是从光疏介质射入光密介质是前提,找出恰好发生全反射或有最大、最小入射角的边缘光线是关键。下面以光束在几种常见的透明体中的传播问题为例,剖析几何光学问题的求解策略,供同学们参考。

一、光线在长方体玻璃砖中的传播问题

如图1所示,光线从长方体玻璃砖的上表面射入,从与它平行的下表面射出时,光线在玻璃砖的上下表面分别发生折射现象,根据折射定律得n=,根据几何关系得θ2=θ3,因此θ1=θ4,说明入射光线和出射光线是平行的,即光线从长方体玻璃砖相互平行的两个表面射入和射出时,不改变入射光线的性质和方向,只使光线向偏折方向平行移动。

图1

例1如图2所示,在折射率为n、厚度为d的长方体玻璃砖上方的空气中有一点光源S,从光源S发出的光以角度θ入射到玻璃砖上表面,经过玻璃砖后从其下表面射出。假设光在空气中的传播速度为c。

图2

(1)若以角度θ入射到玻璃砖上表面的光从光源S传播到玻璃砖上表面所用的时间与在玻璃砖中传播的时间相等,则光源S到玻璃砖上表面的垂直距离l应是多少？

(2)若玻璃砖足够长,折射率n= 2,厚度d= 3 cm,从光源S发出的光以角度θ=45°入射到玻璃砖上表面,则这束光能否穿过玻璃砖从其下表面射出？ 若不能,请说明理由;若能,请计算这束光的偏移量s(结果可用根式表示)。

解析：(1)设从光源S发出的光射到玻璃砖上表面时的折射角为r,则光从光源S到玻璃砖上表面的传播距离光从光源S传播到玻璃砖上表面所用的时间t1=,光在玻璃砖中的传播距离光在玻璃砖中的传播时间又有t1=t2,即根据折射定律得n=解得。

(2)当从光源S发出的光在玻璃砖下表面上发生全反射时,光不能穿过玻璃砖从其下表面射出。设光在玻璃砖下表面发生全反射的临界角为C,则,即C=45°。光在玻璃砖上表面发生折射时,根据折射定律得, 解得,即r=30°。因为r＜C,所以这束光能够穿过玻璃砖从其下表面射出。这束光从玻璃砖下表面射出时的出射光与在玻璃砖上表面入射时的入射光平行,根据几何关系得偏移量s=,解得。

二、光线在三棱镜中的传播问题

如图3所示,一束光从三棱镜的一个侧面入射,在三棱镜的折射率大于其周围介质折射率的情况下,这束光穿过三棱镜后向底边方向偏折。若入射光是一束白光,则它经过三棱镜后发生色散现象,可以在光屏上形成七种单色光的光谱。七种单色光在同种介质中的偏折规律如表1所示。

图3

表1

例2如图4所示,等边三角形ABC为某三棱镜的截面,边长为L,已知光在真空中的传播速度为c。

图4

(1)若一束足够强的细光束从AB边中点与AB边成α=30°角由真空射入三棱镜,从BC边射出的光与BC边的夹角β=30°,求该三棱镜的折射率n和光在三棱镜中的传播时间。

(2)若一束黄色光从AB边中点与AB边成α=40°角由真空射入三棱镜,则恰在BC边观察不到有光射出。若将黄色光先后换成红色光和紫色光,让它依然从AB边中点与AB边成α=40°角由真空射入三棱镜,则在BC边能否观察到有光射出？ 为什么？

解析：(1)作出光路图如图5所示,根据几何关系得入射角i1=90°-α=60°,根据折射定律得光在BC边上发生折射现象时,根据折射定律得,其中r2=90°-β=60°,则i2=r1。根据几何关系得r1=i2=30°,解得。根据几何关系得光在三棱镜中的传播距离,又有光在三棱镜中的传播速度,因此光在三棱镜中的传播时间。

图5

(2)黄色光从AB边中点与AB边成α=40°角由真空射入三棱镜,恰在BC边观察不到有光射出,说明黄色光在BC边上发生全反射。根据红橙黄绿青蓝紫七种单色光在同一介质中的折射率由小变大,临界角由大变小可知,将黄色光换成红色光,红色光在BC边上的入射角将小于其临界角,可以观察到有光射出;将黄色光换成紫色光,紫色光在BC边上的入射角将大于其临界角,观察不到有光射出。

三、光线在球形透明体中的传播问题

球形透明体的截面如图6所示,圆心为O,当一束光在球形透明体表面发生反射和折射时,其法线沿入射点与球心O的连线方向,这束光经过球形透明体后的方向发生改变。

图6

例3(2022 高考河北卷)如图7所示,一个半径为R的透明介质球的截面是圆心为O的圆形。球面内侧单色点光源S发出的一束光从A点射出,入射光线SA与直径SC间的夹角θ=30°,出射光线AB与直径SC平行。光在真空中的传播速度为c。求:

图7

(1)该透明介质球的折射率。

(2)从光源S发出的光线经两次全反射回到S点所用的时间。

(3)从光源S发出的光线经多次全反射回到S点所用的最短时间。

解析：(1)过A点作法线,如图8所示,设光线在A点的入射角为i1,折射角为i2,根据几何关系得i1=θ=30°,i2=60°,根据折射定律得,解得。

图8

(2)设从光源S发出的光线在透明介质球中发生全反射的临界角为C,则,光在透明介质球中的传播速度。作出从光源S发出的光线经两次全反射回到S点的光路图,如图9所示,则光路为圆的内接正三角形。根据几何关系得正三角形的边长,又有3x=vt,解得。

图9

(3)根据几何关系可知,当θ=45°,即光路为圆的内接正方形时,从光源S发出的光线经多次全反射回到S点所用的时间最短。根据几何关系得正方形的边长x= 2R,又有4x=vt,解得。

总结：光射入各种形状的透明体中,遵守反射定律、折射定律和全反射规律,运用这些规律结合光路中的几何关系和七色光的偏折规律即可分析处理相关问题。分析处理几何光学问题的基本思路:(1)判断光线是从光疏介质进入光密介质还是从光密介质进入光疏介质;(2)判断入射角是否大于或等于临界角,明确是否发生全反射现象;(3)画出反射、折射或全反射的光路图,必要时还可应用光路的可逆性原理画出光路图,结合几何知识进行推断和求解。需要特别关注并熟练掌握的是涉及折射率n的关系式,因为折射率n是联系入射角、反射角、折射角、临界角、路程、速度、时间等相关物理量的重要桥梁。