巧用“形象思维”,速解液柱(活塞)移动问题

2023-04-25河北省石家庄市鹿泉区第一中学姚翠芳

中学生数理化(高中版.高考理化) 2023年5期

■河北省石家庄市鹿泉区第一中学姚翠芳王爱

理想气体的状态分析是高中物理选考部分中非常重要的一个Ⅱ级考点,因为其涉及的知识点可以是单一的理想气体常见模型,也可以是与各种力学模型的综合,所以有的试卷中以选择题的形式呈现,有的试卷中以计算题的形式呈现。在选择题中,关于判断玻璃管内液柱移动方向或者汽缸中活塞移动方向的题目花样很多,分析方法也很多,最常见的分析方法是基于假设法的定性半定量分析,最基础的求解方法是程序化判断方法。采用定性半定量分析方法的思维过程比较烦琐,采用程序化方法分析判断时需要厘清三个关系(力学上的平衡条件,理想气体的状态方程,根据气体状态变化示意图可以找到的几何关系)。采用这两种分析方法求解选择题,会有大材小用之感,费时费力。现在我们借助下面的情境,找出一个简捷易懂的方法,快速判断液柱(活塞)移动的方向。

一、生活经验的启示

情境Ⅰ：在一个恒温池中,气泡由池底慢慢升到水面,仔细观察可以发现气泡在上升过程中,体积逐渐变大,到水面时就会破裂。

情境Ⅱ：比较饱满的氢气球,在上升的过程中,会越来越饱满,最终撑破。

这两个情境的物理本质是一样的:在温度不变的情况下,随着外界压强的减小,气体体积不断增大。不同的是容纳气体的容器,一个是靠一层水包围的气泡,一个是氢气球。我们遇到的物理问题中,容纳气体的容器通常是“玻璃管+液柱”,或“汽缸+活塞”,且在这些模型中只能通过液柱或活塞的移动来实现气体体积的变化;外界压强的改变方式比较多,可以是外界压强直接变大,也可以是注入液体,还可以是推动活塞,还可以是将其按压到水池深处等。在实际应用中,若利用形象思维,把那些容纳气体的容器想象成氢气球,则可使得分析过程大大简化。

二、“形象思维”的建立

例1如图1所示,一端封闭的玻璃管开口向下竖直倒插在水银槽中,其位置保持固定,已知封闭端内有少量空气。若将玻璃管竖直向上缓慢提起(管下端未离开槽内水银面),则管中在槽内水银面上方的水银柱高度h和封闭端内空气的压强p的变化情况是( )。

图1

A.变小,变大 B.变大,变大

C.变大,变小 D.变小,变小

解法1：基于假设法的定性半定量分析。

第一步:温度保持不变,把玻璃管稍向上提起一段距离,假设管中水银柱高度不变,则封闭端内空气柱变长,根据玻意耳定律可知,封闭端内空气的压强变小,即p＜p0-ρhg。因此在此假设基础上水银柱会向上移。

第二步:假设封闭端内空气柱的长度不变,则封闭端内空气的压强不变,管中水银柱高度增大,即p＞p0-ρhg。因此在此假设基础上水银柱会向下移。

第三步:水银柱最后平衡,停下来的位置介于第一步和第二步所说的两种情况之间,即h增大,L也增大,p减小。

解法2：程序化方法分析。

第一步:根据力学平衡条件可知,槽内水银面处的压强p+ρgh=p0,因为p0不变,所以p和h一增一减。

第二步:根据玻意耳定律得pSL=C(C为常数),因此p和L一增一减。综合以上两式可知,h和L都增大或者都减小。

第三步:根据几何关系得h+L增大,且增量之和为玻璃管上移的高度,因此h和L只能都增大,则p一定减小。

解法3：形象思维法。

把玻璃管和其内部H+h高度(H为槽内水银面下方的水银柱的高度)的水银柱看成“氢气球”,将玻璃管竖直向上缓慢提起时,相当于“氢气球处”(玻璃管口)的压强减小,因此封闭空气的体积一定会增大,即L增大,压强会减小,水银将从玻璃管中流出,再根据p'+ρhg=p0可知,h增大。

答案：C

小结:按照常规的解法1 和解法2 分析求解,步骤繁杂,稍有不慎,就会陷入混乱状态;采用形象思维法分析求解,不仅回避了对多种假设条件的分析,而且避免了复杂的关系式的书写,简捷易懂。

三、活学活用

1.感悟模型。

例2如图2所示,玻璃管A和B同样粗细,玻璃管A的上端封闭,两管下端用橡皮管连通,两管中水银柱的高度差为h,若将玻璃管B慢慢地提起,则( )。

图2

A.玻璃管A内封闭空气柱将变长

B.玻璃管A内封闭空气柱将变短

C.两管内水银柱的高度差将增大

D.两管内水银柱的高度差将减小

解析：将玻璃管B慢慢地提起,等效于在玻璃管B中加入了少量水银,致使玻璃管B原水银面压强增大,“氢气球”被压缩,玻璃管A内封闭空气柱将变短,根据玻璃管A中空气的压强p=p0+ρgh,p增大可知,两管内水银柱的高度差h将增大。

答案：BC

小结:本题中橡胶管的长度变化,形状变化,都对气体状态变化问题的研究没有任何影响,所以大胆地将玻璃管B慢慢地提起等效成向玻璃管B中加入少量水银,这在一定程度上简化了思维过程,进而采用形象思维法即可顺利解决。

2.大胆等效。

例3如图3所示,一试管开口朝下插入盛水的广口瓶中,在某一深度静止时,管内封闭有一定质量的空气。若向广口瓶中缓慢倒入一些水,则试管将( )。

图3

A.加速上浮

B.加速下沉

C.保持静止

D.以原静止位置为平衡位置上下振动

解析：把试管和其内部的水看成“氢气球”,向广口瓶中缓慢倒入一些水,试管口处的压强变大,封闭气体的体积变小,试管内的水会增加。以试管和其内部的水为研究对象,重力大于浮力,所以试管将加速下沉。

答案：B

小结:本题中试管静止时受到的浮力等于重力,倒入一些水的效果和将玻璃管缓慢往下按一下的效果相同,都会导致气体被压缩,重力大于浮力而加速下沉。

3.灵活应用。

例4如图4所示,一粗细均匀的U 型玻璃管右侧开口向上,竖直放置,左、右两管中各封闭有一定质量的理想气体A、B,水银面a、b间的高度差为h1,水银柱cd的长度h2=h1,a面与c面恰好处于同一高度。现向右侧开口端注入少量水银达到重新平衡,则( )。

图4

A.水银面c下降的高度大于水银面a上升的高度

B.水银面a、b间新的高度差等于右管上段新水银柱的长度

C.封闭气体A的压强一定大于外界大气压强

D.封闭气体A的压强变化量等于封闭气体B的压强变化量

解析：先把玻璃管和其内部水银柱cd看成“氢气球”,向右侧开口端注入少量水银,水银面d处的压强p=p0+ρgh增大,封闭气体B的体积变小,压强增大;再把玻璃管和其内部水银柱ab看成“氢气球”,封闭气体B的压强增大,则封闭气体A的体积变小,压强增大;假设封闭气体A的长度减小了Δh1,封闭气体B的高度减小了Δh2,那么水银面c下降的高度为Δh1+Δh2,一定大于水银面a上升的高度Δh1,选项A 正确。水银面a、b间新的高度差为2Δh1,假设右管上段新水银柱的长度为Δh,未注入水银前,封闭气体A的压强pA=p0+ρgh1-ρgh2=p0,注入水银后,封闭气体A的压强pA'=p0+ρg(h1+Δh)-ρg(h2+2Δh1)=p0+ρg(Δh-2Δh1),而封闭气体A的体积变小,压强增大,即pA'＞pA=p0,所以Δh＞2Δh1,选项B错误,C 正确。封闭气体A的压强变化量ΔpA=pA'-pA=ρg(Δh-2Δh1), 封闭气体B的压强变化量ΔpB=ρgΔh1,所以ΔpA＜ΔpB,选项D错误。

答案：AC

小结:本题可以先考虑外界压强变化导致封闭气体B压缩,继而导致封闭气体A压缩,不妨假设这是一个多层氢气球,所有封闭气体都要被压缩;再考虑液柱移动距离,从封闭气体A压缩导致液柱移动开始分析,然后联动影响封闭气体B压缩导致的液柱移动。

4.拓展提升。

例5如图5所示,两端开口的弯管,左侧插入水银槽中,管内外水银面高度差为h1,右侧有一段水银柱,两端液面的高度差为h2,中间封闭有一段空气,则下列说法中正确的是( )。

图5

A.若大气压强升高,则h1减小,h2增大

B.若把弯管向上移动少许,则重新平衡后,管内气体体积不变

C.若把弯管向下移动少许,则重新平衡后,管内气体压强不变

D.弯管无论向上还是向下移动,重新平衡后,h1始终等于h2

解析：管中封闭气体是靠左侧水银槽和右侧水银柱共同封闭的,整体可以看成一个“氢气球”,封闭气体的压强p=p0+ρgh1=p0+ρgh2,则h1=h2。当外界压强变大时,两侧一起压缩封闭气体,导致h1和h2同时减小,但始终有h1=h2,选项A 错误。若把弯管向上移动少许,相当于“氢气球”左侧压强变小,右侧水银柱会向中间管移动,导致h2变小,气体压强变小,但最终仍有h1=h2,选项B错误。若把弯管向下移动少许,相当于“氢气球”左侧压强变大,右侧水银柱会向右管移动,导致h2变大,气体压强变大,但最终仍有h1=h2,选项C错误,D 正确。

答案：D

小结:求解本题需要先判断出封闭气体的压强变化情况,再根据压强变化判断出重新平衡时依然满足h1=h2。

1.如图6所示,一根竖直放置的弹簧连接一个汽缸中的活塞,使汽缸悬空而静止。若不计活塞与汽缸壁之间的摩擦,汽缸导热性能良好,外部温度恒定不变,则下列判断正确的是( )。