关于Hausdorff拓扑粗糙群正则性的注记

孙倩倩,沈荣鑫

(泰州学院 数理学院,江苏泰州 225300)

§1 引言

Pawlak[1]在1982年首次引入了粗糙集理论,该理论作为解决和处理不完备信息的一个有效的数学工具,已经广泛应用于医学诊断,生物化学,环境科学,心理学等众多领域.1994年,Biswas和Nanda[2]将粗糙集理论和群论的研究相结合,首次提出了粗糙群和粗糙子群的概念,并研究了一些相关性质.然而,粗糙群定义的不严谨导致了一些文献证明的缺陷.而后许多学者对粗糙群和粗糙子群的概念作了改进,并推广了粗糙群和粗糙子群的概念(例如粗糙理想,粗糙半群等[3-11]).2011年,吴国兵和黄兵[12]对粗糙群的概念进行了详细的修正和优化.此后对于粗糙群的研究工作均使用他们修正后的概念.

2016年,Bagirmaz[13]等结合了拓扑空间和粗糙群的概念,引入了在近似空间上的拓扑粗糙群,同时给出了两个例子说明了拓扑粗糙群的存在性.此外他们研究了拓扑粗糙群中的左右变换以及逆变换,证明了左右变换是连续的单射以及逆变换是同胚映射.2019年,Alharbi等[3]在前者的基础上构造了拓扑粗糙群的乘积并证明了两个粗糙群的笛卡尔积还是粗糙群,此外他们还研究了拓扑粗糙群同态和拓扑粗糙群同胚并且引入了粗糙kernel算子与粗糙齐次空间.2020年,林福财等[14]研究了拓扑粗糙群的一些拓扑性质,尤其对T1分离公理、Hausdorff分离公理等进行详细研究,得到了如下结论:如果G是拓扑粗糙群且是T0空间,则G是T1空间;如果G是拓扑粗糙群且G是T1空间,则G是Hausdorff空间以及T0强拓扑粗糙群是Hausdorff空间等结果.此外林福财等[14]提出了如下的公开问题:

问题1是否存在非正则的Hausdorff拓扑粗糙群?

本文构造了一个非正则的Hausdorff拓扑粗糙群,对上述问题给出了正面的回答.

§2 预备知识

本节首先介绍一些符号和术语.对于没有定义的符号和术语,读者可以参照[15-16].

定义2.1[12]令(U,R)是近似空间使得U是任意非空集合且R是U上的等价关系.用符号[x]R表示x的等价类.对子集X ⊆U,

分别称为在(U,R)中X的上近似和下近似.

定义2.2[12]设(U,R)是近似空间,符号∗表示定义在U上的一个二元运算.全集U上的非空子集G称为一个粗糙群,如果满足下列条件:

注为了方便叙述,在不引起混淆的前提下,用xy表示x ∗y.

定义2.3[13]拓扑粗糙群是一个粗糙群(G,∗)赋予其上近似拓扑τ使得满足下面的条件:

(1) 映射f:G×G-→定义为f(x,y)=x ∗y是连续映射,其中G×G赋予乘积拓扑,G上赋予由τ诱导的拓扑τG;

(2) 逆映射g:G-→G定义为g(x)=x-1是连续映射,其中G上赋予由τ诱导的拓扑τG.

设Y是拓扑空间(X,τ)的子集,集族τ|Y={Y∩V:V ∈τ}称Y为X上(关于τ)的相对拓扑或者子空间拓扑.

引理2.4[13]设G是一个拓扑粗糙群且任意取定G中的一个元a,则

(1) 映射La:G-→,La(x)=ax(x ∈G)是单射且连续;

(2) 映射Ra:G-→,Ra(x)=xa(x ∈G)是单射且连续;

(3) 映射f:G-→G,f(x)=x-1(x ∈G)是同胚映射.

本文用N+表示正整数集.

§3 主要结果

下面这个例子是本文的主要结果,对文[14]中问题1给出了回答.

例3.1存在一个Hausdorff拓扑粗糙群G不是正则空间.

证设U是实数加群,赋予U上由{E1,E2}划分诱导的等价关系,这里

断言1对G中任意的a,b,|a+b|1.分以下四种情况.

(1) 若a ∈GL,b ∈GR,则存在n1∈N+,n2∈N+使得

不难发现对任意的n1,n2∈N+,|a+b|1.

(2) 若a ∈GR,b ∈GL,此情况和(1)类似.

(3) 若a,b ∈GL,则a+b ≤-2,故|a+b|1.

(4) 若a,b ∈GR,则a+b ≥2,故|a+b|1.

则由τ的定义知Oa是a在G中的邻域,Ob是b在G中的邻域,显然对任意a′∈Oa,b′∈Ob,都有

故加法运算f是连续映射.

由断言2,断言3可知G是拓扑粗糙群.

断言4在拓扑τ下,G不是正则空间.

取x=1,由τ的定义知,L1是G中不包含x的闭集.设G中开集V,W满足1∈V,L1⊆W,则存在ε ∈(0,)使得

于是存在n ∈N+使得

综上所述G是一个非正则的Hausdorff拓扑粗糙群.

下面考虑在什么条件下,Hausdorff拓扑粗糙群可具有正则性.

令V=G-Wc,则V是G中的开集且F=G-W1⊆G-Wc=V.又因为W ⊆Wc,所以V∩W=∅.

根据上述命题,有下面的推论.

推论3.3设G是T1拓扑粗糙群使得G开于且e ∈G,若G是齐性空间,则G是正则的.

下面的例说明存在一个拓扑粗糙群满足推论3.3的条件,但不是拓扑群.

例3.4设U是赋予通常加法和离散拓扑的整数集.赋予U上由划分{E1,E2}诱导的等价关系,这里E1=(-∞,0),E2=[0,+∞).

令G={-3,-2,-1,0,1,2,3},则G是一个粗糙群且=U.容易验证G是关于τ的一个离散拓扑粗糙群,G开于且G是齐性空间,但G不是拓扑群.

§4 一些尚未解决的问题

§3证明了Hausdorff拓扑粗糙群未必是正则的,同时在增加一定的条件后可得到Hausdorff拓扑粗糙群的正则性.但所增加的这些条件是否一定都是必要的,尚未可知.于是还有以下有待解决的问题.

问题1设G是T1拓扑粗糙群使得G开于且e ∈G,则G是否正则?

问题2设G是T1拓扑粗糙群使得G开于,且G是齐性空间,则G是否正则?

问题3设G是拓扑粗糙群使得e ∈G,且G是齐性空间,则G是否正则?

在文[14]中,林福财等人还引入并研究了强拓扑粗糙群,关于Hausdorff强拓扑粗糙群是否正则也未知.

问题4若G是Hausdorff强拓扑粗糙群,则G是否正则?