半连续格上的半基, se-拓扑和sρ-拓扑

毛徐新 ,徐罗山

(1.南京航空航天大学 数学学院,江苏南京 210016;2.扬州大学数学科学学院,江苏扬州 225002)

§1 引言

20世纪70年代初,图灵奖得主Scott提出了连续格[1]的概念,旨在为计算机高级程序设计语言的指称语义提供数学模型.随后连续格及更为一般的Domain理论引起了诸多学者的广泛关注,且不断向信息科学,逻辑学,分析学,理论计算机科学及各种应用学科渗透[2-3].序与拓扑的相互结合是Domain理论研究的基本特征.在文[4]中,赵东升利用半素理想将连续格推广至半连续格.文[5]讨论了半连续格上的半Scott拓扑和半Lawson拓扑的基本性质;文[6-7]利用半Scott拓扑给出了半连续格的等价刻画,并研究了半连续格上的半连续映射等;文[8]在完备格中引入半基和局部半基的概念,并利用半基和局部半基刻画完备格的半连续性;文[9]则讨论了半连续格的分配反射.本文借鉴文[10-12]中引入稠密拓扑刻画连续domain(连续偏序集)及s2-连续偏序集的基的研究思路,在完备格中引入se-拓扑和sρ-拓扑等概念,讨论半连续格上se-拓扑和sρ-拓扑的基本性质.借助于这两种新的内蕴拓扑,本文给出半连续格上半基的若干等价刻画,证明在一定条件下,半连续格的半基恰是sρ-拓扑中的稠密集.

§2 预备知识

下面是一些预备知识,大多采自文献[2,4],未说明的格论和拓扑术语可参考文献[3].

设(P,≤)是偏序集,其对偶偏序集(P,≥)记作P∗.P的子集全体记作2P或P(P).设A ⊆P,记↓A={y ∈P|∃x ∈A,y≤x},↑A={y ∈P|∃x ∈A,x≤y}.特别地,记↓{x}=↓x及↑{x}=↑x.当A=↓A(A=↑A)时称A是下集(上集).

偏序集P的以{P ↑x|x ∈P}为开子基形成的拓扑称为下拓扑,记为ω(P),对偶地,P的以{P ↓x|x ∈P}为开子基形成的拓扑称为上拓扑,记为ν(P).

定义2.1设L是格,I ⊆L是理想.若对任意x,y,z ∈L,当x ∧y ∈I,x ∧z ∈I时,有x ∧(y ∨z)∈I,则称I是格L的半素理想.用Rd(L)表示L的全体半素理想之集.

定义2.2(1) 设L是完备格,x,y ∈L.若对任意I ∈Rd(L),当y≤⋁I时,有x ∈I,则称x ⇐y.当x ⇐x时,称x为半紧元.记L的全体半紧元为Ks(L).对任意x ∈L,记

(2) 设L是完备格.若对任意x ∈L,有x≤(⇓x),则称L为半连续格.

注2.3设L是完备格,≪为L上的way-below关系,则

(1)≪⊆⇐;

(2) 对任意x ∈L,⇓x是L的半素理想;

(3) 对任意x,y,u,v ∈L,若u≤x ⇐y≤v,则u ⇐v.

引理2.4(见[4]) 设L是半连续格.对任意x,y ∈L,若x ⇐y,则存在z ∈L使x ⇐z ⇐y.

定义2.5(见[5,7]) 设L是完备格,U ⊆L.

(1) 若U=↑U且对任意I ∈Rd(L),当supI ∈U时,有I ∩U∅,则称U为L的半Scott开集.半Scott开集的补集称为半Scott闭集.易证L上全体半Scott开集构成一拓扑,称为半Scott拓扑,记为σs(L),L上全体半Scott闭集记为

(2) 若U ∈σs(L)且U=∪{⇑x|x ∈U},则称U为L的强半Scott开集.强半Scott开集的补集称为强半Scott闭集.易证L上全体强半Scott开集构成一拓扑,称为强半Scott拓扑,记为σss(L),L上全体强半Scott闭集记为

命题2.6(见[5,7]) 设L是完备格,则

(1)F ⊆L是半Scott闭集当且仅当F=↓F且∀I ∈Rd(L),当I ⊆F时有⋁I ∈F;

(2)∀x ∈L,↓x ∈

(3)U ∈σss(L)当且仅当U=∪{⇑x|x ∈U}.

引理2.7(见[5]) 设L是半连续格,U ⊆L.

(1) 对任意x ∈L,⇑x ∈σs(L);

(2) 若U ∈σs(L),则U ⊆∪{⇑y|y ∈U}.

定义2.8(见[8]) 设L是完备格,B ⊆L.若对任意x ∈L,有↓(⇓x ∩B)∈Rd(L)且x≤⋁(⇓x ∩B),则称B为L的一个半基.

易见一个完备格是半连续格当且仅当它有一个半基.

引理2.9(见[8]) 设L是半连续格,B ⊆L.对于条件

(1)B是L的半基;

(2) 任意x,y ∈L,当y ⇐x时,存在b ∈B使y≤b ⇐x;

(3) 任意x,y ∈L,当y ⇐x时,存在b ∈B使y ⇐b ⇐x

有(1)⇔(2)⇒(3).若L还满足条件⇐⊆≤,则上述三条件等价.

§3 se-拓扑

命题3.2设L是完备格.对任意A,B ∈2L及任意{Aα}α∈Γ⊆2L有下列结论.

证由定义3.1可直接验证.

定义3.3设L是完备格,A ⊆L.若⇓A ⊆A,则称A是L的se-开集.se-开集的补集称为se-闭集.

命题3.4设L是完备格.则

(1)L上的全体se-开集构成一拓扑,称为se-拓扑,记为进一步,任意一族se-开集的交是se-开集;

(2) 集族{{x}∪⇓x|x ∈L}是的一个拓扑基;

(3) 集F ⊆L是se-闭集当且仅当⇑F ⊆F;

(4) 对任意A ∈2L,⇓A是se-开集,⇑A是se-闭集.

(4) 由(3),定义3.3和命题3.2(5)可得.

注3.5根据命题3.4(1),完备格L上的se-拓扑是一个Alexandrov拓扑.从而容易证明,⊆)是一个代数格.

例如对单位闭区间L=[0,1],其上的se-拓扑就是以集族{[0,b]|b ∈[0,1]}作为拓扑基所生成,即由[0,1]上全体下集形成的拓扑.

命题3.6设L,M是完备格,f:L →M是单射.则f保关系⇐当且仅当f:(L,(L))→(M,(M))连续且对任意k ∈Ks(L),有f(k)∈Ks(M).

命题3.7设L是完备格.则对任意A ∈2L,有

证(1) 根据命题3.2,⇑(A ∪⇑A)=⇑A ∪⇑(⇑A)=⇑A ⊆(A ∪⇑A).故由命题3.4(3)知A ∪⇑A是se-闭集.设F是任一se-闭集且满足A ⊆F.由命题3.2(3)和命题3.4(3)可得⇑A ⊆⇑F ⊆F.从而有A ∪⇑A ⊆F.这说明(A)=A ∪⇑A.

命题3.8对半连续格L,(L,(L))是T1空间当且仅当对任意x,y ∈L,x ⇐y蕴含x=y.

拓扑空间(X,τ)称为C-空间,若对任意x ∈X及任意x的开邻域U,存在y ∈U及V ∈τ使x ∈V ⊆sat({y})⊆U,其中sat({y})=∩{U ∈τ|y ∈U}.

命题3.9任一Alexandrov空间(X,τ)都是C-空间,特别对完备格L,(L,(L))是C-空间.

证对任意x ∈X,设x的所有开邻域之交为最小开邻域V.则对x的开邻域U,有x ∈V ⊆U且V=sat({x}).故(X,τ)是C-空间.又由注3.5得(L,(L))是C-空间.

引理3.10设L是半连续格.则任意A ∈2L,⇓(⇓A)=⇓A,⇑(⇑A)=⇑A.

证由引理2.4和命题3.2(5)可得.

下一定理利用se-拓扑可获得半连续格上半基的性质和刻画.

定理3.11设L是半连续格,B ⊆L.则对于条件

(1)B是L的半基;

(2) 对任意x ∈L,⇑(⇑x ∩B)=⇑x;

(3) 对任意A ⊆L,⇑(⇑A ∩B)=⇑A;

(4) 对任意se-闭集F,⇑(F ∩B)=⇑F;

(5) 对任意A ⊆L,(⇑A ∩B)=⇑A;

(6) 对任意U ∈σss(L)及任意G ∈(L),若U ∩G∅,则U ∩G ∩B∅有(1)⇒(2)⇔(3)⇔(4)⇔(5)⇔(6).若L还满足条件⇐⊆≤,则上述条件等价.

证(1)=⇒(2) 根据命题3.2和命题3.4,对任意x ∈L,⇑(⇑x ∩B)⊆⇑(⇑x)⊆⇑x.设y ∈⇑x.根据L的半连续性及引理2.9,存在b ∈B使x ⇐b ⇐y.这说明y ∈⇑(⇑x ∩B),即⇑x ⊆⇑(⇑x ∩B).从而有⇑(⇑x ∩B)=⇑x.

(2)=⇒(3) 设A ⊆L.根据(2)和命题3.2(2)可得

(3)=⇒(2) 平凡.

(3)=⇒(4) 设F ⊆L是se-闭集.由命题3.4(3)得F=⇑F ∪(F⇑F).由(3)和命题3.2(2)可得

(4)=⇒(5) 设A ⊆L.根据(4),命题3.4(4)和引理3.10可得⇑(⇑A ∩B)=⇑(⇑A)=⇑A.由命题3.7(1)知

§4 sρ-拓扑

定义4.1完备格L上的强半Scott拓扑和se-拓扑的共同的加细称为L上的sρ-拓扑,记为ρs(L),即ρs(L)=σss(L)∨(L)为以开子基σss(L)∪(L)生成的拓扑.

例如对单位闭区间L=[0,1],由注3.5及定义4.1知其上的sρ-拓扑就是以集族{(a,b]|a,b ∈[0,1],a

易见完备格L中任一强半Scott开集是sρ-拓扑ρs(L)中的既开又闭集.

命题4.2设L是半连续格.则Bρ={⇑x ∩({y}∪⇓y)|x,y ∈L}是ρs(L) 的一个拓扑基.

命题4.4设L是半连续格.

(1) 若上集U是ρs(L)-开集,则U是半Scott开集;

(2) 若W ∈ρs(L),则↑W ∈σs(L);

(3) 对任意x ∈L,若{x}是ρs(L)-开集,则x ∈Ks(L);

(4) 对任意ρs(L)-闭集F,若I ∈Rd(L)且I ⊆F,则⋁I ∈F.

证(1)设U=↑U是ρs(L)-开集.则由命题4.2,对任意t ∈U,存在x,y ∈L使t ∈⇑x∩({y}∪⇓y).故t ∈↑(⇑x ∩({y}∪⇓y))⊆↑U=U.于是根据引理4.3 得↑(⇑x ∩({y}∪⇓y))∈σs(L).从而由t的任意性知U是半Scott开集.

(2) 设W ∈ρs(L).对任意t ∈↑W,存在a ∈W使a≤t.根据L的半连续性和命题4.2,存在x,y ∈L使a ∈⇑x ∩({y}∪⇓y)⊆W,从而t ∈↑a ⊆↑(⇑x ∩({y}∪⇓y))⊆↑W.由引理4.3知↑(⇑x ∩({y}∪⇓y))是半Scott开集.从而根据t的任意性可得↑W ∈σs(L).

(3) 设x ∈L.若{x}是ρs(L)-开集,则由(2)得↑x是半Scott开集.从而x ⇐x ∈Ks(L).

(4) 设I是含于一ρs(L)-闭集F中的半素理想.假设t=⋁I/∈F.则t=⋁I ∈LF.根据命题4.2知存在x,y ∈L使t ∈⇑x ∩({y}∪⇓y)⊆LF.故由引理2.4知存在z ∈L使x ⇐z ⇐t ∈{y}∪⇓y.于是z ∈I ∩(LF),这与I ⊆F矛盾! 从而⋁I ∈F.

命题4.5设L是半连续格,B ⊆L.则对于条件

(1)B是L的半基;(2)B是ρs(L)稠密集

有(1)⇒(2).若L还满足条件⇐⊆≤,则(1)⇔(2).

证(1)=⇒(2) 由定理3.11(6)和命题4.2知当B是L的半基时,B与ρs(L)的任意非空基元⇑x ∩({y}∪⇓y)的交非空,从而B是ρs(L)稠密集.

(2)=⇒(1) 当B是ρs(L)稠密集时,任给x ⇐y,由引理2.4知存在s,t ∈L使x ⇐s ⇐t ⇐y.可见⇑s ∩({t}∪⇓t)是ρs(L)的非空基元,故存在b ∈B使b ∈⇑s ∩({t}∪⇓t),这说明x ⇐b ⇐y.若L满足条件⇐⊆≤,则由引理2.9得B为L的半基.

定理4.6设L是半连续格,B ⊆L.则对于条件

(1)L有可数半基;(2)ρs(L)是可分的;(3)σss(L)是第二可数的有(1)⇒(2)和(1)⇒(3).若L还满足条件⇐⊆≤,则(1)⇔(2)⇔(3).

证(1)=⇒(2) 由命题4.5可得.

(2)=⇒(1) 设L满足条件⇐⊆≤.则由命题4.5可得.

(1)=⇒(3) 设L有一个可数半基B,则由命题2.6(3),引理2.9和引理3.10可知{⇑b|b ∈B}是空间(L,σss(L))的可数基,故σss(L)是第二可数的.

(3)=⇒(1) 设L满足条件⇐⊆≤.若(L,σss(L))有可数基B,则B×B可数.令

则A可数.∀α=(U1,U2)∈A,取定bα ∈L使U2⊆⇑bα ⊆↑bα ⊆U1.令B={bα|α ∈A},显然B是可数集.下面只需证B是L的半基.为此,设x ⇐y,则y ∈⇑x ∈σss(L).由命题2.6(3),引理3.10及B是(L,σss(L))的基知存在V1∈B使y ∈V1⊆⇑x.于是存在t ∈V1使

再由B为σss(L)的基知存在V2∈B使y ∈V2⊆⇑t ⊆↑t ⊆V1⊆⇑x.令β=(V1,V2),则由A的定义得β ∈A且y ∈V2⊆⇑bβ ⊆↑bβ ⊆V1⊆⇑x.由此得x ⇐bβ ⇐y.从而由引理2.9得B为L的半基.